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1、淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法 摘要：反證法在數(shù)學(xué)中是一種非常重要的間接證明方法，它被稱為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，又稱為歸謬法、背理法。反證法不僅是一種論證方法，還是一種思維方式，對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維能力也有極其重要的作用，還能拓展學(xué)生的解題思路，從而使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維。反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，如今學(xué)生在運(yùn)用反證法解題中，基礎(chǔ)一般的學(xué)生會(huì)受到思維能力的限制，如果能恰當(dāng)?shù)氖褂梅醋C法，在一些有難度的題目上也許能夠得到解決。所以本文首先會(huì)敘述反證法的產(chǎn)生，具體闡述反證法的定義，即反證法的概念、分類、科學(xué)性，介紹反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用并舉例分析以及說明應(yīng)用反證法要

2、注意的問題。 關(guān)鍵詞：反證法；中學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用； On the Proof by Contradiction in Middle School Mathematics Abstract： Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonabl

3、e method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students thinking of solving problems, so that stude

4、nts can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contr

5、adiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contra

6、diction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction. Keywords： proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;目 錄 目錄 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法 1 1 引言 1 2 反證法的產(chǎn)生 1 2.1古希

7、臘的反證法 1 2.2 中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的反證法 2 3 反證法的定義與步驟 2 3.1 反證法的定義 2 3.2反證法的解題步驟 2 4 反證法的分類與科學(xué)性 4 4.1反證法的分類 4 4.1.1歸謬法例題 4 4.1.2窮舉法例題 4 4.2反證法的科學(xué)性 5 4.2.1反證法的理論依據(jù) 5 4.2.2反證法的可信性 5 4.3為什么要使用反證法 6 5 反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 6 5.1基本命題，即學(xué)科中的起始性命題 6 5.2命題采取否定形式 7 5.3有關(guān)個(gè)數(shù)的命題 9 5.4結(jié)論涉及無(wú)限集或數(shù)目不確定的命題 10 5.5不等式類型 11 5.

8、6幾何類型題 12 6 使用反證法解題過程中要注意的問題 13 6.1反設(shè)要正確 13 6.2 要明確推理特點(diǎn) 13 6.3能靈活運(yùn)用 13 6.4 反證法與舉反例不等同 14 6.5熟悉矛盾的種類 14 7 總結(jié) 14 參考文獻(xiàn) 14 致謝 15 22 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法 1 引言 反證法是間接論證的方法之一，早在古希臘,一些數(shù)學(xué)家就用反證法解決了許多數(shù)學(xué)問題。牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著不可替代的重要作用，一般來說，當(dāng)學(xué)生遇到不容易或者不能從正面進(jìn)行證明的題目時(shí)，則可以嘗試運(yùn)用反證法進(jìn)行證

9、明。反證法彌補(bǔ)了直接證明的不足，完善了證明方法，運(yùn)用反證法可以培養(yǎng)和提高學(xué)生的逆向思維能力和創(chuàng)造思維能力，把不可能轉(zhuǎn)化為可能。教師應(yīng)要結(jié)合熟悉的生活實(shí)例和典型的數(shù)學(xué)例題，幫助并引導(dǎo)學(xué)生了解反證法繼而使用反證法，然后運(yùn)用反證法拓寬學(xué)生解決問題的思路。不僅在中學(xué)數(shù)學(xué)中能運(yùn)用反證法，生活中也能運(yùn)用反證法解決問題。如李某與朋友們外出游玩，看到路邊的樹上結(jié)滿了果子，朋友們都去摘取果子，唯獨(dú)李某站在原地一動(dòng)不動(dòng)，一朋友問他為什么不去摘取，李某說：“在路邊的樹上結(jié)滿果子必然是苦的”，朋友摘取果子嘗試，果然是苦的。為什么李某在還未嘗試果子前就知道是苦的？因?yàn)槔钅城擅畹厥褂昧朔醋C法，如果果子是甜的，路邊樹上的果

10、子已被采摘。像這樣，為了說明某一個(gè)結(jié)論是正確的，但不從正面直接說明，而是說明它的反面是錯(cuò)誤的，從而得出它本身是正確的。我們知道，推理與證明是數(shù)學(xué)問題解題的基本思維過程，從上面的故事中，我們生活中可以使用推理與證明的思維方式進(jìn)行思考問題。 2 反證法的產(chǎn)生 2.1古希臘的反證法 西方的數(shù)學(xué)在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的影響下，他們認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”（指整數(shù)），數(shù)學(xué)知識(shí)是可靠和準(zhǔn)確的。但隨著第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生，自根號(hào)二的發(fā)現(xiàn)，使希臘人重新審視了他們自己的數(shù)學(xué)，從此他們放棄了以數(shù)為基礎(chǔ)的幾何。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)使他們無(wú)法依靠圖形和直觀，因此，西方數(shù)學(xué)必須以證明為主來證明數(shù)學(xué)。而他們要的是準(zhǔn)確性的數(shù)學(xué)。它的表

11、現(xiàn)形式是：邏輯、演繹的體系?？梢娝侵缸C明的數(shù)學(xué)與算的數(shù)學(xué)正好相反。希臘人認(rèn)為數(shù)值計(jì)算是幾何證明之后的一個(gè)應(yīng)用，他們更注重演繹與證明，指出“不要近似”，也就是要達(dá)到“明確的形式證明和公理的使用” ［1］ 。最開始運(yùn)用到反證法的是古希臘最盛名的數(shù)學(xué)家歐幾里德，在他的著作《幾何原本》里就開始運(yùn)用反證法了，如證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)的結(jié)論，假設(shè)命題不真，則素?cái)?shù)只有有限多個(gè)。柏拉圖認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)從絕對(duì)假設(shè)開始，并通過一系列的邏輯推理達(dá)到所需要的結(jié)論。亞里士多德則努力把形式邏輯應(yīng)用到數(shù)學(xué)中，開始研究數(shù)學(xué)概念，而且他并不同意畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬(wàn)物皆數(shù)”的觀點(diǎn)，再者是承認(rèn)公設(shè)，亞里士多德認(rèn)為數(shù)學(xué)證明就是把原有的道理給

12、畫出來，問題就可以得到解決。 2.2 中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的反證法 在中國(guó)的古代數(shù)學(xué)里對(duì)推理演繹的證明不是那么重視，盡管人們發(fā)現(xiàn)一些邏輯規(guī)律，例如在魏晉時(shí)期的雄辯之風(fēng)，大多數(shù)的反駁用到了歸謬法，這里的歸謬法就是舉反例，劉徽受當(dāng)時(shí)的影響，在他的《九章算術(shù)注》中，歸謬論證法被多次使用，劉徽在證明某些公式是錯(cuò)誤的時(shí)候，用的方法都是反駁，并且是成功的，符合邏輯規(guī)律的。墨子也用過歸謬法，例如：“學(xué)之益也，說在誹者?！蓖ㄟ^證明“學(xué)習(xí)是沒有益處”為假，從而得到命題“學(xué)習(xí)是有益的”為真。歸謬法也是反證法中的一種方法，但因?yàn)橹袊?guó)邏輯學(xué)的不完善，在指出明確運(yùn)用反證法的用法上是少之又少，與西方差別甚大。 3 反證

13、法的定義與步驟 3.1 反證法的定義 反證法是“間接證明法”的一類，簡(jiǎn)而言之就是從反方向證明的證明方法。最早法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾?！边@段話可以理解為先提出與結(jié)論相反（相排斥）的假設(shè)，然后推導(dǎo)出和已知證明的定理或公理、定義、題設(shè)、相矛盾的結(jié)果，這樣就證明了與結(jié)論相反的假設(shè)不能成立，從而肯定了原來的結(jié)論必定成立，這種間接證明的方法叫反證法［2］。 3.2反證法的解題步驟 用反證法證明一個(gè)命題的步驟大體上可以歸納為三個(gè)步驟: （1）反設(shè)——反設(shè)是用反證法解題的基礎(chǔ)，反設(shè)是否準(zhǔn)確對(duì)解題過程與結(jié)果起著決定性的影響。第一

14、步要找到題目中的已知條件和結(jié)論，接著是細(xì)心并準(zhǔn)確找出與結(jié)論相反的假設(shè)，最后是對(duì)結(jié)論進(jìn)行肯定或否定。 （2）歸謬——?dú)w謬是重點(diǎn)，亦是難點(diǎn)。利用題設(shè)和反設(shè)出發(fā),經(jīng)過嚴(yán)格地邏輯推理和論證,最終導(dǎo)出矛盾。但許多學(xué)生不知道怎樣去尋找矛盾.所以,教師在教學(xué)時(shí),要讓學(xué)生清楚:反設(shè)后條件都有什么;邏輯推理的方向;矛盾將如何產(chǎn)生. （3）結(jié)論——即根據(jù)反設(shè)以及歸謬所得到的最終結(jié)果。歸謬是根據(jù)反設(shè)得到一個(gè)與命題原結(jié)論矛盾的理論，從而肯定命題的原結(jié)論。完成這三步，用反證法解題就已經(jīng)完成［3］。 例如：已知:如下圖，設(shè)點(diǎn)A、B、C在同一直線上，求證：過A、B、C三點(diǎn)不能作圓. 【反設(shè)】假設(shè)過A、B、C

15、三點(diǎn)能作圓，這個(gè)假設(shè)作為下一步“歸謬”的一個(gè)已知條件。 【歸謬】由上述假設(shè)過A、B、C三點(diǎn)能作圓出發(fā)，設(shè)此圓圓心為O，則A、B、C三點(diǎn)中連任意兩點(diǎn)的線段是圓O的弦，由垂徑定理：O既在AB的中垂線 OM上，又在BC的中垂線ON上，從而過點(diǎn)O有兩條直線OM與ON均與AC垂直，這個(gè)結(jié)論就與定理“同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾。推理正確，所以假設(shè)錯(cuò)誤。 【結(jié)論】故過同一直線上三點(diǎn)A、B、C不能作圓。 4 反證法的分類與科學(xué)性 4.1反證法的分類 反證法分為歸謬法和窮舉法。用歸謬法證題

16、時(shí)，如果將要證明的命題的方面情況只有一種，那么只要把這種情況反駁倒了，便可以達(dá)到反證的目的。如果要證明的方面情況有多種，那么必須將所有情況一一推翻，然后進(jìn)行一一分析與處理，才能推斷原結(jié)論成立，這就是窮舉法。 4.1.1歸謬法例題 著名的俄國(guó)文學(xué)家赫爾岑，曾經(jīng)參加一個(gè)了聚會(huì)，他非常不喜歡派對(duì)上播放的音樂，促使他用手捂住耳朵。 主人向他解釋道：“演奏的是流行的音樂?！? 赫爾岑反問主人：“流行的音樂就是高尚的嗎？” 主人聽后很吃驚地回答道：“不高尚的東西怎么能夠流行呢？” 赫爾岑笑著說：“流行感冒也是高尚的了？” 題意：“不高尚的東西怎么能夠流行呢？”這句話等于“一切流行的東西都是高尚

17、的”。赫爾岑卻假設(shè)定其為真，從而導(dǎo)出“流行感冒也是高尚的了”這個(gè)荒謬的結(jié)果。荒謬的結(jié)果可以把主人話中不明顯的荒謬揭露出來。這就是運(yùn)用歸謬法從假定被反駁的判斷是真的，推出荒謬的結(jié)論。甚至結(jié)論不用直接說出來，就足以使對(duì)方承認(rèn)自己論題的荒謬。這種巧妙的揭示，顯得很幽默，有趣得使人發(fā)笑。 4.1.2窮舉法例題 若,則有, 證明:若不然,則有, ,與題設(shè)矛盾, ,與題設(shè)矛盾, 因此,. 4.2反證法的科學(xué)性 4.2.1反證法的理論依據(jù) 反證法所依據(jù)的是亞里士多德的形式邏輯中的兩個(gè)基本規(guī)律，即矛盾律和排中律。兩者的概念有所不同，所謂矛盾律是說：在同一個(gè)論證過程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷，

18、即互相矛盾或者互相反對(duì)的判斷，其中必然有一個(gè)是假的，不可能同時(shí)為真。如對(duì)這個(gè)數(shù),“是有理數(shù)”和“ 是無(wú)理數(shù)”的兩個(gè)判斷中必然有一個(gè)是假的，不可能同時(shí)為真。而所謂的排中律是：在同一個(gè)思維過程中，兩個(gè)矛盾的思想，即兩個(gè)互相矛盾的判斷，其中必然有一個(gè)是真的，不可能同時(shí)為假。如要證明“是無(wú)理數(shù)”,只需要證明“是有理數(shù)”是假的，因?yàn)椤笆怯欣頂?shù)”和“不是有理數(shù)”,是兩個(gè)相矛盾的判斷,則根據(jù)排中律,其中必然有一個(gè)是真的。排中律常用公式表示為“A或者非A”，即“A∨A”。 矛盾律與排中律的相同點(diǎn)和區(qū)別。其相同點(diǎn)是：兩個(gè)規(guī)律都不能存在邏輯矛盾，如果違背排中律那毋庸置疑也違背了矛盾律。區(qū)別：第一，適用范圍不同。

19、矛盾律包含了互相反對(duì)的判斷，而排中律只包含了互相矛盾的判斷，說明矛盾律是包含排中律的。在此，解釋一下互相矛盾與互相反對(duì)。互相矛盾是指這兩個(gè)命題不能同真，也不能同假。而互相反對(duì)是指這兩個(gè)命題不能同真，但是可以同假。第二，邏輯要求不同。矛盾律要求互相矛盾和互相反對(duì)的命題，不能加以肯定，必須否定其中一個(gè)。而排中律要求互相矛盾的命題，不能加以否定，必須肯定其中一個(gè)。排中律還要求需具有明確性和清晰性的思維。 4.2.2反證法的可信性 反證法在其證明過程中，對(duì)“原結(jié)論”和“否定的原結(jié)論”，必然得到矛盾的兩個(gè)判斷，根據(jù)“矛盾律”，這兩個(gè)矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必須有一個(gè)假的，而已知的條件、已知的公理、定

20、理、法則或者已經(jīng)被證明是正確的命題都是真的，所以“否定的原結(jié)論”必定為假。再根據(jù)“排中律”，“原結(jié)論”和“否定的原結(jié)論”這一對(duì)立的互相矛盾的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，而“否定的原結(jié)論”為假，由此我們可以得到原結(jié)論必定為真。綜上所訴，反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚瑥亩贸隽钊诵欧恼_結(jié)論，所以反證法是可信的。 4.3為什么要使用反證法 直接證法與反證法最終目的都是為了證明結(jié)論。這兩種證法就像是兩條道路，前者是直線，后者是曲線。如果路好走，我們肯定選擇直路，但是如果直線路崎嶇難行，難關(guān)重重，那我們寧愿選擇那條比較好走的路雖然它曲折。若直路是一條絕路，那是非

21、走曲折路不可了。這與我們選擇使用何種證明方法類似，有些題目雖然可以用直接證法，但用反證法會(huì)簡(jiǎn)便很多，所以我們寧愿選擇用反證法。而有些題目則只能用反證法來證明。雖然反證法有時(shí)可以用直接證法來代替，但是不能否定反證法的存在。反證法與直接證法都是必要的，同等重要。 5 反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，常用反證法證明的命題有以下幾種類型： 5.1基本命題，即學(xué)科中的起始性命題 這類命題用直接證明是有一定難度的或者說結(jié)論的反面比結(jié)論本身更容易證明，因?yàn)橐阎獥l件以及由已知條件推出的結(jié)論比較少，在這種題目中能夠運(yùn)用的定理、定義、公理也比較少，此時(shí)我們會(huì)選擇用反證法來進(jìn)行證明［4］。 5

22、.1.1兩條直線同時(shí)平行于第三條直線,則原兩條直線互相平行. 已知: 求證: 證明：假設(shè)與不平行, 則AB與CD相交于點(diǎn)P ，即 、即, 過點(diǎn)有兩條不同的直線與平行,但這與平行公理矛盾,因此假設(shè)不平行不成立. 故. 【分析】讓學(xué)生知道這種類型題是不能直接證明的，這要從問題的反面出發(fā)，否定命題結(jié)論，即AB與CD不平行，那么它們肯定相交，交點(diǎn)為P，因?yàn)檫^點(diǎn)P就有兩條直線AB、CD都平行于EF，這顯然與平行公理矛盾，產(chǎn)生矛盾的原因是假設(shè)錯(cuò)誤。所以AB與CD不相交，則只能平行，問題得證［5］。 例5.1.2 直線與平面相交于，過點(diǎn)在平面內(nèi)引直線、、，，求證：。 證明：假設(shè)PO不

23、垂直平面。 作并與平面相交于H，此時(shí)H、O不重合，連結(jié)OH。 過P作于E，于F， 根據(jù)，三垂線定理可知，，。 因?yàn)椋琍O是公共邊， 所以 所以 又 所以 所以 因此，OH是的平分線。 同理可證，OH是的平分線。 但是，OB和OC是兩條不重合的直線， OH不可能同時(shí)是和的平分線，產(chǎn)生矛盾。 【分析】本道題若從正面進(jìn)行證明，根據(jù)題目所給條件所能借助的公理定理有限，則只能嘗試從反面去思考，這道題由于不能直接證明，不妨先假設(shè)PO不垂直平面，以此為條件再結(jié)合相關(guān)定理得到與客觀事實(shí)不符合的結(jié)論，這說明假設(shè)“PO不垂直平面”錯(cuò)誤，那么假設(shè)的反面就是正確的，即，故原命題結(jié)論成立。

24、 5.2命題采取否定形式 結(jié)論中出現(xiàn)“不可能”、“不存在”、“沒有”、“不是”等這樣否定形式的字眼的命題； 例5.2.1 證明不是有理數(shù)，即是無(wú)理數(shù)。 證明：假設(shè)是有理數(shù)，那我們能找到自然數(shù)a和b，使得 = 這里的a和b是互質(zhì)的，對(duì)上式兩邊進(jìn)行平方，得到 因此，為偶數(shù)，所以，a也一定是偶數(shù)。于是，存在一個(gè)自然數(shù)c,使得 ，則，則 從而是偶數(shù)，因此也是偶數(shù)。由上得出均為偶數(shù)與互質(zhì)矛盾，所以我們一開始的假設(shè)是錯(cuò)誤的，故是無(wú)理數(shù)。［4］ 【分析】對(duì)于中學(xué)生來說，是無(wú)理數(shù)是很平常的結(jié)論，它為什么是無(wú)理數(shù)，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)說因?yàn)樗菬o(wú)限不循環(huán)小數(shù)，但是沒有人能對(duì)其作出嚴(yán)格的證明

25、。希巴斯利用畢達(dá)哥拉斯的勾股定理，發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度不是有理數(shù)，繼而發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的存在，但希巴斯卻因?yàn)檫@個(gè)真理死亡。確實(shí)，我們?cè)谧C明是無(wú)理數(shù)的時(shí)候，直接證明是無(wú)理數(shù)會(huì)讓人手足無(wú)措，于是，我們可以從是有理數(shù)出發(fā)進(jìn)行證明，結(jié)果肯定與原結(jié)論是矛盾的。 例5.2.2 在一個(gè)三角形中，不可能有兩個(gè)角是鈍角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角。 求證：∠A，∠B，∠C中不可能有兩個(gè)鈍角。 證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)鈍角，我們不妨設(shè)∠A＞900,且∠B＞900，則∠A+∠B+∠C一定大于1800。這與定理“三角形內(nèi)角和為1800”相矛盾。 故 ∠A，∠B均大于900

26、是不成立的。所以，一個(gè)三角形不可能有兩個(gè)鈍角。 【分析】由上題可知，對(duì)于這種“不可能事件”，我們很難從正面解題，如果我們從正面進(jìn)行證明，那它的情況就會(huì)很多，我們幾乎無(wú)從下手?！安豢赡苁录钡姆疵媸恰翱隙ㄊ录?，如若從它的反面出發(fā)，就只有這一種情況，所以我們假設(shè)∠A＞900,且∠B＞900。當(dāng)題目含有“不可能”、“不存在”、“沒有”、“不是”等這樣形式的字眼，運(yùn)用逆向思維把“不可能事件”變成“肯定事件”，相當(dāng)于給題目增加了一個(gè)條件，這樣就達(dá)到了運(yùn)用反證法解題的目的。 5.3有關(guān)個(gè)數(shù)的命題 即結(jié)論中含有“唯一”、“至多”、“至少”、“不少于”、“最多”等這樣的詞語(yǔ)命題； 例5.3.1

27、 已知,求證關(guān)于的方程有且只有一個(gè)根. 證明:假設(shè)方程（）至少存在兩個(gè)根, 不妨設(shè)其中的兩根分別為,且,則, , , , , 與已知矛盾, 故假設(shè)不成立,結(jié)論成立. 【分析】對(duì)于這種唯一性的問題，本道題一樣是直接使用反證法證明，在本題中，我們知道“有且只有一個(gè)”的反面是“至少存在兩個(gè)”，因此，可以直接寫出它的否命題。根據(jù)邏輯推理能推出我們假設(shè)的是錯(cuò)誤的，繼而得出原結(jié)論是正確的。 例5.3.2 已知, , 都是正實(shí)數(shù)，求證：下列三個(gè)式子中至少有一個(gè)不小于2： 證明：不妨設(shè)三個(gè)式子全部都小于2， 即 ，， 由于是任意的正實(shí)數(shù)，可以令5, 則我們有： 顯然矛

28、盾。 所以，假設(shè)不成立，故原命題成立，即中至少有一個(gè)不小于2. 【分析】“三個(gè)式子中至少有一個(gè)不小于2”共有七種情況，雖然結(jié)論很顯然，但是證明起來困難又繁雜，而它的反面是“全都小于2”只有一種情況，那我們肯定選擇從反面進(jìn)行證明，利用反證法，我們假設(shè)三個(gè)式子全都小于2，再來證明假設(shè)是錯(cuò)誤的，原結(jié)論才得以成立。由上述例題可以知道當(dāng)遇到結(jié)論中含有“唯一”、“至多”、“至少”、“不少于”、“最多”等這樣的詞語(yǔ)命題時(shí)，我們可以從反面進(jìn)行思考并分析問題，看看能不能使用反證法證題，這樣會(huì)簡(jiǎn)便很多。 5.4結(jié)論涉及無(wú)限集或數(shù)目不確定的命題 待證命題的結(jié)論是無(wú)限的，結(jié)論涉及的對(duì)象無(wú)法全部列出，這些命

29、題結(jié)論的反面是有限的、肯定的，這時(shí)宜用反證法。 例5.4.1證明質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè) 證：假設(shè)質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)為有限個(gè)，假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限n個(gè) 設(shè)全體質(zhì)數(shù)為， 令，很容易發(fā)現(xiàn)除以余1，除以余1，除以余1，所以不含因數(shù)，故要么是質(zhì)數(shù)，要么含有除了外的質(zhì)因數(shù)，這說明除了質(zhì)數(shù)外，還有其他質(zhì)數(shù)，因此，假設(shè)不成立。所以，質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)。 【分析】首先題目原結(jié)論說質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)，很顯然，它的反面就是質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)為有限個(gè)，并假設(shè)它有n個(gè)，設(shè)全體質(zhì)數(shù)為，令p是一個(gè)比大1的數(shù)。由邏輯推理可得都不是p的因數(shù)，所以，p是一個(gè)與都不同的質(zhì)數(shù)。故對(duì)于這種涉及無(wú)限的結(jié)論也可用反證法而證之。 5.5不等式類型 對(duì)于一些較

30、復(fù)雜的不等式，有時(shí)候很難從正面直接入手去證明，這時(shí)可以考慮嘗試反證法。 例5.5.1已知,.求證：全是正數(shù) 證明：假設(shè) 又由，則， ，與原結(jié)論矛盾. 若,則與矛盾，所以，一定是正數(shù). 同理可證：也是正數(shù)［6］。 【分析】對(duì)于不等式類型的命題，首先弄清楚題目所含有的條件和結(jié)論，條件即，最后結(jié)論是。其次是作出與所要證明的不等式相反的假設(shè)，即c<0。接著是根據(jù)題目所給條件和假設(shè)出發(fā)，進(jìn)行正確的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾。最后肯定因?yàn)榧僭O(shè)錯(cuò)誤而導(dǎo)致矛盾，故原不等式成立。不等式類型的題目會(huì)因?yàn)槭褂梅醋C法間接地達(dá)到目的 例5.5.2 在△中，,求證：. 證明：假設(shè), 由已知條件得 即

31、 因?yàn)?故 ， 又 ， 所以。則，所以。 這與矛盾，故假設(shè)不成立，所以。 【分析】本題同上一道例題一樣，首先弄清楚題目所含有的條件和結(jié)論，條件是在△中有，結(jié)論是，其次，作出與原結(jié)論相反的假設(shè)，即。接著根據(jù)所給條件和假設(shè)出發(fā)，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡壿嬐评恚@里要注意掌握三角函數(shù)公式的運(yùn)用，必須要熟悉三角函數(shù)的公式才能完成此道題，才能推出假設(shè)錯(cuò)誤，從而肯定原結(jié)論是正確的。 5.6幾何類型題 如要證明某個(gè)圖形不可能有某種性質(zhì)，并且要求證的結(jié)論是否定形式的，若用反證法證明會(huì)有一定的困難，所以這類題一般會(huì)使用反證法進(jìn)行證明。 例5.6.2 已知如下圖所示，圓О兩弦AB，CD相交

32、于點(diǎn)E，且AB，CD均不過O點(diǎn).求證：弦AB，CD不能互相平分. 證明：假設(shè)AB與CD互相平分，平分點(diǎn)是E 由垂徑定理得OEAB，同時(shí)OECD， AB//CD,顯然，這與已知條件AB與CD相交矛盾. 所以，弦AB，CD不能互相平分［7］。 【分析】對(duì)于幾何題使用反證法，一般是題目中所給條件是無(wú)法使用上的并且要求證的結(jié)論是否定形式的。那首先我們假設(shè)求證的問題是成立的，即假設(shè)AB與CD互相平分，然后再根據(jù)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧，然后得出與原結(jié)論不符合的結(jié)論，故而推出原證題是成立的。 6 使用反證法解題過程中要注意的

33、問題 6.1反設(shè)要正確 必須正確地否定原結(jié)論，這是使用反證法的必要前提，如本文例題中的原結(jié)論是：弦AB，CD不能互相平分，則它的否定命題即是AB與CD互相平分。又如的方程有且只有一個(gè)根的否定命題是方程（）至少存在兩個(gè)根。在這個(gè)過程中必須全面思考到位，如果與原結(jié)論的反面有多種情況，就要一一進(jìn)行否定，不能遺漏一點(diǎn)，否則，原命題的證明不準(zhǔn)確。 6.2 要明確推理特點(diǎn) 在推理過程中一定要使用題目所給的已知條件，也不要忘記新增加的反設(shè)條件，一切推理都是從反設(shè)出發(fā)，要按照推理原則，一步一步進(jìn)行推理就行，否則要么推不出與原結(jié)論相矛盾的結(jié)果，要么不能斷定所推出的結(jié)論是錯(cuò)誤的。［］。 6.

34、3能靈活運(yùn)用 反證法的應(yīng)用很廣泛，尤其是數(shù)學(xué)證明題，一般都可采用反證法,但并代表,數(shù)學(xué)中的所有證明題都可以使用反證法來證明,就多數(shù)題目來說,用直接證法就可以證出,不能一味想著使用反證法,有些學(xué)生已經(jīng)掌握了反證法的方法，但是對(duì)于一些學(xué)生，他們覺得用反證法更麻煩，繞來繞去把自己給繞糊涂了，對(duì)于這些問題，就需要學(xué)生加強(qiáng)這類題型的訓(xùn)練。對(duì)待用反證法證題的策略思想是:首先試用直接證法,若一時(shí)不能成功,即可嘗試使用反證法。 6.4 反證法與舉反例不等同 舉反例和反證法都是判斷命題的真假，但其本質(zhì)不同，舉反例是證明一個(gè)命題是假命題時(shí)一種方法，例如，要說明假命題“大于的角是鈍角”，只要舉出一個(gè)大

35、于或等于л的角，如角，根據(jù)鈍角的定義，它大于但卻不是鈍角，就可以確定是假命題。反證法則是直接證明比較困難時(shí)而采用的一種間接證法，對(duì)于真命題，顯然是不能用舉反例的方法證明的，很顯然，真命題是舉不出反例的，則必須通過反證法的邏輯論證進(jìn)行證明，其證明的步驟分為反設(shè)歸謬肯定原結(jié)論三步，相比舉反例，反證法在格式上更嚴(yán)格、規(guī)范，要求更高一些。 6.5熟悉矛盾的種類 反證法在推理過程中會(huì)遇到的矛盾是多種多樣的，是不能預(yù)測(cè)的［8］。導(dǎo)出的結(jié)果可能是與題設(shè)或者部分題設(shè)相矛盾，也可能是與真命題相矛盾，真命題包括定理、定義、公理或者是性質(zhì)等。還可能是與臨時(shí)的假設(shè)相矛盾［9］。導(dǎo)出矛盾，是整道題的關(guān)鍵，只有找

36、到矛盾，才能順利進(jìn)行證明。 7 總結(jié) 數(shù)學(xué)是一門非常能考驗(yàn)人的思維邏輯的學(xué)科，反證法是數(shù)學(xué)證明的一種重要的解題方法之一，也是一種數(shù)學(xué)思想。學(xué)會(huì)運(yùn)用反證法，能鍛煉我們各方面的能力如觀察力、逆向思維能力、辨別能力、創(chuàng)造能力等，從而養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，這對(duì)我們學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)有很大的幫助。使用反證法首先要了解反證法，掌握它的定義與步驟，知道如何反設(shè)，能夠找出矛盾，并結(jié)合題目所給條件或者新增的條件或公理定理得出與原結(jié)論矛盾的結(jié)論，清楚運(yùn)用反證法過程中要注意的問題，當(dāng)你真正掌握反證法時(shí)，才能熟練運(yùn)用反證法去思考問題解決問題。不僅僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域會(huì)用到反證法這種數(shù)學(xué)方法，生活上一樣可以利用反證法，當(dāng)你無(wú)法從正面解決問題的時(shí)候，就想想能否從反面進(jìn)行。本文就是我對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中反證法的認(rèn)識(shí)。