《高考數(shù)學一輪復習講義 10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學一輪復習講義 10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理課件（52頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點50 分類不準、計數(shù)原理使用不當致誤分類不準、計數(shù)原理使用不當致誤 正確答案正確答案 11排列、組合排列、組合計數(shù)原理計數(shù)原理計計數(shù)數(shù)原原理理二項式定理二項式定理組合組合通項通項二項式定理二項式定理二項式系數(shù)性質(zhì)二項式系數(shù)性質(zhì)分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理排列排列排列的定義排列的定義排列數(shù)公式排列數(shù)公式組合的定義組合的定義組合數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)性質(zhì)組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)應(yīng)用用 名稱內(nèi)容加法原理加法原理乘法原理乘法原理定定 義義相同點相同點不同點不同點

2、做一件事或完成一項工作的方法數(shù)做一件事或完成一項工作的方法數(shù)直接直接(分類分類)完成完成間接間接(分步驟分步驟)完成完成 做一件事做一件事,完成它可完成它可以有以有n類辦法類辦法,第一類辦第一類辦法中有法中有m1種種不同不同的方的方法法,第二類辦法中有第二類辦法中有m2種不同的方法種不同的方法,第第n類辦類辦法中有法中有mn種不同的方種不同的方法法,那么完成這件事共那么完成這件事共有有N=m1+m2+m3+mn種不同的方法種不同的方法. 做一件事做一件事,完成它可完成它可以有以有n個步驟個步驟,做第一步做第一步中有中有m1種不同的方法種不同的方法,做第二步中有做第二步中有m2種不種不同的方法同

3、的方法,第第n步中有步中有mn種不同的方法種不同的方法,那么那么完 成 這 件 事 共 有完 成 這 件 事 共 有N=m1m2m3mn 種不種不同的方法同的方法.1.兩個原理的區(qū)別于聯(lián)系兩個原理的區(qū)別于聯(lián)系 【結(jié)論【結(jié)論】集合集合A中有中有m個元素，集合個元素，集合B中有中有n個元素，個元素，那么從那么從A到到B可以構(gòu)造可以構(gòu)造nm個映射個映射.解解:第一步，給第一步，給a找對應(yīng)元素，有找對應(yīng)元素，有3種方法；種方法； 第二步，給第二步，給b找對應(yīng)元素，有找對應(yīng)元素，有3種方法；種方法； 第三步，給第三步，給c找對應(yīng)元素，有找對應(yīng)元素，有3種方法；種方法； 第四步，給第四步，給d找對應(yīng)元素，

4、有找對應(yīng)元素，有3種方法；種方法； 第五步，給第五步，給e找對應(yīng)元素，有找對應(yīng)元素，有3種方法種方法.例例1.設(shè)設(shè) A=a, b, c, d, e , B=x, y, z, 從從A到到B共有多少共有多少 種不同的映射種不同的映射?一一 映射個數(shù)問題映射個數(shù)問題形成一個映射形成一個映射,就是讓就是讓A中所有元素都找到對應(yīng)元素中所有元素都找到對應(yīng)元素.則共有方法種數(shù)則共有方法種數(shù)N=35.例例1.設(shè)設(shè)A=a, b, c, d, e, f , B=x, y, z, 從從A到到B共共有多少種不同的映射有多少種不同的映射? 【1】設(shè)】設(shè)A=1, 2, 3, B=4, 5, 6,從從A到到B滿滿足足1的象

5、是的象是4的映射有多少種的映射有多少種? 【2】設(shè)集合】設(shè)集合A =x, y, z, B =- -1, 0, 1, 映射映射f:AB滿足滿足f (x)+f (y) + f (z)=0的映射的映射有多少種有多少種?9. 13 2 17個個5(1)41024(); 【3】已知集合】已知集合Aa,b,c,d ,集合集合B1, 2, 3, 4, 5,集合集合C= e, f, g, h .(1)從集合從集合B 到集合到集合A可以建立多少個不同的映射可以建立多少個不同的映射?(2)在集合在集合A到集合到集合B的映射中的映射中,若要求集合若要求集合A中的不同元中的不同元素的象也不同素的象也不同,這樣的映射有

6、多少個這樣的映射有多少個?(3)從集合從集合A到集合到集合C可以建立多少個一一映射可以建立多少個一一映射?個個(2)5 4 3 2120(); 個個(3)432124(). 例例2.集合集合A=a, b, c, d, e,它的子集個數(shù)為它的子集個數(shù)為_,真子集個數(shù)為真子集個數(shù)為_,非空子集個數(shù)為非空子集個數(shù)為_,非空真子集個數(shù)為非空真子集個數(shù)為_.二二 子集問題子集問題52521 521 522 【1】集合集合M滿足滿足1, 2 M 0, 1, 2, 3, 4, 5, 則這樣的集合則這樣的集合M有多少個？有多少個？6 2216 真子集有真子集有_個，個，非空子集個數(shù)為非空子集個數(shù)為_，非空真子

7、集個數(shù)有非空真子集個數(shù)有_.21n21n22n 【規(guī)律【規(guī)律】n元集合元集合a1, a2, , an,的不同子的不同子集有個集有個_個個.2n二二 子集問題子集問題解解: 按地圖按地圖A, B, C, D四個區(qū)域依次分四步完成四個區(qū)域依次分四步完成, 第一步第一步, m1 = 3 種種, 第二步第二步, m2 = 2 種種, 第三步第三步, m3 = 1 種種, 第四步第四步, m4 = 1 種種,三、著色問題三、著色問題例例3.如圖如圖,要給地圖要給地圖A, B, C, D四個區(qū)域分別涂上四個區(qū)域分別涂上3種不種不同顏色同顏色中的某一種中的某一種,允許同一種顏色使用多次允許同一種顏色使用多次

8、,但相鄰但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？不同的涂色方案有多少種？所以根據(jù)乘法原理所以根據(jù)乘法原理, 得到不同的涂色方案種數(shù)共有得到不同的涂色方案種數(shù)共有N = 3211 = 6 種種.例例3.如圖如圖,要給地圖要給地圖A, B, C, D四個區(qū)域分別涂上四個區(qū)域分別涂上3種不種不同顏色同顏色中的某一種中的某一種,允許同一種顏色使用多次允許同一種顏色使用多次,但相鄰但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？不同的涂色方案有多少種？三、著色問題三、著色問題 用紅用紅,黃黃,綠綠,黑四種不同的顏色涂入下圖中的黑四種不同的顏色涂入下

9、圖中的五個區(qū)域內(nèi)五個區(qū)域內(nèi),要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同同,則有多少種不同的涂色方法？則有多少種不同的涂色方法？當當B B與與D D不同色時不同色時, 有有4 3 2 1 1=24種種.A AB BC CD DE E解解:當當B B與與D D同色時同色時, 有有4 3 2 1 2=48種種;故共有故共有48+24=72種不同的涂色方法種不同的涂色方法.點評點評:像這類給區(qū)域涂色的問題像這類給區(qū)域涂色的問題,我們應(yīng)該給區(qū)域我們應(yīng)該給區(qū)域依次標上相應(yīng)的序號依次標上相應(yīng)的序號,以便分析問題以便分析問題,在給各區(qū)域在給各區(qū)域涂色時涂色時,要注意不同的涂色順序其解題就有

10、繁簡要注意不同的涂色順序其解題就有繁簡之分之分.A AB BC CD DE E 如本例若按如本例若按A A、B B、E E、D D、C C順序涂色時順序涂色時,在最在最后給區(qū)域后給區(qū)域C C涂色時涂色時,就應(yīng)考慮就應(yīng)考慮A A與與E E是否同色是否同色,B B與與D D是否同色這兩種情況是否同色這兩種情況.因此在分析解決這類問題因此在分析解決這類問題時時,應(yīng)按不同的涂色順序多多嘗試應(yīng)按不同的涂色順序多多嘗試,看那一個最簡看那一個最簡單單.本例易錯點本例易錯點:未考慮未考慮B B與與D D是否同色是否同色. (2003年年全國高考題全國高考題)如圖所示如圖所示,一個地區(qū)分一個地區(qū)分為為5個行政區(qū)

11、域個行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色得使用同一顏色,現(xiàn)有現(xiàn)有4種顏色可供選擇種顏色可供選擇,則不同則不同的著色方法有的著色方法有_種種.(以數(shù)字作答以數(shù)字作答)同類變式同類變式解解:因區(qū)域因區(qū)域1與其他四個區(qū)域都相鄰與其他四個區(qū)域都相鄰,宜先考慮區(qū)宜先考慮區(qū)域域1,有有4種涂法種涂法.1342512345同類變式同類變式(2)若區(qū)域若區(qū)域2,4不同色不同色,先涂區(qū)域先涂區(qū)域2有有3種方法種方法,再涂再涂區(qū)域區(qū)域4有有2種方法種方法,此時區(qū)域此時區(qū)域3,5也都只有也都只有1種涂法種涂法,涂法總數(shù)為涂法總數(shù)為4 3 2 1=24種種,因此涂法共有因此涂

12、法共有72種種.(1)若區(qū)域若區(qū)域2,4同色同色,有有3種涂法種涂法,此時區(qū)域此時區(qū)域3,5均有兩均有兩種涂法種涂法,涂法總數(shù)為涂法總數(shù)為4 3 2 2=48種種;13425例例4.用用0, 1, 2, 3, 4, 5這六個數(shù)字這六個數(shù)字,(1)可以組成多少個各位數(shù)字不允許重復的六位可以組成多少個各位數(shù)字不允許重復的六位的自然數(shù)？的自然數(shù)？(2)可以組成多少個各位數(shù)字不允許重復的三位可以組成多少個各位數(shù)字不允許重復的三位的奇數(shù)的奇數(shù)?(3)可以組成多少個各位數(shù)字不重復的小于可以組成多少個各位數(shù)字不重復的小于1000的自然數(shù)的自然數(shù)?(4)可以組成多少個大于可以組成多少個大于3000,小于小于5

13、421且各位且各位數(shù)字不允許重復的四位數(shù)數(shù)字不允許重復的四位數(shù)? 四、排數(shù)字問題四、排數(shù)字問題5 5 4 3 2 1600 3 4 448 6 5 5 5 5 4 131 5 4 3 5 4 3 4 4 3 2 31 175 【1】1, 2, 3, 4數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字能被能被3整除的三位數(shù)？整除的三位數(shù)？ 【2】隨著人們生活水平的提高，某城市家庭隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容.交交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽

14、車牌照都必須有個不重復的英文字母和個汽車牌照都必須有個不重復的英文字母和個不重復的阿拉伯數(shù)字個不重復的阿拉伯數(shù)字,并且個字母必須合成一并且個字母必須合成一組出現(xiàn)組出現(xiàn),個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照辦法共能給多少輛汽車上牌照?3 2 13 2 1 12. (26 25 24 10 9 8) 2 第二步第二步:讓與甲取走的卡片相對應(yīng)的人來拿讓與甲取走的卡片相對應(yīng)的人來拿,有有3種拿種拿法法.(例如甲拿的是例如甲拿的是2，則乙有，則乙有3種拿法種拿法.)總的方法數(shù)總的方法數(shù) N=3311=9.方法一方法一: :采用采用”分步分步”處理

15、處理第一步第一步:甲先拿甲先拿,按規(guī)定甲可拿按規(guī)定甲可拿2，3，4當中的一張當中的一張,有有3種方法種方法.第三步第三步:讓剩余的兩個人拿，都均有讓剩余的兩個人拿，都均有1種拿法種拿法.例例5.同室同室4人各寫人各寫1張賀年卡，先集中起來，然后每人張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿從中各拿1張別人送出的賀年卡，則張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的張賀年卡不同的分配方式有分配方式有 種種.五、綜合問題五、綜合問題9 9樹圖法樹圖法甲甲乙乙丙丙丁丁21 3 44 4 13 1 331 4 42 2 14 1 241 3 32 1 23 2 1解解:四名同學分別為四名同學分別為: 甲、乙、丙

16、、丁甲、乙、丙、丁, 所寫賀卡依次為所寫賀卡依次為 1， 2， 3， 4.例例6.自然數(shù)自然數(shù)4320有多少個正約數(shù)？有多少個正約數(shù)？解：解：432025335,其正約數(shù)的結(jié)構(gòu)式為其正約數(shù)的結(jié)構(gòu)式為235其中其中可取可取0,1,2,3,4, 5;可取可取0, 1, 2, 3;可取可取0,1. 即在即在,所形成的取值集合中所形成的取值集合中,各取一個元素填入各取一個元素填入上式上式, 就得就得4320的一個約數(shù)的一個約數(shù).第一步：取第一步：取20，21，22，23，24，25有有6種種;第二步：取第二步：取30，31，32，33有有4種；種；第三步：取第三步：取50，51有有2種種.由分步計數(shù)原

17、理，共有由分步計數(shù)原理，共有64248種種.【1】630630的不同的正約數(shù)的個數(shù)是的不同的正約數(shù)的個數(shù)是_.2 3 2 224 (). 個個解解:6302325724 【2】5張張1元幣，元幣，4張張1角幣，角幣，1張張5分幣，分幣，2張張2分幣，可組成分幣，可組成_種不同的幣值？種不同的幣值？(1張不取，張不取，即即0元元0分分0角不計在內(nèi)角不計在內(nèi))元：元：0，1，2，3，4，5角：角：0，1，2，3，4分：分：0，2，4，5，7，9 6561179179 【3】三邊長均為整數(shù)】三邊長均為整數(shù),且最大邊長為且最大邊長為11的三的三角形共有多少個角形共有多少個?解解:另兩邊長用另兩邊長用x

18、,y表示表示,且不妨設(shè)且不妨設(shè)1xy11,要構(gòu)成三角要構(gòu)成三角形形,必須必須x+y12.當當 y=11時時,1,2,3,11,x 有有11個三角形個三角形;當當 y=10時時,2,3,410,x 有有9個三角形個三角形;當當 y=6時時,6,x 有有1個三角形個三角形;所以所以,所求三角形的個數(shù)共有所求三角形的個數(shù)共有119753136 (119753136 (個個) ). 【3】在所有的兩位數(shù)中】在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字大于十位個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？ 分析分析1:按個位數(shù)字是按個位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成分成8類類,在在每一類中滿足

19、條件的兩位數(shù)分別是每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是 1個個,2個個,3個個,4個個,5個個,6個個,7 個個,8 個個. 則根據(jù)加法原理共有則根據(jù)加法原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (個個).分析分析2:按十位數(shù)字是按十位數(shù)字是1,2,3,4,5,6,7,8分成分成8類類,在在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是 8個個,7個個,6個個,5個個,4個個,3個個,2個個,1個個. 則根據(jù)加法原理共有則根據(jù)加法原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (個個)例例7 .一種號碼鎖有一種號碼鎖有4個撥

20、號盤，每個撥號盤上有個撥號盤，每個撥號盤上有從從0到到9共共10個數(shù)字，這個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字的號碼？個四位數(shù)字的號碼？ 解：解：1010101010 000.用用0, 1 , 2, ，9可以組成多少個可以組成多少個8位碼位碼；1010101010101010108.9101010101010109107.用用0, 1 , 2, ，9可以組成多少個可以組成多少個8位整數(shù)；位整數(shù)；91010109 00099874 536用用0, 1 , 2, ，9可以組成多少個可以組成多少個無重復數(shù)無重復數(shù)字的字的4位整數(shù)；位整數(shù)；用用0, 1 , 2, ，9可以組成

21、多少個可以組成多少個有有重復數(shù)字重復數(shù)字的的4位整數(shù)；位整數(shù)；例例7 .一種號碼鎖有一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有個撥號盤，每個撥號盤上有從從0到到9共共10個數(shù)字，這個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字的號碼？個四位數(shù)字的號碼？ 例例8.4 4個人個人各寫一張賀年卡各寫一張賀年卡,放在一起放在一起,然后每個然后每個人取一張不是自己寫的賀年卡人取一張不是自己寫的賀年卡,共有多少種不同共有多少種不同的取法的取法?解解:把把4個人編號為甲、乙、丙、丁個人編號為甲、乙、丙、丁,他們寫的他們寫的4張賀年卡依次為張賀年卡依次為、，則取，則取賀年賀年卡的各種方法全部列舉出

22、來為卡的各種方法全部列舉出來為4人各種各種取取賀年卡的方法賀年卡的方法甲甲乙乙丙丙丁丁例例4.4 4個人個人各寫一張賀年卡各寫一張賀年卡,放在一起放在一起,然后每個然后每個人取一張不是自己寫的賀年卡人取一張不是自己寫的賀年卡,共有多少種不同共有多少種不同的取法的取法?解解:把把4個人編號為甲、乙、丙、丁個人編號為甲、乙、丙、丁,他們寫的他們寫的4張賀年卡依次為張賀年卡依次為、，則取，則取賀年卡賀年卡的各種方法全部列舉出來為的各種方法全部列舉出來為個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？ 分析分析1:按個位數(shù)字是按個位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分

23、成分成8類類,在在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是 1個個,2個個,3個個,4個個,5個個,6個個,7 個個,8 個個. 則根據(jù)加法原理共有則根據(jù)加法原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (個個).分析分析2:按十位數(shù)字是按十位數(shù)字是1,2,3,4,5,6,7,8分成分成8類類,在在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是 8 8個個,7,7個個,6,6個個,5,5個個,4,4個個,3,3個個,2,2個個,1,1個個. . 則根據(jù)加法原理共有則根據(jù)加法原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (個個). 【2】集合集合A=1, 2,- -3,B=- -1,- -2, 3, 4. 從從 A, B 中各取中各取1個元素作為點個元素作為點P(x, y) 的坐標的坐標 (1)可以得到多少個不同的點？可以得到多少個不同的點？ (2)這些點中，位于第一象限的有幾個？這些點中，位于第一象限的有幾個？(1) 344324(2) 22228