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【決勝高考】2014年高考數(shù)學(xué)文科(高考真題+模擬新題)分類匯編:H單元 解析幾何

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1、 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) H H 單元單元 解析幾何解析幾何 H1 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 6 , , 2014 福建卷 已知直線 l 過圓 x2(y3)24 的圓心, 且與直線 xy10 垂直,則 l 的方程是( ) Axy20 Bxy20 Cxy30 Dxy30 6D 解析 由直線 l 與直線 xy10 垂直,可設(shè)直線 l 的方程為 xym0. 又直線 l 過圓 x2(y3)24 的圓心(0,3),則 m3,所以直線 l 的方程為 xy30,故選 D. 20 、 、2014 全國(guó)新課標(biāo)卷 已知點(diǎn) P(2,2),圓 C:x2y28y0,過點(diǎn) P 的動(dòng)直線l 與圓 C 交于 A,B 兩點(diǎn),線段 A

2、B 的中點(diǎn)為 M,O 為坐標(biāo)原點(diǎn) (1)求 M 的軌跡方程; (2)當(dāng)|OP|OM|時(shí),求 l 的方程及POM 的面積 20解:(1)圓 C 的方程可化為 x2(y4)216, 所以圓心為 C(0,4),半徑為 4. 設(shè) M(x,y),則 CM(x,y4),MP(2x,2y) 由題設(shè)知 CM MP0,故 x(2x)(y4)(2y)0,即(x1)2(y3)22. 由于點(diǎn) P 在圓 C 的內(nèi)部,所以 M 的軌跡方程是(x1)2(y3)22. (2)由(1)可知 M 的軌跡是以點(diǎn) N(1,3)為圓心, 2為半徑的圓 由于|OP|OM|,故 O 在線段 PM 的垂直平分線上,又 P 在圓 N 上,從而

3、 ONPM. 因?yàn)?ON 的斜率為 3,所以直線 l 的斜率為13, 故 l 的方程為 y13x83. 又|OM|OP|2 2,O 到直線 l 的距離為4 105, 故|PM|4 105,所以POM 的面積為165. 21 、 、 、2014 重慶卷 如圖 1- 5,設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1,F(xiàn)2,點(diǎn) D 在橢圓上,DF1F1F2,|F1F2|DF1|2 2,DF1F2的面積為22. (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (2)是否存在圓心在 y 軸上的圓,使圓在 x 軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程;

4、若不存在,請(qǐng)說明理由 圖 1- 5 21解:(1)設(shè) F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),其中 c2a2b2. 由|F1F2|DF1|2 2得|DF1|F1F2|2 222c. 從而 SDF1F212|DF1|F1F2|22c222,故 c1. 從而|DF1|22.由 DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292,因此|DF2|3 22, 所以 2a|DF1|DF2|2 2,故 a 2,b2a2c21. 因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y21. (2)如圖所示,設(shè)圓心在 y 軸上的圓 C 與橢圓x22y21 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個(gè)交點(diǎn),y10,y20,F(xiàn)1

5、P1,F(xiàn)2P2是圓 C 的切線,且 F1P1F2P2.由圓和橢圓的對(duì)稱性,易知,x2x1,y1y2. 由(1)知 F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),所以F1P1(x11,y1),F(xiàn)2P2(x11,y1)再由 F1P1F2P2得(x11)2y210. 由橢圓方程得 1x212(x11)2,即 3x214x10,解得 x143或 x10. 當(dāng) x10 時(shí),P1,P2重合,題設(shè)要求的圓不存在 當(dāng) x143時(shí),過 P1,P2分別與 F1P1,F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心 C.設(shè) C(0,y0),由 CP1F1P1,得y1y0 x1y1x111. 而 y1|x11|13,故 y053. 圓 C 的半徑

6、|CP1|432135324 23. 綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,其方程為 x2y532329. H2 兩直線的位置關(guān)系與點(diǎn)到直線的距離 6 , , 2014 福建卷 已知直線 l 過圓 x2(y3)24 的圓心, 且與直線 xy10 垂直,則 l 的方程是( ) Axy20 Bxy20 Cxy30 Dxy30 6D 解析 由直線 l 與直線 xy10 垂直,可設(shè)直線 l 的方程為 xym0. 又直線 l 過圓 x2(y3)24 的圓心(0,3),則 m3,所以直線 l 的方程為 xy30,故選 D. 18 、 、 、2014 江蘇卷 如圖 1- 6 所示,為保護(hù)河上古橋 OA,規(guī)劃建一座新橋

7、 BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)規(guī)劃要求:新橋 BC 與河岸 AB 垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心 M 在線段OA 上并與 BC 相切的圓, 且古橋兩端 O 和 A 到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于 80 m 經(jīng)測(cè)量,點(diǎn) A 位于點(diǎn) O 正北方向 60 m 處,點(diǎn) C 位于點(diǎn) O 正東方向 170 m 處(OC 為河岸),tanBCO43. (1)求新橋 BC 的長(zhǎng) (2)當(dāng) OM 多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大? 圖 1- 6 18解: 方法一: (1)如圖所示, 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn), OC 所在直線為 x 軸, 建立平面直角坐標(biāo)系 xOy. 由條件知 A(0, 60), C(170,0), 直線 BC

8、 的斜率 kBCtanBCO43. 又因?yàn)?ABBC, 所以直線 AB 的斜率 kAB34. 設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(a,b), 則 kBCb0a17043, kABb60a034, 解得 a80, b120, 所以 BC (17080)2(0120)2150. 因此新橋 BC 的長(zhǎng)是 150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓 M 的半徑為 r m, OMd m (0d60) 由條件知, 直線 BC 的方程為 y43(x170), 即 4x3y6800. 由于圓 M 與直線 BC 相切, 故點(diǎn) M(0, d)到直線 BC 的距離是 r, 即 r|3d 680|42326803d5. 因?yàn)?O 和 A

9、到圓 M 上任意一點(diǎn)的距離均不少于 80 m,所以rd80,r(60d)80, 即6803d5d80,680 3d5(60d)80, 解得 10d35. 故當(dāng) d10 時(shí), r 680 3d5最大, 即圓面積最大, 所以當(dāng) OM10 m 時(shí), 圓形保護(hù)區(qū)的面積最大 方法二: (1)如圖所示, 延長(zhǎng) OA, CB 交于點(diǎn) F. 因?yàn)?tanFCO43, 所以 sinFCO45, cosFCO35. 因?yàn)?OA60,OC170, 所以 OFOC tanFCO6803, CFOCcosFCO8503, 從而 AFOFOA5003. 因?yàn)?OAOC, 所以 cosAFB sinFCO45. 又因?yàn)?A

10、BBC,所以 BFAFcosAFB4003, 從而 BCCFBF150. 因此新橋 BC 的長(zhǎng)是 150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓 M 與 BC 的切點(diǎn)為 D,連接 MD,則 MDBC,且 MD 是圓 M 的半徑,并設(shè) MDr m,OMd m (0d60) 因?yàn)?OAOC, 所以 sinCFOcosFCO. 故由(1)知 sinCFOMDMFMDOFOMr6803d35, 所以 r6803d5. 因?yàn)?O 和 A 到圓 M 上任意一點(diǎn)的距離均不少于 80 m, 所以rd80,r(60d)80, 即6803d5d80,6803d5(60d)80, 解得 10d35. 故當(dāng) d10 時(shí), r6

11、80 3d5最大,即圓面積最大, 所以當(dāng) OM10 m 時(shí), 圓形保護(hù)區(qū)的面積最大 22 、 、2014 全國(guó)卷 已知拋物線 C:y22px(p0)的焦點(diǎn)為 F,直線 y4 與 y 軸的交點(diǎn)為 P,與 C 的交點(diǎn)為 Q,且|QF|54|PQ|. (1)求 C 的方程; (2)過 F 的直線 l 與 C 相交于 A,B 兩點(diǎn),若 AB 的垂直平分線 l與 C 相交于 M,N 兩點(diǎn),且 A,M,B,N 四點(diǎn)在同一圓上,求 l 的方程 22解:(1)設(shè) Q(x0,4),代入 y22px,得 x08p, 所以|PQ|8p,|QF|p2x0p28p. 由題設(shè)得p28p548p,解得 p2(舍去)或 p2

12、, 所以 C 的方程為 y24x. (2)依題意知 l 與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè) l 的方程為 xmy1(m0) 代入 y24x,得 y24my40. 設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),則 y1y24m,y1y24. 故線段 AB 的中點(diǎn)為 D(2m21,2m), |AB| m21|y1y2|4(m21) 又直線 l的斜率為m,所以 l的方程為 x1my2m23. 將上式代入 y24x,并整理得 y24m y4(2m23)0. 設(shè) M(x3,y3),N(x4,y4),則 y3y44m,y3y44(2m23) 故線段 MN 的中點(diǎn)為 E2m22m23,2m, |MN|11m2|y3y4|4(

13、m21) 2m21m2. 由于線段MN垂直平分線段AB, 故A, M, B, N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于|AE|BE|12|MN|,從而 14|AB|2|DE|214|MN|2,即 4(m21)22m2m22m222 4(m21)2(2m21)m4, 化簡(jiǎn)得 m210,解得 m1 或 m1. 所求直線 l 的方程為 xy10 或 xy10. 21 、 、 、2014 重慶卷 如圖 1- 5,設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1,F(xiàn)2,點(diǎn) D 在橢圓上,DF1F1F2,|F1F2|DF1|2 2,DF1F2的面積為22. (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (2)是否存在圓心在 y 軸上

14、的圓,使圓在 x 軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由 圖 1- 5 21解:(1)設(shè) F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),其中 c2a2b2. 由|F1F2|DF1|2 2得|DF1|F1F2|2 222c. 從而 SDF1F212|DF1|F1F2|22c222,故 c1. 從而|DF1|22.由 DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292,因此|DF2|3 22, 所以 2a|DF1|DF2|2 2,故 a 2,b2a2c21. 因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y21. (2)如圖所示,設(shè)

15、圓心在 y 軸上的圓 C 與橢圓x22y21 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個(gè)交點(diǎn),y10,y20,F(xiàn)1P1,F(xiàn)2P2是圓 C 的切線,且 F1P1F2P2.由圓和橢圓的對(duì)稱性,易知,x2x1,y1y2. 由(1)知 F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),所以F1P1(x11,y1),F(xiàn)2P2(x11,y1)再由 F1P1F2P2得(x11)2y210. 由橢圓方程得 1x212(x11)2,即 3x214x10,解得 x143或 x10. 當(dāng) x10 時(shí),P1,P2重合,題設(shè)要求的圓不存在 當(dāng) x143時(shí),過 P1,P2分別與 F1P1,F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心 C.設(shè)

16、C(0,y0),由 CP1F1P1,得y1y0 x1y1x111. 而 y1|x11|13,故 y053. 圓 C 的半徑|CP1|432135324 23. 綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,其方程為 x2y532329. H3 圓的方程 6 , , 2014 福建卷 已知直線 l 過圓 x2(y3)24 的圓心, 且與直線 xy10 垂直,則 l 的方程是( ) Axy20 Bxy20 Cxy30 Dxy30 6D 解析 由直線 l 與直線 xy10 垂直,可設(shè)直線 l 的方程為 xym0. 又直線 l 過圓 x2(y3)24 的圓心(0,3),則 m3,所以直線 l 的方程為 xy30,故選

17、D. 172014 湖北卷 已知圓 O:x2y21 和點(diǎn) A(2,0),若定點(diǎn) B(b,0)(b2)和常數(shù) 滿足:對(duì)圓 O 上任意一點(diǎn) M,都有|MB|MA|,則 (1)b_; (2)_ 17(1)12 (2)12 解析 設(shè)點(diǎn) M(cos ,sin ),則由|MB|MA|得(cos b)2sin22(cos 2)2sin2,即2bcos b2142cos 52對(duì)任意的 都成立,所以2b42,b2152.又由|MB|MA|,得 0,且 b2,解得b12,12. 18 、 、 、2014 江蘇卷 如圖 1- 6 所示,為保護(hù)河上古橋 OA,規(guī)劃建一座新橋 BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)規(guī)劃要求:新橋

18、 BC 與河岸 AB 垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心 M 在線段OA 上并與 BC 相切的圓, 且古橋兩端 O 和 A 到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于 80 m 經(jīng)測(cè)量,點(diǎn) A 位于點(diǎn) O 正北方向 60 m 處,點(diǎn) C 位于點(diǎn) O 正東方向 170 m 處(OC 為河岸),tanBCO43. (1)求新橋 BC 的長(zhǎng) (2)當(dāng) OM 多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大? 圖 1- 6 18解: 方法一: (1)如圖所示, 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn), OC 所在直線為 x 軸, 建立平面直角坐標(biāo)系 xOy. 由條件知 A(0, 60), C(170,0), 直線 BC 的斜率 kBCtanBCO43. 又因?yàn)?

19、ABBC, 所以直線 AB 的斜率 kAB34. 設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(a,b), 則 kBCb0a17043, kABb60a034, 解得 a80, b120, 所以 BC (17080)2(0120)2150. 因此新橋 BC 的長(zhǎng)是 150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓 M 的半徑為 r m, OMd m (0d60) 由條件知, 直線 BC 的方程為 y43(x170), 即 4x3y6800. 由于圓 M 與直線 BC 相切, 故點(diǎn) M(0, d)到直線 BC 的距離是 r, 即 r|3d 680|42326803d5. 因?yàn)?O 和 A 到圓 M 上任意一點(diǎn)的距離均不少于 80 m

20、,所以rd80,r(60d)80, 即6803d5d80,680 3d5(60d)80, 解得 10d35. 故當(dāng) d10 時(shí), r 680 3d5最大, 即圓面積最大, 所以當(dāng) OM10 m 時(shí), 圓形保護(hù)區(qū)的面積最大 方法二: (1)如圖所示, 延長(zhǎng) OA, CB 交于點(diǎn) F. 因?yàn)?tanFCO43, 所以 sinFCO45, cosFCO35. 因?yàn)?OA60,OC170, 所以 OFOC tanFCO6803, CFOCcosFCO8503, 從而 AFOFOA5003. 因?yàn)?OAOC, 所以 cosAFB sinFCO45. 又因?yàn)?ABBC,所以 BFAFcosAFB4003,

21、 從而 BCCFBF150. 因此新橋 BC 的長(zhǎng)是 150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓 M 與 BC 的切點(diǎn)為 D,連接 MD,則 MDBC,且 MD 是圓 M 的半徑,并設(shè) MDr m,OMd m (0d60) 因?yàn)?OAOC, 所以 sinCFOcosFCO. 故由(1)知 sinCFOMDMFMDOFOMr6803d35, 所以 r6803d5. 因?yàn)?O 和 A 到圓 M 上任意一點(diǎn)的距離均不少于 80 m, 所以rd80,r(60d)80, 即6803d5d80,6803d5(60d)80, 解得 10d35. 故當(dāng) d10 時(shí), r680 3d5最大,即圓面積最大, 所以當(dāng) O

22、M10 m 時(shí), 圓形保護(hù)區(qū)的面積最大 20 、 、2014 遼寧卷 圓 x2y24 的切線與 x 軸正半軸、y 軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為 P(如圖 1- 5 所示) 圖 1- 5 (1)求點(diǎn) P 的坐標(biāo); (2)焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 C 過點(diǎn) P,且與直線 l:yx 3交于 A,B 兩點(diǎn),若PAB 的面積為 2,求 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 20解:(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(x00,y00),則切線斜率為x0y0,切線方程為 yy0 x0y0(xx0),即 x0 xy0y4,此時(shí),兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線的交點(diǎn)分別為4x0,0 ,0,4y0,其圍成的三角形的面積

23、S124x04y08x0y0.由 x20y2042x0y0知當(dāng)且僅當(dāng) x0y0 2時(shí) x0y0有最大值,即 S 有最小值,因此點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( 2, 2) (2)設(shè) C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0),點(diǎn) A(x1,y1),B(x2,y2)由點(diǎn) P 在 C 上知2a22b21,并由x2a2y2b21,yx 3,得 b2x24 3x62b20. 又 x1,x2是方程的根,所以x1x24 3b2,x1x262b2b2. 由 y1x1 3,y2x2 3,得 |AB|4 63|x1x2| 24824b28b4b2. 由點(diǎn) P 到直線 l 的距離為32及 SPAB1232|AB|2,得|AB

24、|4 63,即 b49b2180, 解得 b26 或 3,因此 b26,a23(舍)或 b23,a26,從而所求 C 的方程為x26y231. 20 、 、2014 全國(guó)新課標(biāo)卷 已知點(diǎn) P(2,2),圓 C:x2y28y0,過點(diǎn) P 的動(dòng)直線l 與圓 C 交于 A,B 兩點(diǎn),線段 AB 的中點(diǎn)為 M,O 為坐標(biāo)原點(diǎn) (1)求 M 的軌跡方程; (2)當(dāng)|OP|OM|時(shí),求 l 的方程及POM 的面積 20解:(1)圓 C 的方程可化為 x2(y4)216, 所以圓心為 C(0,4),半徑為 4. 設(shè) M(x,y),則 CM(x,y4),MP(2x,2y) 由題設(shè)知 CM MP0,故 x(2x

25、)(y4)(2y)0,即(x1)2(y3)22. 由于點(diǎn) P 在圓 C 的內(nèi)部,所以 M 的軌跡方程是(x1)2(y3)22. (2)由(1)可知 M 的軌跡是以點(diǎn) N(1,3)為圓心, 2為半徑的圓 由于|OP|OM|,故 O 在線段 PM 的垂直平分線上,又 P 在圓 N 上,從而 ONPM. 因?yàn)?ON 的斜率為 3,所以直線 l 的斜率為13, 故 l 的方程為 y13x83. 又|OM|OP|2 2,O 到直線 l 的距離為4 105, 故|PM|4 105,所以POM 的面積為165. H4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 52014 浙江卷 已知圓 x2y22x2ya0 截直線 xy

26、20 所得弦的長(zhǎng)度為 4,則實(shí)數(shù) a 的值是( ) A2 B4 C6 D8 5B 解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)22a,r22a,則圓心(1,1)到直線 xy20 的距離為|112|2 2.由 22( 2)22a,得 a4, 故選 B. 62014 安徽卷 過點(diǎn) P( 3,1)的直線 l 與圓 x2y21 有公共點(diǎn),則直線 l 的傾斜角的取值范圍是( ) A.0,6 B.0,3 C.0,6 D.0,3 6D 解析 易知直線 l 的斜率存在,所以可設(shè) l:y1k(x 3),即 kxy 3k10.因?yàn)橹本€ l 圓 x2y21 有公共點(diǎn),所以圓心(0,0)到直線 l 的距離| 3k1|1k2

27、1,即 k2 3k0,解得 0k 3,故直線 l 的傾斜角的取值范圍是0,3. 72014 北京卷 已知圓 C:(x3)2(y4)21 和兩點(diǎn) A(m,0), B(m, 0)(m0)若圓 C 上存在點(diǎn) P,使得APB90,則 m 的最大值為( ) A7 B6 C5 D4 7B 解析 由圖可知,圓 C 上存在點(diǎn) P 使APB90,即圓 C 與以 AB 為直徑的圓有公共點(diǎn),所以 32421m 32421,即 4m6. 11 ,2014 福建卷 已知圓 C:(xa)2(yb)21,平面區(qū)域:xy70,xy30,y0.若圓心 C,且圓 C 與 x 軸相切,則 a2b2的最大值為( ) A5 B29 C

28、37 D49 11C 解析 作出不等式組xy70,xy30,y0表示的平面區(qū)域(如下圖陰影部分所示,含邊界),圓 C:(xa)2(yb)21 的圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為 1.由圓 C 與 x 軸相切,得b1.解方程組xy70,y1,得x6,y1,即直線 xy70 與直線 y1 的交點(diǎn)坐標(biāo)為(6, 1),設(shè)此點(diǎn)為 P. 又點(diǎn) C,則當(dāng)點(diǎn) C 與 P 重合時(shí),a 取得最大值, 所以,a2b2的最大值為 621237,故選 C. 212014 福建卷 已知曲線 上的點(diǎn)到點(diǎn) F(0,1)的距離比它到直線 y3 的距離小2. (1)求曲線 的方程 (2)曲線 在點(diǎn) P 處的切線 l 與 x 軸交于點(diǎn)

29、 A,直線 y3 分別與直線 l 及 y 軸交于點(diǎn) M,N.以 MN 為直徑作圓 C, 過點(diǎn) A 作圓 C 的切線, 切點(diǎn)為 B.試探究: 當(dāng)點(diǎn) P 在曲線 上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P 與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段 AB 的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論 21解:方法一:(1)設(shè) S(x,y)為曲線 上任意一點(diǎn) 依題意,點(diǎn) S 到點(diǎn) F(0,1)的距離與它到直線 y1 的距離相等, 所以曲線 是以點(diǎn) F(0,1)為焦點(diǎn),直線 y1 為準(zhǔn)線的拋物線, 所以曲線 的方程為 x24y. (2)當(dāng)點(diǎn) P 在曲線 上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段 AB 的長(zhǎng)度不變證明如下: 由(1)知拋物線 的方程為 y14x2. 設(shè) P(x0,y0)(x

30、00),則 y014x20, 由 y12x,得切線 l 的斜率 ky|xx012x0, 所以切線 l 的方程為 yy012x0(xx0),即 y12x0 x14x20. 由y12x0 x14x20,y0,得 A12x0,0 . 由y12x0 x14x20,y3,得 M12x06x0,3 . 又 N(0,3),所以圓心 C14x03x0,3 , 半徑 r12|MN|14x03x0, |AB| |AC|2r2 12x014x03x023214x03x02 6. 所以點(diǎn) P 在曲線 上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段 AB 的長(zhǎng)度不變 方法二:(1)設(shè) S(x,y)為曲線 上任意一點(diǎn), 則|y(3)|(x0)2(y1)

31、22. 依題意,點(diǎn) S(x,y)只能在直線 y3 的上方,所以 y3, 所以 (x0)2(y1)2y1, 化簡(jiǎn)得,曲線 的方程為 x24y. (2)同方法一 6 2014 湖南卷 若圓 C1: x2y21 與圓 C2: x2y26x8ym0 外切, 則 m( ) A21 B19 C9 D11 6 C 解析 依題意可得C1(0, 0), C2(3, 4), 則|C1C2| 33425.又r11, r2 25m,由 r1r2 25m15,解得 m9. 92014 江蘇卷 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,直線 x2y30 被圓(x2)2(y1)24 截得的弦長(zhǎng)為_ 9.25 55 解析 由題意可得,圓

32、心為(2,1),r2,圓心到直線的距離 d|223|122235 5,所以弦長(zhǎng)為 2 r2d22 49525 55 . 18 、 、 、2014 江蘇卷 如圖 1- 6 所示,為保護(hù)河上古橋 OA,規(guī)劃建一座新橋 BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)規(guī)劃要求:新橋 BC 與河岸 AB 垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心 M 在線段OA 上并與 BC 相切的圓, 且古橋兩端 O 和 A 到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于 80 m 經(jīng)測(cè)量,點(diǎn) A 位于點(diǎn) O 正北方向 60 m 處,點(diǎn) C 位于點(diǎn) O 正東方向 170 m 處(OC 為河岸),tanBCO43. (1)求新橋 BC 的長(zhǎng) (2)當(dāng) OM 多長(zhǎng)時(shí),圓形

33、保護(hù)區(qū)的面積最大? 圖 1- 6 18解: 方法一: (1)如圖所示, 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn), OC 所在直線為 x 軸, 建立平面直角坐標(biāo)系 xOy. 由條件知 A(0, 60), C(170,0), 直線 BC 的斜率 kBCtanBCO43. 又因?yàn)?ABBC, 所以直線 AB 的斜率 kAB34. 設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(a,b), 則 kBCb0a17043, kABb60a034, 解得 a80, b120, 所以 BC (17080)2(0120)2150. 因此新橋 BC 的長(zhǎng)是 150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓 M 的半徑為 r m, OMd m (0d60) 由條件知, 直線

34、 BC 的方程為 y43(x170), 即 4x3y6800. 由于圓 M 與直線 BC 相切, 故點(diǎn) M(0, d)到直線 BC 的距離是 r, 即 r|3d 680|42326803d5. 因?yàn)?O 和 A 到圓 M 上任意一點(diǎn)的距離均不少于 80 m,所以rd80,r(60d)80, 即6803d5d80,680 3d5(60d)80, 解得 10d35. 故當(dāng) d10 時(shí), r 680 3d5最大, 即圓面積最大, 所以當(dāng) OM10 m 時(shí), 圓形保護(hù)區(qū)的面積最大 方法二: (1)如圖所示, 延長(zhǎng) OA, CB 交于點(diǎn) F. 因?yàn)?tanFCO43, 所以 sinFCO45, cosF

35、CO35. 因?yàn)?OA60,OC170, 所以 OFOC tanFCO6803, CFOCcosFCO8503, 從而 AFOFOA5003. 因?yàn)?OAOC, 所以 cosAFB sinFCO45. 又因?yàn)?ABBC,所以 BFAFcosAFB4003, 從而 BCCFBF150. 因此新橋 BC 的長(zhǎng)是 150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓 M 與 BC 的切點(diǎn)為 D,連接 MD,則 MDBC,且 MD 是圓 M 的半徑,并設(shè) MDr m,OMd m (0d60) 因?yàn)?OAOC, 所以 sinCFOcosFCO. 故由(1)知 sinCFOMDMFMDOFOMr6803d35, 所以 r

36、6803d5. 因?yàn)?O 和 A 到圓 M 上任意一點(diǎn)的距離均不少于 80 m, 所以rd80,r(60d)80, 即6803d5d80,6803d5(60d)80, 解得 10d35. 故當(dāng) d10 時(shí), r680 3d5最大,即圓面積最大, 所以當(dāng) OM10 m 時(shí), 圓形保護(hù)區(qū)的面積最大 16 、2014 全國(guó)卷 直線 l1和 l2是圓 x2y22 的兩條切線若 l1與 l2的交點(diǎn)為(1,3),則 l1與 l2的夾角的正切值等于_ 16.43 解析 如圖所示,根據(jù)題意知,OAPA,OA 2,OP 10,所以 PAOP2OA22 2,所以 tan OPAOAPA22 212,故 tan A

37、PB2tan OPA1tan2OPA43,即 l1與 l2的夾角的正切值等于43. 12 2014 新課標(biāo)全國(guó)卷 設(shè)點(diǎn) M(x0, 1), 若在圓 O: x2y21 上存在點(diǎn) N, 使得OMN45,則 x0的取值范圍是( ) A. 1,1 B. 12,12 C. 2, 2 D. 22,22 12A 解析 點(diǎn) M(x0,1)在直線 y1 上,而直線 y1 與圓 x2y21 相切據(jù)題意可設(shè)點(diǎn) N(0,1),如圖,則只需OMN45即可,此時(shí)有 tan OMN|ON|MN|tan 45,得 0|MN|ON|1,即 00, 圓的半徑是 2b.由勾股定理可得 b2( 3)24b2,解得 b 1.又因?yàn)?b

38、0,所以 b1,所以圓 C 的圓心坐標(biāo)為(2,1),半徑是 2,所以圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x2)2(y1)24. 14 2014 重慶卷 已知直線 xya0 與圓心為 C 的圓 x2y22x4y40 相交于A,B 兩點(diǎn),且 ACBC,則實(shí)數(shù) a 的值為_ 140 或 6 解析 圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)29,圓心為 C(1,2),半徑為 3.ACBC,|AB|3 2.圓心到直線的距離 d|12a|2|a3|2,|AB|2 r2d229|a3|223 2,即(a3)29,a0 或 a6. 9 、2014 四川卷 設(shè) mR,過定點(diǎn) A 的動(dòng)直線 xmy0 和過定點(diǎn) B 的動(dòng)直線 mxy

39、m30 交于點(diǎn) P(x,y),則|PA|PB|的取值范圍是( ) A 5,2 5 B 10,2 5 C 10,4 5 D2 5,4 5 9B 解析 由題意可知,定點(diǎn) A(0,0),B(1,3),且兩條直線互相垂直, 則其交點(diǎn) P(x,y)落在以 AB 為直徑的圓周上, 所以|PA|2|PB|2|AB|210,即|PA|PB|AB| 10. 又|PA|PB| (|PA|PB|)2 |PA|22|PA|PB|PB|2 2(|PA|2|PB|2)2 5, 所以|PA|PB| 10,2 5,故選 B. 21 、 、 、2014 重慶卷 如圖 1- 5,設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別

40、為 F1,F(xiàn)2,點(diǎn) D 在橢圓上,DF1F1F2,|F1F2|DF1|2 2,DF1F2的面積為22. (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (2)是否存在圓心在 y 軸上的圓,使圓在 x 軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由 圖 1- 5 21解:(1)設(shè) F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),其中 c2a2b2. 由|F1F2|DF1|2 2得|DF1|F1F2|2 222c. 從而 SDF1F212|DF1|F1F2|22c222,故 c1. 從而|DF1|22.由 DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|

41、292,因此|DF2|3 22, 所以 2a|DF1|DF2|2 2,故 a 2,b2a2c21. 因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y21. (2)如圖所示,設(shè)圓心在 y 軸上的圓 C 與橢圓x22y21 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個(gè)交點(diǎn),y10,y20,F(xiàn)1P1,F(xiàn)2P2是圓 C 的切線,且 F1P1F2P2.由圓和橢圓的對(duì)稱性,易知,x2x1,y1y2. 由(1)知 F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),所以F1P1(x11,y1),F(xiàn)2P2(x11,y1)再由 F1P1F2P2得(x11)2y210. 由橢圓方程得 1x212(x11)2,即 3x214x10,解得 x1

42、43或 x10. 當(dāng) x10 時(shí),P1,P2重合,題設(shè)要求的圓不存在 當(dāng) x143時(shí),過 P1,P2分別與 F1P1,F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心 C.設(shè) C(0,y0),由 CP1F1P1,得y1y0 x1y1x111. 而 y1|x11|13,故 y053. 圓 C 的半徑|CP1|432135324 23. 綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,其方程為 x2y532329. H5 橢圓及其幾何性質(zhì) 21 、 、 、2014 重慶卷 如圖 1- 5,設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1,F(xiàn)2,點(diǎn) D 在橢圓上,DF1F1F2,|F1F2|DF1|2 2,DF1F2的面積為

43、22. (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (2)是否存在圓心在 y 軸上的圓,使圓在 x 軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由 圖 1- 5 21解:(1)設(shè) F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),其中 c2a2b2. 由|F1F2|DF1|2 2得|DF1|F1F2|2 222c. 從而 SDF1F212|DF1|F1F2|22c222,故 c1. 從而|DF1|22.由 DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292,因此|DF2|3 22, 所以 2a|DF1|DF2|2 2,故 a 2,b2a2c21

44、. 因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y21. (2)如圖所示,設(shè)圓心在 y 軸上的圓 C 與橢圓x22y21 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個(gè)交點(diǎn),y10,y20,F(xiàn)1P1,F(xiàn)2P2是圓 C 的切線,且 F1P1F2P2.由圓和橢圓的對(duì)稱性,易知,x2x1,y1y2. 由(1)知 F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),所以F1P1(x11,y1),F(xiàn)2P2(x11,y1)再由 F1P1F2P2得(x11)2y210. 由橢圓方程得 1x212(x11)2,即 3x214x10,解得 x143或 x10. 當(dāng) x10 時(shí),P1,P2重合,題設(shè)要求的圓不存在 當(dāng) x143時(shí),過 P1,

45、P2分別與 F1P1,F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心 C.設(shè) C(0,y0),由 CP1F1P1,得y1y0 x1y1x111. 而 y1|x11|13,故 y053. 圓 C 的半徑|CP1|432135324 23. 綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,其方程為 x2y532329. 20 、2014 安徽卷 設(shè)函數(shù) f(x)1(1a)xx2x3,其中 a0. (1)討論 f(x)在其定義域上的單調(diào)性; (2)當(dāng) x0,1時(shí),求 f(x)取得最大值和最小值時(shí)的 x 的值 20解: (1)f(x)的定義域?yàn)?,), f(x)1a2x3x2. 令 f(x)0,得 x11 43a3, x21 43a3

46、,且 x1x2, 所以 f(x)3(xx1)(xx2) 當(dāng) xx2時(shí),f(x)0; 當(dāng) x1x0. 故 f(x)在,1 43a3和 1 43a3,內(nèi)單調(diào)遞減, 在1 43a3,1 43a3內(nèi)單調(diào)遞增 (2)因?yàn)?a0,所以 x10, 當(dāng) a4 時(shí),x21,由(1)知,f(x)在0,1上單調(diào)遞增,所以 f(x)在 x0 和 x1 處分別取得最小值和最大值 當(dāng) 0a4 時(shí),x21,由(1)知,f(x)在0,x2上單調(diào)遞增,在x2,1上單調(diào)遞減, 因此 f(x)在 xx21 43a3處取得最大值又 f(0)1,f(1)a, 所以當(dāng) 0a1 時(shí),f(x)在 x1 處取得最小值; 當(dāng) a1 時(shí),f(x)

47、在 x0 和 x1 處同時(shí)取得最小值; 當(dāng) 1ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為( 5,0),離心率為53. (1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若動(dòng)點(diǎn) P(x0,y0)為橢圓 C 外一點(diǎn),且點(diǎn) P 到橢圓 C 的兩條切線相互垂直,求點(diǎn) P 的軌跡方程 20 、 、2014 湖南卷 如圖 1- 5 所示,O 為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線 C1:x2a21y2b211(a10,b10)和橢圓 C2:y2a22x2b221(a2b20)均過點(diǎn) P2 33,1 ,且以 C1的兩個(gè)頂點(diǎn)和 C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為 2 的正方形 (1)求 C1,C2的方程 (2)是否存在直線 l,使得 l 與 C1交于 A,B

48、兩點(diǎn),與 C2只有一個(gè)公共點(diǎn),且|OAOB|AB| ?證明你的結(jié)論. 圖 1- 5 20解: (1)設(shè) C2的焦距為 2c2,由題意知,2c22,2a12,從而 a11,c21.因?yàn)辄c(diǎn) P2 33,1 在雙曲線 x2y2b211 上,所以2 3321b211,故 b213. 由橢圓的定義知 2a22 332(11)22 332(11)22 3. 于是 a2 3,b22a22c222.故 C1,C2的方程分別為 x2y231,y23x221. (2)不存在符合題設(shè)條件的直線 (i)若直線 l 垂直于 x 軸,因?yàn)?l 與 C2只有一個(gè)公共點(diǎn),所以直線 l 的方程為 x 2或 x 2. 當(dāng) x 2

49、時(shí),易知 A( 2, 3),B( 2, 3),所以 |OAOB|2 2,|AB|2 3. 此時(shí),|OAOB|AB|. 當(dāng) x 2時(shí),同理可知,|OAOB|AB|. (ii)若直線 l 不垂直于 x 軸,設(shè) l 的方程為 ykxm, 由ykxm,x2y231得(3k2)x22kmxm230. 當(dāng) l 與 C1相交于 A,B 兩點(diǎn)時(shí),設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),則 x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,從而 x1x22km3k2,x1x2m23k23. 于是 y1y2k2x1x2km(x1x2)m23k23m2k23. 由ykxm,y23x221得(2k23)x24kmx2m260. 因?yàn)橹?/p>

50、線 l 與 C2只有一個(gè)公共點(diǎn),所以上述方程的判別式 16k2m28(2k23)(m23)0. 化簡(jiǎn),得 2k2m23.因此 OAOBx1x2y1y2m23k233k23m2k23k23k230, 于是OA2OB22OAOBOA2OB22OAOB,即|OAOB|2|OAOB|2. 故|OAOB|AB|. 綜合(i),(ii)可知,不存在符合題設(shè)條件的直線 17 、2014 江蘇卷 如圖 1- 5 所示,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(0,b),連接 BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn) A,過點(diǎn) A作 x 軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)

51、 C,連接 F1C. (1)若點(diǎn) C 的坐標(biāo)為43,13,且 BF2 2,求橢圓的方程; (2)若 F1CAB,求橢圓離心率 e 的值 圖 1- 5 17解: 設(shè)橢圓的焦距為 2c, 則 F1(c, 0), F2(c, 0) (1)因?yàn)?B(0, b), 所以 BF2 b2c2a.又 BF2 2, 故 a 2. 因?yàn)辄c(diǎn) C43,13在橢圓上,所以169a219b21,解得 b21. 故所求橢圓的方程為x22y21. (2)因?yàn)?B(0, b), F2(c, 0)在直線 AB 上,所以直線 AB 的方程為 xcyb1. 解方程組xcyb1,x2a2y2b21,得x12a2ca2c2,y1b(c2

52、a2)a2c2,x20,y2b, 所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)為2a2ca2c2,b(c2a2)a2c2. 又 AC 垂直于 x 軸, 由橢圓的對(duì)稱性,可得點(diǎn) C 的坐標(biāo)為2a2ca2c2,b(a2c2)a2c2. 因?yàn)橹本€ F1C 的斜率為b(a2c2)a2c202a2ca2c2(c)b(a2c2)3a2cc3,直線 AB 的斜率為bc,且 F1CAB,所以b(a2c2)3a2cc3bc1.又 b2a2c2,整理得 a25c2,故 e215, 因此 e55. 142014 江西卷 設(shè)橢圓 C:x2a2y2b21(ab0)的左右焦點(diǎn)分別為 F1,F(xiàn)2,過 F2作 x軸的垂線與 C 相交于 A,B 兩點(diǎn),

53、F1B 與 y 軸相交于點(diǎn) D.若 ADF1B,則橢圓 C 的離心率等于_ 14.33 解析 由題意 Ac,b2a,Bc,b2a,F(xiàn)1(c,0),則直線 F1B 的方程為 y0b2a2c(xc) 令 x0,得 yb22a,即 D0,b22a, 則向量 DAc,3b22a,F(xiàn)1B2c,b2a. 因?yàn)?ADF1B,所以DAF1B2c23b42a20, 即 2ac 3b2 3(a2c2), 整理得( 3e1)(e 3)0,所以 e33(e0) 故橢圓 C 的離心率為33. 20 、 、2014 遼寧卷 圓 x2y24 的切線與 x 軸正半軸、y 軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為

54、P(如圖 1- 5 所示) 圖 1- 5 (1)求點(diǎn) P 的坐標(biāo); (2)焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 C 過點(diǎn) P,且與直線 l:yx 3交于 A,B 兩點(diǎn),若PAB 的面積為 2,求 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 20解:(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(x00,y00),則切線斜率為x0y0,切線方程為 yy0 x0y0(xx0),即 x0 xy0y4,此時(shí),兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線的交點(diǎn)分別為4x0,0 ,0,4y0,其圍成的三角形的面積 S124x04y08x0y0.由 x20y2042x0y0知當(dāng)且僅當(dāng) x0y0 2時(shí) x0y0有最大值,即 S 有最小值,因此點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( 2, 2) (2)設(shè)

55、C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0),點(diǎn) A(x1,y1),B(x2,y2)由點(diǎn) P 在 C 上知2a22b21,并由x2a2y2b21,yx 3,得 b2x24 3x62b20. 又 x1,x2是方程的根,所以x1x24 3b2,x1x262b2b2. 由 y1x1 3,y2x2 3,得 |AB|4 63|x1x2| 24824b28b4b2. 由點(diǎn) P 到直線 l 的距離為32及 SPAB1232|AB|2,得|AB|4 63,即 b49b2180, 解得 b26 或 3,因此 b26,a23(舍)或 b23,a26,從而所求 C 的方程為x26y231. 9 2014 全國(guó)卷 已

56、知橢圓 C:x2a2y2b21(ab0)的左、 右焦點(diǎn)為 F1, F2, 離心率為33,過 F2的直線 l 交 C 于 A,B 兩點(diǎn)若AF1B 的周長(zhǎng)為 4 3,則 C 的方程為( ) A.x23y221 B.x23y21 C.x212y281 D.x212y241 9 A 解析 根據(jù)題意, 因?yàn)锳F1B的周長(zhǎng)為4 3, 所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4 3,所以 a 3.又因?yàn)闄E圓的離心率 eca33,所以 c1,b2a2c2312,所以橢圓 C 的方程為x23y221. 202014 新課標(biāo)全國(guó)卷 設(shè) F1,F(xiàn)2分別是橢圓 C:x2a2y2b21(ab0)

57、的左、右焦點(diǎn),M 是 C 上一點(diǎn)且 MF2與 x 軸垂直直線 MF1與 C 的另一個(gè)交點(diǎn)為 N. (1)若直線 MN 的斜率為34,求 C 的離心率; (2)若直線 MN 在 y 軸上的截距為 2,且|MN|5|F1N|,求 a,b. 20解:(1)根據(jù) c a2b2及題設(shè)知 Mc,b2a,2b23ac. 將 b2a2c2代入 2b23ac, 解得ca12,ca2(舍去) 故 C 的離心率為12. (2)由題意知,原點(diǎn) O 為 F1F2的中點(diǎn),MF2y 軸,所以直線 MF1與 y 軸的交點(diǎn) D(0,2)是線段 MF1的中點(diǎn),故b2a4,即 b24a. 由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1

58、N|. 設(shè) N(x1,y1),由題意知 y1b0)的離心率為32,直線 yx 被橢圓 C 截得的線段長(zhǎng)為4 105. (1)求橢圓 C 的方程 (2)過原點(diǎn)的直線與橢圓 C 交于 A, B 兩點(diǎn)(A, B 不是橢圓 C 的頂點(diǎn)) 點(diǎn) D 在橢圓 C 上,且 ADAB,直線 BD 與 x 軸、y 軸分別交于 M,N 兩點(diǎn) (i)設(shè)直線 BD,AM 的斜率分別為 k1,k2,證明存在常數(shù) 使得 k1k2,并求出的值; (ii)求OMN 面積的最大值 21解:(1)由題意知,a2b2a32,可得 a24b2. 橢圓 C 的方程可簡(jiǎn)化為 x24y2a2. 將 yx 代入可得 x5a5. 因此 22 5

59、a54 105,即 a2,所以 b1, 所以橢圓 C 的方程為x24y21. (2)(i)設(shè) A(x1,y1)(x1y10),D(x2,y2),則 B(x1,y1) 因?yàn)橹本€ AB 的斜率 kABy1x1,且 ABAD, 所以直線 AD 的斜率 kx1y1. 設(shè)直線 AD 的方程為 ykxm, 由題意知 k0,m0. 由ykxm,x24y21,消去 y,得(14k2)x28mkx4m240, 所以 x1x28mk14k2, 因此 y1y2k(x1x2)2m2m14k2. 由題意知 x1x2, 所以 k1y1y2x1x214ky14x1. 所以直線 BD 的方程為 yy1y14x1(xx1) 令

60、 y0,得 x3x1,即 M(3x1,0) 可得 k2y12x1. 所以 k112k2,即 12. 因此,存在常數(shù) 12使得結(jié)論成立 (ii)直線 BD 的方程 yy1y14x1(xx1), 令 x0,得 y34y1,即 N0,34y1. 由(i)知 M(3x1,0), 所以O(shè)MN 的面積 S123|x1|34|y1| 98|x1|y1|. 因?yàn)閨x1|y1|x214y211,當(dāng)且僅當(dāng)|x1|2|y1|22時(shí),等號(hào)成立, 此時(shí) S 取得最大值98, 所以O(shè)MN 面積的最大值為98. 20 、2014 陜西卷 已知橢圓x2a2y2b21(ab0)經(jīng)過點(diǎn)(0, 3),離心率為12,左、右焦點(diǎn)分別為

61、 F1(c,0),F(xiàn)2(c,0) (1)求橢圓的方程; (2)若直線 l: y12xm 與橢圓交于 A, B 兩點(diǎn), 與以 F1F2為直徑的圓交于 C, D 兩點(diǎn),且滿足|AB|CD|5 34,求直線 l 的方程 圖 1- 5 20解: (1)由題設(shè)知b 3,ca12,b2a2c2,解得a2,b 3,c1, 橢圓的方程為x24y231. (2)由題設(shè),以 F1F2為直徑的圓的方程為 x2y21, 圓心(0,0)到直線 l 的距離 d2|m|5. 由 d1,得|m|0),又1b2( 2)2,b21,即雙曲線 C 的方程為 x2y21. 8 2014 廣東卷 若實(shí)數(shù)k滿足0k5, 則曲線x216y

62、25k1與曲線x216ky251的( ) A實(shí)半軸長(zhǎng)相等 B虛半軸長(zhǎng)相等 C離心率相等 D焦距相等 8D 解析 0k0,16k0.對(duì)于雙曲線:x216y25k1,其焦距是2 5k162 21k;對(duì)于雙曲線:x216ky251,其焦距是 2 16k52 21k.故焦距相等 8 、2014 湖北卷 設(shè) a,b 是關(guān)于 t 的方程 t2cos tsin 0 的兩個(gè)不等實(shí)根,則過 A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線x2cos2y2sin21 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( ) A0 B1 C2 D3 8A 解析 由方程 t2cos tsin 0,解得 t10,t2tan ,不妨設(shè)點(diǎn) A(0,0),

63、B(tan , tan2), 則過這兩點(diǎn)的直線方程為yxtan , 該直線恰是雙曲線x2cos2y2sin21 的一條漸近線,所以該直線與雙曲線無公共點(diǎn)故選 A 172014 浙江卷 設(shè)直線 x3ym0(m0)與雙曲線x2a2y2b21(a0,b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn) A,B.若點(diǎn) P(m,0)滿足|PA|PB|,則該雙曲線的離心率是_ 17.52 解析 雙曲線的漸近線為 ybax, 易求得漸近線與直線 x3ym0 的交點(diǎn)為Aama3b,bma3b,Bama3b,bma3b.設(shè) AB 的中點(diǎn)為 D.由|PA|PB|知 AB 與 DP 垂直,則Da2m(a3b)(a3b),3b2m(a3b)

64、(a3b),kDP3, 解得 a24b2,故該雙曲線的離心率是52. 20 、 、2014 湖南卷 如圖 1- 5 所示,O 為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線 C1:x2a21y2b211(a10,b10)和橢圓 C2:y2a22x2b221(a2b20)均過點(diǎn) P2 33,1 ,且以 C1的兩個(gè)頂點(diǎn)和 C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為 2 的正方形 (1)求 C1,C2的方程 (2)是否存在直線 l,使得 l 與 C1交于 A,B 兩點(diǎn),與 C2只有一個(gè)公共點(diǎn),且|OAOB|AB| ?證明你的結(jié)論. 圖 1- 5 20解: (1)設(shè) C2的焦距為 2c2,由題意知,2c22,2a12,從而 a11,c

65、21.因?yàn)辄c(diǎn) P2 33,1 在雙曲線 x2y2b211 上,所以2 3321b211,故 b213. 由橢圓的定義知 2a22 332(11)22 332(11)22 3. 于是 a2 3,b22a22c222.故 C1,C2的方程分別為 x2y231,y23x221. (2)不存在符合題設(shè)條件的直線 (i)若直線 l 垂直于 x 軸,因?yàn)?l 與 C2只有一個(gè)公共點(diǎn),所以直線 l 的方程為 x 2或 x 2. 當(dāng) x 2時(shí),易知 A( 2, 3),B( 2, 3),所以 |OAOB|2 2,|AB|2 3. 此時(shí),|OAOB|AB|. 當(dāng) x 2時(shí),同理可知,|OAOB|AB|. (ii)

66、若直線 l 不垂直于 x 軸,設(shè) l 的方程為 ykxm, 由ykxm,x2y231得(3k2)x22kmxm230. 當(dāng) l 與 C1相交于 A,B 兩點(diǎn)時(shí),設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),則 x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,從而 x1x22km3k2,x1x2m23k23. 于是 y1y2k2x1x2km(x1x2)m23k23m2k23. 由ykxm,y23x221得(2k23)x24kmx2m260. 因?yàn)橹本€ l 與 C2只有一個(gè)公共點(diǎn),所以上述方程的判別式 16k2m28(2k23)(m23)0. 化簡(jiǎn),得 2k2m23.因此 OAOBx1x2y1y2m23k233k23m2k23k23k230, 于是OA2OB22OAOBOA2OB22OAOB,即|OAOB|2|OAOB|2. 故|OAOB|AB|. 綜合(i),(ii)可知,不存在符合題設(shè)條件的直線 92014 江西卷 過雙曲線 C:x2a2y2b21 的右頂點(diǎn)作 x 軸的垂線,與 C 的一條漸近線相交于點(diǎn) A.若以 C 的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為 4 的圓經(jīng)過 A,O 兩點(diǎn)(O 為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線 C 的方程

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