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1、【專題二】 數(shù)列與不等式 【考情分析】 1． 數(shù)列在高考中，一般設(shè)計(jì)一個(gè)客觀題和一個(gè)解答題，主要考查數(shù)列和不等式部分的基本知識，對基本運(yùn)算能力要求較高，解答題常常綜合考查函數(shù)、方程、不等式等知識．難度較大，尤其是數(shù)列、函數(shù)和不等式的綜合考題，又加入了邏輯推理能力的考查，成為了近幾年數(shù)列考題的新熱點(diǎn)． 2． 數(shù)列與不等式部分的重點(diǎn)為：等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和；不等式的性質(zhì)、解法和兩個(gè)重要不等式的應(yīng)用；該部分重點(diǎn)考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸于轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想． 【知識交匯】 1．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 等差數(shù)列與等比數(shù)列都是高考命題的

2、重點(diǎn)知識，考題經(jīng)常將它們綜合在一起綜合考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的運(yùn)算要求比較高． 例1．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和=（ ） A． B． C． D． 答案：A 解析：設(shè)數(shù)列的公差為，則根據(jù)題意得，解得或（舍去），所以數(shù)列的前項(xiàng)和． 例2．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且4，2，成等差數(shù)列．若=1，則=（ ） （A）7 （B）8 （3）15 （4）16 解析：4，2，成等差數(shù)列，，即， ，，因此選C． 點(diǎn)評

3、：該類題目綜合考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的求和公式等，基礎(chǔ)性較強(qiáng)，綜合程度較小，要求具有較熟練的運(yùn)算能力． 2．函數(shù)與不等式綜合 不等式與函數(shù)有著密切的聯(lián)系，其中線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一，經(jīng)常以選擇題或填空題出現(xiàn)．有不少關(guān)于最值方面的問題，通常用二次函數(shù)的配方法求最值或用均值不等式求最值，考題經(jīng)常以與不等式有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題出現(xiàn)．在應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題時(shí)，要注意以下四點(diǎn)： ①理解題意，設(shè)變量．設(shè)變量時(shí)一般把要求最值的變量定為自變量； ②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題； ③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值； ④正確寫

4、出答案． x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 例３．設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 4 答案：A 解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直

5、 線ax+by= z（a>0，b>0）過直線x-y+2=0與直 線3x-y-6=0的交點(diǎn)（4,6）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即 2a+3b=6, 而 = ，故選A． 點(diǎn)評：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題．要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值，對于形如已知2a+3b=6，求的 最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答． 例4．本公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200

6、元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0．3萬元和0．2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是 萬元． 答案：70 0 100 200 300 100 200 300 400 500 y x l M 解析：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為分鐘和分鐘，總收益為 元，由題意得 目標(biāo)函數(shù)為． 二元一次不等式組等價(jià)于 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域． 如圖：作直線，即． 平移直線，從圖中可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取

7、得最大值． 聯(lián)立解得．點(diǎn)的坐標(biāo)為． （元）． 點(diǎn)評：本題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合解答問題．用線性規(guī)劃的方法解決實(shí)際問題能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，隨著課改的深入，這類試題應(yīng)該是高考的熱點(diǎn)題型之一． 例5．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)． (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值； (3)設(shè)函數(shù)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集． 解析：（1）若，則； （2）當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 綜上； （3）時(shí)，得， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，△>0，得：； 討論得：當(dāng)時(shí)，解集為；

8、當(dāng)時(shí)，解集為； 當(dāng)時(shí)，解集為． 點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力． 3．函數(shù)與數(shù)列的綜合 高考試題中經(jīng)常將函數(shù)與數(shù)列綜合在一起，設(shè)計(jì)綜合性較強(qiáng)的解答題，考查數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)及求和公式等主干知識和分析問題、解決問題的邏輯推理能力． 例6．知函數(shù)． （Ⅰ）設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為，其中．若點(diǎn)(n∈N*)在函數(shù)的圖象上，求證：點(diǎn)也在的圖象上； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值． 解析：(Ⅰ)證明： 因?yàn)樗裕? 由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上, ， 又， 所以，是的等

9、差數(shù)列， 所以,又因?yàn)?所以, 故點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上． (Ⅱ)解:,令得． 當(dāng)x變化時(shí),﹑的變化情況如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) f(x) + 0 - f(x) ↗ 極大值 ↘ 注意到,從而 ①當(dāng),此時(shí)無極小值； ②當(dāng)?shù)臉O小值為,此時(shí)無極大值； ③當(dāng)既無極大值又無極小值． 點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸 等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力． 4．?dāng)?shù)列與不等式、簡易邏輯等的綜合 數(shù)列是培養(yǎng)推理論證能力的極好載體，將數(shù)列的知識與推理證明的方法交織在一起進(jìn)行考查

10、，是新課程高考中的一個(gè)亮點(diǎn)，常常榮歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想和方法于一體，對能力的要求較高． 例7．設(shè)若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（ ） A．8 B．4 C．1 D． 答案：B 解析：因?yàn)?，所以? ，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立，故選擇B． 點(diǎn)評：本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了變通能力． 例8．設(shè)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù)． （Ⅰ）證明：對任意成立的充分必要條件是； （Ⅱ）設(shè)，證明：； （Ⅲ）設(shè)，證明：． 解析： (1) 必要性： ，又 ，即． 充分

11、性 ：設(shè)，對用數(shù)學(xué)歸納法證明， 當(dāng)時(shí)，．假設(shè)， 則，且， ，由數(shù)學(xué)歸納法知對所有成立． (2) 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立． 當(dāng) 時(shí)，， ,由（1）知，所以 且 ， ， ， ． (3) 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立， 當(dāng)時(shí)，由（2）知， ， ． 點(diǎn)評：該題綜合考查了等比數(shù)列的求和、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用、充分必要條件和數(shù)學(xué)歸納法等，具有較高的難度，對邏輯推理能力的考查要求較高． ５．?dāng)?shù)列與概率的綜合 數(shù)列與概率的綜合考查，雖然不是經(jīng)常但很有新意，這種命題也體現(xiàn)了在知識交匯處命題的指導(dǎo)思想． 例9．將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的

12、概率為（　?。? 　Ａ．????????? Ｂ．???????? Ｃ．??????? Ｄ． 解析：一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個(gè)，其中為等差數(shù)列有三類： （1）公差為0的有6個(gè)；（2）公差為1或-1的有8個(gè)；（3）公差為2或-2的有4個(gè)，共有18個(gè)，成等差數(shù)列的概率為，選B． 點(diǎn)評：本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn)，題型新穎而別開生面，有采取分類討論，分類時(shí)要做到不遺漏，不重復(fù)． 【思想方法】 【例1】已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比滿足．又已知，，成等差數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)． （2）令，求證：對于任意，都有 解析：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴

13、 （2）證明：∵ ， ∴ ． 【分析】轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的重要思想，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是我們解題的指導(dǎo)思想．本題中的第（２）問，采用裂項(xiàng)相消法，將式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化后就可以抵消很多項(xiàng)，從而只剩下首末兩項(xiàng)，進(jìn)而由n的范圍證出不等式． 【例2】在數(shù)列中，，，其中． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和； （Ⅲ）證明存在，使得對任意均成立． 解析：（Ⅰ） ， ， ． 由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為． 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明． （1）當(dāng)時(shí)，，等式成立． （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即， 那么 ． 這就是說，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可

14、知，等式 對任何都成立． （Ⅱ）解：設(shè)，　　?、? 　　　　　　　　② 當(dāng)時(shí)，①式減去②式， 得， ． 這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和． 當(dāng)時(shí)，．這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和． （Ⅲ）證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項(xiàng)最大，下面證明： ．　　　?、? 由知，要使③式成立，只要， 因?yàn)? ． 所以③式成立． 因此，存在，使得對任意均成立． 【分析】分類討論思想是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，綜合考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識與基本方法，第2問體現(xiàn)了對運(yùn)用分類討論的考查． D F B y x A O E 【例3】設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原

15、點(diǎn)，A(2,0)、B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相較于E、F兩點(diǎn)． (Ⅰ)若 ,求k的值； (Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值． 解析：（Ⅰ）依題設(shè)得橢圓的方程為， 直線的方程分別為，． 如圖，設(shè)，其中， 且滿足方程， 故．① 由知，得； 由在上知，得． 所以， 化簡得， 解得或． （Ⅱ）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為， ． 又，所以四邊形的面積為 ， 當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號．所以的最大值為． 解法二：由題設(shè)，，． 設(shè)，，由①得，， 故四邊形的面積為 ， 當(dāng)時(shí)，上式取等號．所以的

16、最大值為． 【分析】方程與函數(shù)思想是數(shù)學(xué)中的重要思想，該題對于k的求解就是通過建立k的方程，然后解出的；而對于四邊形的面積的求解，是通過構(gòu)造面積關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)均值不等式來解決其最值問題． 【專題演練】 1．公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若是的等比中項(xiàng), ,則等于 ( ) A． 18 B． 24 C． 60 D． 90 2． 等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別用Sn和Tn表示，若，則的值為( ) A B C D

17、3．已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 4． 已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是________． 5．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上． 則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ． 6．命題實(shí)數(shù)滿足，其中，命題實(shí)數(shù)滿足或，且是的必要不充分條件，求的取值范圍． 7．已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為 a ，且不等式 的解集為（1 , 3）． （l）若方程有兩個(gè)相等的根，求的解析式； （2）若的最大值為正數(shù)，求 a 的取值范圍． 8．圍建一個(gè)面積為360m2的矩

18、形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位：元)． （Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)： （Ⅱ）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用． 【參考答案】 1．答案：C 解析：由得得,再由得:則,所以,故選C． 2．答案：A 解析： ∵；． ∴． 3． 答案：C 解析：依題意得或 所以或 解得：，故選C． 4．答案：4 解析：∵＝≥＝4． 5．答案： 解析

19、：由題意得，即． 當(dāng)n≥2時(shí)， ; 當(dāng)n=1時(shí)，×-2×1-1-6×1-5． 所以． 6．解析：設(shè)， = 因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以，且推不出 而， 所以，則或 即或． 7．解析：（1）因?yàn)榈慕饧癁椋?，3），所以且． 因而 （1） 由方程得： （2） 因?yàn)榉匠蹋?）有兩個(gè)相等的根． 所以，即． 解得：（舍去）或， 將代入（1）得的解析式為：， （2）， 有a < 0，可得的最大值為， 所以 > 0，且a < 0． 解得：， 故當(dāng)?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 8．解析：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長為a m，則-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360， 由已知xa=360,得a=，所以y=225x+． (II) ．當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí)，等號成立． 即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元．