《高中數學教學論文《數形結合思想》在解題中應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學教學論文《數形結合思想》在解題中應用（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、《數形結合思想》在解題中的應用 一、數形結合思想的提出 在高中數學解析幾何這一模塊中，處理問題的方法常見有代數法和幾何法。代數法是從“數”的角度解決問題、幾何法從“形”的角度解決問題，這兩種方法相輔相成，相得益彰?，F(xiàn)舉例如下：若直線與曲線恰有一個公共點，求k的取值范圍. 解：（代數法）曲線方程可化為，把代入 可得：（），由題意可知方程僅有一個非負根 ①當方程有等根時，即=0，可得，當時，方程可化為，得不合題意；當時，方程為 得符合題意，可知； ②當方程根為時，得，，當時，方程為，得方程兩個根為，不合題意應舍去；當時，方程為，得方程兩個根為，適合題意，可知； ③當方程根為一正一負

2、時，只需，可得。 綜上所述：所求 k的取值范圍為或。 （幾何法）曲線是單位圓的右半圓（）， k是直線在y軸上的截距.在同一坐標系中畫出兩曲線圖像如圖所示知：直線與曲線相切時，，由圖形：可得或。 上述兩種解法可以看出利用代數法求解過程較為復雜、繁瑣且容易錯；而利用幾何法即一種數形結合的思想方法，卻能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它在數學解題中具有極為獨特的指導作用。 二、數形結合思想的概述 數與形是數學中兩個最古老、最基本的元素，是數學大廈深處的兩塊基石。在解決數學問題時，常常根據數學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，將數的問題利用形來觀察，揭示其幾何意義；而形的問題也常借助

3、數去思考，分析其代數含義，如此將數量關系和空間形式巧妙地結合起來，并充分利用這種“結合”，尋找解題思路，使問題得到解決的方法稱之為數形結合的思想方法。 數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取

4、值范圍。 三、數形結合思想解題方法指導 1．轉換數與形的三條途徑： ① 通過坐標系的建立，引入數量化靜為動，以動求解。 ② 轉化，通過分析數與式的結構特點，把問題轉化到另一個角度來考慮，如將轉化為勾股定理或平面上兩點間的距離等。 ③ 構造，比如構造一個幾何圖形，構造一個函數，構造一個圖表等。 2．運用數形結合思想解題的三種類型及思維方法： ①“由形化數” ：就是借助所給的圖形，仔細觀察研究，提示出圖形中蘊含的數量關系，反映幾何圖形內在的屬性。 ②“由數化形” ：就是根據題設條件正確繪制相應的圖形，使圖形能充分反映出它們相應的數量關系，提示出數與式的本質特征。 ③“數形轉換”

5、：就是根據“數”與“形”既對立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數與式的結構，引起聯(lián)想，適時將它們相互轉換，化抽象為直觀并提示隱含的數量關系。 四、數形結合思想方法的應用 1、化靜為動用圖像 例1 已知：有向線段的起點與終點坐標分別為，，若直線與有向線段延長線相交，求實數的取值范圍。 分析：題中直線是一條過定點的動直線系，而有向線段是一條定的有向線段，要使直線與有向線段延長線相交，可先找到過一個臨界點，再從運動觀點促使直線的斜率在某一范圍內，從而可求實數的取值范圍。 解：直線的方程可化為點斜式：，易知直線過定點且斜率為，因為與的延長線相交，由數形結合可得：當過且與平行時，直線的斜率

6、趨近于最?。划斶^點時，直線的斜率趨近于最大，又，，設直線的斜率為，由 , 得 所以 評注：含有一個變量的直線方程可化為點斜式或化為經過兩直線交點的直線系方程.本題是化為點斜式方程后，可看出交點和斜率，此類題目一般結合圖形化靜為動，以動求解，可判斷出斜率的取值范圍。 2、破解疑難構圖像 例2 求函數的值域。 分析：本題可以把函數化為關于的三角函數，然后利用其有界性求值域，但其運算量大，對學生的運算能力有較高要求，有一定難度。此題可看成過兩點（）,構成直線的斜率的范圍，又（）在一個單位圓上，故可構造圖像求此函數值域。 解：的形式類似于斜率公式 M 表示過兩點（）,

7、構成直線的斜率 由于點在單位圓上，如圖， 顯然，設過的圓的切線方程為 則有，解得，即， 評注：本題考查了三角函數值域與直線斜率之間的內在聯(lián)系，考查學生的數形結合的能力。 在解決三角函數的有關問題時，若把三角函數的性質、化簡的形式通過構造思想融于函數的圖象之中，將數（量）與圖形結合起來進行分析、研究，使抽象復雜的數量關系通過幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來，這是解決三角函數問題的一種思維策略。 3、尋求正解配圖像 例3 設A=，B=，C=，若，求實數的取值范圍。 分析：解決本題的關鍵是依靠二次函數在區(qū)間上的值域求法確定集合C，進而用不等式將這一集合語言加以轉化。 解：∵

8、在上是增函數，∴B=。 作出函數的圖象，其定義域右端點有三種不同的位置關系： ①當時，如圖1，，即｛z|｝。 要使，必須且只需，解得，與矛盾。 ②當時，如圖2，，即｛z|｝. 要使，必須且只需，解得。 ③當時，如圖3，，即｛z|｝。 要使，必須且只需，解得。 ④當時，A=，此時B=C=，成立。 綜上所述，a的取值范圍是。 評注：解決集合問題首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為數學語言，進而分析條件與結論的特點，再將其轉化為圖形語言，利用數形結合的思想來解決。 對于二次函數在閉區(qū)間上的最值問題，應抓住對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系，借助圖象的直觀形象，達

9、到解決問題的目的。 4、觀其意義想圖像 例4 已知復數滿足，求的模的最大值、最小值。 分析：由復數滿足，可知有明顯的幾何意義，即復數在以為圓心，以為半徑的圓上，通過數形結合，進而可求的模的最大值、最小值。 解：由條件可知復數有明顯的幾何意義，它表示復數對應的點到復數對應的點之間的距離，因此滿足的復數對應的點，應在以為圓心，以為半徑的圓上，如圖所示：而表示復數對應的點到原點的距離，顯然，當點、圓心、點三點共線時，取得最值，此時 評注：本題還可以令，利用代數思想求解模的最值。但是 利用復數的幾何意義，借助圖形利用數形結合是解決復數最值問題最有效的途徑，它將代數問題轉化為幾何問題，求解直

10、觀、形象，優(yōu)化了解題過程。 5、結論模糊畫圖像 例5 （08年高考湖南卷理3改編）已知變量x、y滿足條件 求的最大值. 分析：本題實質是線性規(guī)劃問題，運用圖像畫平面區(qū)域，再求線性目標函數的最值。 解：如圖所示，可行域為圖中陰影部分（包括邊界線），則z=在A點處取得最大值，由得A（3，3），故最大值為3＋3=6. 評注：二元一次不等式組與二元函數的對應實質上是簡單線性規(guī)劃問題，利用可行域可以求目標函數的最值，屬于典型的數形結合的案例。值得注意的是，目標函數對應的直線與邊界直線斜率的大小關系用于確定最優(yōu)解的正確位置應仔細觀察各直線的傾斜程度，準確判定可行域內的最優(yōu)解。 總之，數形結合思想是數學中基本而又重要的思想，是解答數學試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效。數學家華羅庚曾指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”可見數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。在高考復習時，同學們必須隨時注意運用數形結合思想，復習中要以熟練技能、方法為目標，加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度。