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1、 第 二 章 熱 傳 導(dǎo) 方 程 §1 熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的提 1. 一均勻細(xì)桿直徑為，假設(shè)它在同一截面上的溫度是相同的，桿的表面和周圍介質(zhì)發(fā)生熱交換，服從于規(guī)律 又假設(shè)桿的密度為，比熱為，熱傳導(dǎo)系數(shù)為，試導(dǎo)出此時(shí)溫度滿足的方程。 解：引坐標(biāo)系：以桿的對稱軸為軸，此時(shí)桿為溫度。記桿的截面面積為。由假設(shè)，在任意時(shí)刻到內(nèi)流入截面坐標(biāo)為到一小段細(xì)桿的熱量為 桿表面和周圍介質(zhì)發(fā)生熱交換，可看作一個(gè)“被動(dòng)”的熱源。由假設(shè)，在時(shí)刻到在截面為到一小段中產(chǎn)生的熱量為 又在時(shí)刻到在截面

2、為到這一小段內(nèi)由于溫度變化所需的熱量為 由熱量守恒原理得： 消去，再令，得精確的關(guān)系： 或 其中 2. 試直接推導(dǎo)擴(kuò)散過程所滿足的微分方程。 解：在擴(kuò)散介質(zhì)中任取一閉曲面，其包圍的區(qū)域 為，則從時(shí)刻到流入此閉曲面的溶質(zhì)，由，其中為擴(kuò)散系數(shù)，得 濃度由變到所需之溶質(zhì)為 兩者應(yīng)該相等，由奧、高公式得：

3、 其中叫做孔積系數(shù)=孔隙體積。一般情形。由于的任意性即得方程： 3. 砼(混凝土)內(nèi)部儲(chǔ)藏著熱量，稱為水化熱，在它澆筑后逐漸放出，放熱速度和它所儲(chǔ)藏的水化熱成正比。以表示它在單位體積中所儲(chǔ)的熱量，為初始時(shí)刻所儲(chǔ)的熱量，則，其中為常數(shù)。又假設(shè)砼的比熱為，密度為，熱傳導(dǎo)系數(shù)為，求它在澆后溫度滿足的方程。 解： 可將水化熱視為一熱源。由及得。由假設(shè)，放熱速度為 它就是單位時(shí)間所產(chǎn)生的熱量，因此，由原書71頁，(1.7)式得 4. 設(shè)一均勻的導(dǎo)線處在周圍為常數(shù)溫度的介質(zhì)中，試證:在常

4、電流作用下導(dǎo)線的溫度滿足微分方程 其中及分別表示導(dǎo)體的電流強(qiáng)度及電阻系數(shù)，表示橫截面的周長，表示橫截面面積，而表示導(dǎo)線對于介質(zhì)的熱交換系數(shù)。 解：問題可視為有熱源的桿的熱傳導(dǎo)問題。因此由原71頁(1.7)及(1.8)式知方程取形式為 其中為單位體積單位時(shí)間所產(chǎn)生的熱量。 由常電流所產(chǎn)生的為。因?yàn)閱挝婚L度的電阻為，因此電流作功為 精選文檔 乘上功熱當(dāng)量得單位長度產(chǎn)生的熱量為其中0.24為功熱當(dāng)量。 因此單位體積時(shí)間所產(chǎn)生的熱量為 由常溫度的熱交換所產(chǎn)生的(視為“被動(dòng)”的熱源)，從本節(jié)第一題看出為

5、 其中為細(xì)桿直徑，故有，代入得 因熱源可迭加，故有。將所得代入即得所求： 5*. 設(shè)物體表面的絕對溫度為，此時(shí)它向外界輻射出去的熱量依斯忒---波耳茲曼(Stefan-Boltzman)定律正比于 ，即 今假設(shè)物體和周圍介質(zhì)之間只有輻射而沒有熱傳導(dǎo)，又假設(shè)物體周圍介質(zhì)的絕對溫度為已 知函數(shù),問此時(shí)該物體熱傳§導(dǎo)問題的邊界條件應(yīng)如何敘述？ 解：由假設(shè)，邊界只有輻射的熱量交換，輻射出去的熱量為輻射進(jìn)來的熱量為因此由熱量的傳導(dǎo)定律得邊界條件為：

6、 §2 混合問題的分離變量法 1． 用分離變量法求下列定解問題的解： 解：設(shè)代入方程及邊值得 求非零解得 對應(yīng)Ｔ為　　 　　 因此得　　　 　 由初始值得　　　 因此　　　 　 故解為　　　 ２．用分離變量法求解熱傳導(dǎo)方程的混合問題 解：設(shè)代入方程及邊值得 　　　　 求非零解得 n=1,2,…… 對應(yīng)Ｔ為 故解為　　 由始值得 精選文檔 因此　　 所以　

7、　 ３．如果有一長度為的均勻的細(xì)棒，其周圍以及兩端處均勻等到為絕熱，初 始溫度分布為問以后時(shí)刻的溫度分布如何？且證明當(dāng)?shù)扔诔?shù)時(shí)，恒有。 解：即解定解問題 　　 　　 設(shè)代入方程及邊值得 　　　　 求非零解： 　當(dāng)時(shí)，通解為 　　　　　　　 由邊值得　　 因故相當(dāng)于　 視為未知數(shù)，此為一齊次線性代數(shù)方程組，要非零，必需不同為零，即 此齊次線性代數(shù)方程組要有非零解，由代數(shù)知必需有 但 　　　　　　 因?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)之故。因此沒有非零解。 當(dāng)時(shí)，通解為 　　　　　　 　 由邊值得　　 即可任意，故為

8、一非零解。 當(dāng)時(shí)，通解為 由邊值得 因故相當(dāng)于 要非零，必需因此必需即 　　　 這時(shí)對應(yīng) 因取正整數(shù)與負(fù)整數(shù)對應(yīng)一樣，故可取 對應(yīng)于解T得 對應(yīng)于解T得 由迭加性質(zhì)，解為 精選文檔 由始值得 因此 所以 當(dāng)時(shí)， 所以 4．在區(qū)域中求解如下的定解問題

9、 其中均為常數(shù)，均為已知函數(shù)。 [提示：作變量代換] 解：按提示，引，則滿足 由分離變量法滿足方程及邊值條件的解為 再由始值得 故 因此 5．長度為的均勻細(xì)桿的初始溫度為，端點(diǎn)保持常溫，而在和側(cè)面上，熱量可以發(fā)散到到周圍的介質(zhì)中去，介質(zhì)的溫度取為，此時(shí)桿上的溫度分布函數(shù)滿足下述定解問題： 試求出 解：引使?jié)M足齊次方程

10、及齊次邊值，代入方程及邊值，計(jì)算后得要滿足： 的通解為 由邊值 又 得 解之得 因此 精選文檔 這時(shí)滿足： 設(shè)代入方程及邊值條件得 求非零解時(shí)，才有非零解。這時(shí)通解為 由邊值得 要，即有非零解，必須

11、 即 令 得 它有無窮可數(shù)多個(gè)正根，設(shè)其為得 對應(yīng)T為 因此 其中滿足方程 再由始值得 所以 應(yīng)用滿足的方程，計(jì)算可得 又 所以 精選文檔

12、 得 最后得 其中滿足 另一解法：設(shè)使?jié)M足為此取 代入邊值得 解之得 因而 這時(shí)，滿足 按非齊次方程分離變量法，有 其中為對應(yīng)齊次方程的特征函數(shù)，由前一解知為 即 代入方程得 由于是完備正交函數(shù)系，因此可將 展成的級數(shù)，即 由正交性得 又

13、 所以 將此級數(shù)代入等式右端得滿足的方程為 由始值得 精選文檔 有 解的方程，其通解為 ' 由 得 即有解 因此

14、 6.半徑為a的半圓形平板，其表面絕熱，在板的圓周邊界上保持常溫，而在直徑邊 界上保持常溫，圓板穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布。 解：引入極坐標(biāo)，求穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布化為解定解問題 （拉普斯方程在極坐標(biāo)系下形式的推導(dǎo)見第三章習(xí)題3），其中引入的邊界條件為有限時(shí)，叫做自然邊界條件。它是從實(shí)際情況而引入的。再引則 滿足 設(shè)代入方程得 乘以再移項(xiàng)得 右邊為r函數(shù)，左邊為函數(shù)，要

15、恒等必須為一常數(shù)記為，分開寫出即得 再由齊次邊值得 由以前的討論知 對應(yīng)R滿足方程 這是尤拉方程，設(shè)代入得 即 為兩個(gè)線性無關(guān)的特解，因此通解為 由自然邊界條件有限知 在 處要有限，因此必需由迭加性質(zhì)知 滿足方程及齊次邊值和自然邊界條件，再由

16、 得 因此 精選文檔 所以 § 3 柯 西 問 題 1． 求下述函數(shù)的富里埃變換： (1) (2) (a > 0) (3) (a > 0, k為自然數(shù)) 解：(1) = （柯西定理） = 或者

17、 = 積分得 又 = 故 C= 所以 F[]=2I(P)= (2) =+ 或 == =2 (3) F[ ]= 因 = = = 所以 精選文檔 2．證明當(dāng)f(x)在內(nèi)絕對可積時(shí)，F(xiàn)(f)為連續(xù)函數(shù)。 證：因?qū)θ魏螌?shí)數(shù)p有 即關(guān)于p 絕對一致收斂，

18、因而可以在積分下取極限，故g(p)關(guān)于p 為連續(xù)函數(shù)。 3．用富里埃變換求解三維熱傳導(dǎo)方程的柯西問題 ： 解：令 對問題作富里埃變換得 解之得 因 = 再由卷積定理得 4.證明（3.20）所表示的函數(shù)滿足非齊次方程(3.15)以及初始條件（3.16）。 證：要證 滿足定解問題 原書85頁上已證解的表達(dá)式中第一項(xiàng)滿足 因此只需證第二項(xiàng)滿足 如第一項(xiàng)，第二項(xiàng)關(guān)于的被積函數(shù)

19、滿足 若記第二項(xiàng)為被積函數(shù)為即 故有 即 精選文檔 顯然得證。 5． 求解熱傳導(dǎo)方程（3.22）的柯西問題，已知 （1） (2) (3) 用延拓法求解半有界直線上熱傳導(dǎo)方程（3.22）,假設(shè) 解： （1）sinx有界，故 = = (2) 1+x無界， 但表達(dá)式

20、仍收斂，且滿足方程。因此 = 易驗(yàn)它也滿初始條件。 （3）由解的公式 知，只需開拓使之對任何x值有意義即可。為此，將積分分為兩個(gè)與，再在 第一個(gè)中用來替換就得 由邊界條件得 要此式成立，只需 即作奇開拓，由此得解公式為 6．證明函數(shù) 對于變量滿足方程 精選文檔 對于變量滿足方程

21、 證：驗(yàn)證即可。因 同理 所以 仿此 所以 7．證明如果分別是下列兩個(gè)問題的解。 則是定解問題 的解。 證： 驗(yàn)證即可。因 所以 又 8．導(dǎo)出下列熱傳導(dǎo)方程柯西問題解的表達(dá)式 解：由上題，只需分別求出 及 的解，然后再相乘迭加即得。但

22、 所以 9．驗(yàn)證二維熱傳導(dǎo)方程柯西問題 解的表達(dá)式為 證：由第6題知函數(shù)滿足方程，故只需證明可在積 分號下求導(dǎo)二次即可。為此只需證明在積分號下求導(dǎo)后所得的積分是一致收斂的。 對x求導(dǎo)一次得 精選文檔 對有限的即和，下列積分 是絕對且一致收斂的。因?yàn)閷Τ浞执蟮?，每個(gè)積分

23、 都是絕對且一致收斂的。絕對性可從充分大后被積函數(shù)不變號看出，一致性可從充分性判別法找出優(yōu)函數(shù)來。如第三個(gè)積分的優(yōu)函數(shù)為 且 收斂。 因 ，故 右端為一致收斂積分的乘積，仍為一致收斂積分。因而為絕對一致收斂的積分。從而有 ，對討論是類似的。從而證明表達(dá)式滿足方程。 再證滿足始值。任取一點(diǎn)，將 寫成

24、 因而 對任給，取如此之大，使 再由的連續(xù)性，可找到使當(dāng)，都小于時(shí)，有 所以 因此 即有 §4 極值原理，定解問題的解的唯一性和穩(wěn)定性 1． 若方程的解在矩形R的側(cè)邊及上不超 過B，又在底邊上不超過M，證明此時(shí)在矩形R內(nèi)滿足不等式： 由此推出上述混合問題的唯一性與穩(wěn)定性。 證：令，則滿足，在R的邊界上 精選文檔 再由熱傳導(dǎo)方程的極值原理知在

25、R內(nèi)有 故 唯一性：若為混合問題的兩個(gè)解，則滿足 由上估計(jì)得 推出 即 解是唯一的。 穩(wěn)定性：若混合問題的兩個(gè)解在滿足即，則 滿足估計(jì) 因此對任何滿足，解是穩(wěn)定的 2． 利用證明熱傳導(dǎo)方程極值原理的方法，證明滿足方程的函數(shù)在 界閉區(qū)域上的最大值不會(huì)超過它在境界上的最大值。 證：反證法。以表在上的最大值，表在的邊界上的最大值。若定理不成立，則。因而，在內(nèi)有一點(diǎn)使。 作函數(shù) 其中為的直徑。在上 而 故也在R內(nèi)一點(diǎn)上取到其最大值，因而在該點(diǎn)處有： 即，另一方面， 所以 矛盾。故假設(shè)不成立。證畢 （注：可編輯下載，若有不當(dāng)之處，請指正，謝謝!） 精選文檔