《高三數(shù)學(xué)《空間向量》復(fù)習(xí)課件 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)《空間向量》復(fù)習(xí)課件 新人教版（43頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、空間向量復(fù)習(xí)空間向量復(fù)習(xí)例例3、如圖，一塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)、如圖，一塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)量為量為500kg,在它的頂點(diǎn)處分別受力在它的頂點(diǎn)處分別受力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都是是60，且，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.這塊鋼板在這這塊鋼板在這些力的作用下將會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)？這三個(gè)力最小為多些力的作用下將會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)？這三個(gè)力最小為多少時(shí)，才能提起這塊鋼板？少時(shí)，才能提起這塊鋼板？oABCF1F2F3500kg例例4，如圖，在四棱錐，如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱是正

2、方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中點(diǎn)，作的中點(diǎn)，作EF PB交交PB于點(diǎn)于點(diǎn)F。 （1）求證：）求證：PA平面平面EDB； （2）求證：）求證：PB 平面平面EFD； （3）求二面角）求二面角C-PB-D的大小。的大小。DABCEPFabOABba結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問題，平面向量中有因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。關(guān)結(jié)論仍適用于它們。3.1.13.1.1空間向量的運(yùn)算空

3、間向量的運(yùn)算平面向量概念加法減法數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律定義 表示法 相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律abba加法交換律bkakbak )(數(shù)乘分配律)()(cbacba加法結(jié)合律類比思想 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零推廣:（1 1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量；向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2 2）首尾相接的

4、若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量。形，則它們的和為零向量。01433221AAAAAAAAnABCDA1B1C1D1GM 始點(diǎn)相同的三個(gè)始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量線所示向量一、共線向量一、共線向量: :零向量與任意向量共線零向量與任意向量共線. . 1.1.共線向量共線向量: :空間兩向量互相平行空間兩向量互相平行或重合或重合, ,則這些向量叫做共線向量則這些向量叫做共線向量( (或平行或平行向量向量),

5、),記作記作ba/ 2. 2.共線向量定理共線向量定理: :對(duì)空間任意兩個(gè)對(duì)空間任意兩個(gè)向量向量 的充要條件是存在實(shí)的充要條件是存在實(shí)數(shù)數(shù)使使baobba/),(,ba3.1.2共線向量定理與共面向量定理共線向量定理與共面向量定理 推論推論: :如果如果 為經(jīng)過已知點(diǎn)為經(jīng)過已知點(diǎn)A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直線的直線, ,那么對(duì)任一點(diǎn)那么對(duì)任一點(diǎn)O,O,點(diǎn)點(diǎn)P P在直線在直線 上的充要條件是存在實(shí)數(shù)上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,t,滿足等式滿足等式OP=OA+t OP=OA+t 其中向量其中向量a叫做直線的叫做直線的方向向量方向向量. .llaaOABPa 若若P P為為A,BA

6、,B中點(diǎn)中點(diǎn), , 則則12 OPOAOB假如假如OP=OA+tABOP=OA+tAB，則點(diǎn)，則點(diǎn)P P、A A、B B三點(diǎn)共線。三點(diǎn)共線?？捎糜谧C明點(diǎn)共線可用于證明點(diǎn)共線二二. .共面向量共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .OAaa注意：注意：空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量就不一定共面的了。任意三個(gè)向量就不一定共面的了。2.2.共面向量定理共面向量定理: :如果兩個(gè)向量如果兩個(gè)向量 不共線不共線, ,則向量則向量 與向量與向量 共面的充要共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)

7、條件是存在實(shí)數(shù)對(duì) 使使, a byx,Pxayb p, a bOMabABAPp 注：可用于證明三個(gè)向量共面注：可用于證明三個(gè)向量共面 推論推論: :空間一點(diǎn)空間一點(diǎn)P P位于平面位于平面MABMAB內(nèi)的充內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,yx,y使使 或?qū)臻g任一點(diǎn)或?qū)臻g任一點(diǎn)O,O,有有 MPxMAyMB OPOMxMAyMB注意：注意：證明空間四點(diǎn)證明空間四點(diǎn)P、M、A、B共面的兩個(gè)依據(jù)共面的兩個(gè)依據(jù) 存存在在唯唯一一實(shí)數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)對(duì),xyMPxMAyMB （） 使得(1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中，1 1、已知、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),

8、a=(2,4,5),b=(3,x,y),若若abab, , 求求x,yx,y的值。的值。2 2、證明：三向量、證明：三向量a=ea=e1 1+e+e2 2,b=3e,b=3e1 1-2e-2e2 2,c=2e,c=2e1 1+3e+3e2 2 共面；若共面；若a=mb+nca=mb+nc，試求實(shí)數(shù)，試求實(shí)數(shù)m m、n n之值。之值。1 1） 兩個(gè)向量的夾角兩個(gè)向量的夾角abbaba,0被唯一確定了，并且量的夾角就在這個(gè)規(guī)定下，兩個(gè)向范圍：bababa互相垂直，并記作：與則稱如果,2,O OA AB Baabb3.1.33.1.3空間向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積向量向量a a與與b b的夾角記作

9、：的夾角記作：a,b 2 2）兩個(gè)向量的數(shù)量積）兩個(gè)向量的數(shù)量積注意：注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。cos,a ba ba b 3 3）射影）射影eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影，簡稱或在上的在軸叫做向量，則上的射影在作點(diǎn)上的射影在點(diǎn)同方向的單位向量。作上與是，和軸已知向量BAleA1B1注意：是軸注意：是軸l l上的正射影上的正射影,A,A1 1B B1 1是一個(gè)可正可負(fù)的實(shí)數(shù)，是一個(gè)可正可負(fù)的實(shí)數(shù)，它的符號(hào)代表向量與它

10、的符號(hào)代表向量與l l的方向的相對(duì)關(guān)系，大小代的方向的相對(duì)關(guān)系，大小代表在表在l l上射影的長度。上射影的長度。4)4)空間向量的數(shù)量積性質(zhì)空間向量的數(shù)量積性質(zhì) aaababaeaaea2) 30)2,cos) 1注意：注意：性質(zhì)性質(zhì)2 2）是證明兩向量垂直的依據(jù)；）是證明兩向量垂直的依據(jù)；性質(zhì)性質(zhì)3 3）是求向量的長度（模）的依據(jù)；）是求向量的長度（模）的依據(jù)；對(duì)于非零向量對(duì)于非零向量 ，有：，有：,ab5)5)空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律 注意：注意：分配律）交換律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa數(shù)量積不滿足結(jié)合律數(shù)量積不滿足結(jié)合律)

11、()cbacba（1 1、應(yīng)用、應(yīng)用 可證明兩直線垂直，可證明兩直線垂直，2 2、利用、利用 可求線段的長度。可求線段的長度。0baba22aa向量數(shù)量積的應(yīng)用向量數(shù)量積的應(yīng)用3.1.43.1.4空間向量正交分解及其坐標(biāo)表示空間向量正交分解及其坐標(biāo)表示空間向量基本定理：空間向量基本定理：如果三個(gè)向量如果三個(gè)向量a,b,c不共面不共面，那么對(duì)空間任一向量，那么對(duì)空間任一向量p,存在有序存在有序?qū)崝?shù)組實(shí)數(shù)組x,y,z,使得使得p=xa+yb+zc.空間所有向量的集合空間所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zRa,b,c叫做空間的一個(gè)叫做空間的一個(gè)基底基底，a,b,c都叫做都叫做基向量。

12、基向量。二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系 單位正交基底：單位正交基底：如果空間的一個(gè)如果空間的一個(gè)基底基底的的三個(gè)三個(gè)基向量互相垂直基向量互相垂直，且，且長都為長都為1，則這個(gè)，則這個(gè)基底叫做基底叫做單位正交基底單位正交基底，常用，常用 i , j , k 表表示。示。則空間中任意一個(gè)向量則空間中任意一個(gè)向量p可表示為可表示為 p=xi+yj+zk(x,y,z)就是向量就是向量p的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。3.1.5 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算則設(shè)),(),(321321bbbbaaaa;ab;ab;a;a b/;.ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab a

13、b123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112222/ababab1 122330a ba ba b二、距離與夾角二、距離與夾角2222123| aa aaaa2222123| | bb bbbb1.1.距離公式距離公式（1 1）向量的長度（模）公式）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對(duì)注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對(duì)角線的長度。角線的長度。| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空間直角坐標(biāo)系中，已知、

14、在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則，則111(,)A xyz222(,)B xyz（2 2）空間兩點(diǎn)間的距離公式）空間兩點(diǎn)間的距離公式終點(diǎn)坐標(biāo)減終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)起點(diǎn)坐標(biāo)cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2.2.兩個(gè)向量夾角公式兩個(gè)向量夾角公式注意：注意：（1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，同向；時(shí)，同向；（2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，反向；時(shí)，反向；（3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，。時(shí)，。cos,1 a b與 abcos,1 a b與 abcos,0 a bab思考：當(dāng)思考：當(dāng) 及及 時(shí)，的夾角在什么范圍內(nèi)？時(shí)，的夾角在什么范圍內(nèi)？1cos,0 a b,10cos a

15、b立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法1 1、用空間向量解決立體幾何問題的、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲三步曲”。 （1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； （2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量

16、問題）（化為向量問題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形問題）（回到圖形問題）la二、怎樣求平面法向量？二、怎樣求平面法向量？1 1、已知正方體、已知正方體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱長為的棱長為2 2，E E、F F分別是分別是BB1BB1、DD1DD1的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：（1 1）FC1/FC1/平面平面ADEADE（2 2）平面）平面ADE/ADE/平面平面B1C1FB1C1F證明：如圖證明：如圖1 1所示建立空間直角所示建立空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系D-D-xyzxyz，則有，則有D D（0 0，0 0，0 0）、）、A A（2 2，0 0，0 0

17、）、）、C C（0 0，2 2，0 0）、）、C1C1（0 0，2 2，2 2）、）、E E（2 2，2 2，1 1）、）、F F（0 0，0 0，1 1），所以），所以 ) 1 , 2 , 0(1FC)0 , 0 , 2(DA) 1 , 2 , 0(AE設(shè)設(shè) ， 分別是分別是平面平面ADEADE、平面、平面B1C1FB1C1F的法向量，則，的法向量，則， ， ),(1111zyxn ),(2222zyxnnDAnAE2、已知向量 則 上的單位向量為： 2 , 2, 1aa32,32,3132,32,31或同理可求) 2, 1 , 0(2n0) 1 , 2 , 0()2, 1 , 0(n11F

18、C11nFC/1FC21/nn（1），又FC1平面ADE，平面ADE 平面ADE/平面B1C1F（2 2）yzxzyAExDA2002n02n11取取y=1y=1，則，則 )2, 1 , 0(1n設(shè)直線設(shè)直線l,m的方向向量分別為的方向向量分別為a,b，平面，平面， 的法向量分別為的法向量分別為u,v,則則線線平行：線線平行：lm a b a=kb;線面平行：線面平行：l au au=0;面面平行：面面平行： u v u=kv.線線垂直：線線垂直：l m a b ab=0;面面垂直：面面垂直： u v uv=0.線面垂直：線面垂直：l a u a=ku;三、有關(guān)結(jié)論三、有關(guān)結(jié)論異面直線所成角的

19、范圍： 0,2ABCD1D結(jié)論：結(jié)論：coscos,CD AB |題型一：線線角題型一：線線角3.2.3利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角題型二：線面角題型二：線面角直線與平面所成角的范圍：直線與平面所成角的范圍： 0,2ABOn題型二：線面角題型二：線面角直線直線AB與平面與平面所成所成的角的角可看成是向量與可看成是向量與平面平面的法向量所成的的法向量所成的銳角的余角，所以有銳角的余角，所以有 nABnABnAB,cossin題型三：二面角題型三：二面角二面角的范圍：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO關(guān)鍵：觀察二面角的范圍關(guān)鍵：

20、觀察二面角的范圍BAMNnab一、求異面直線的距離一、求異面直線的距離nnABnABABd,cos方法指導(dǎo)方法指導(dǎo): :作直線作直線a、b的的方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法向量向量n，即此異面直線，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；的公垂線的方向向量；在直線在直線a、b上各取一點(diǎn)上各取一點(diǎn)A、B，作向量，作向量AB；求向量求向量AB在在n上的射影上的射影d，則異面直線，則異面直線a、b間的距間的距離為離為方法指導(dǎo)方法指導(dǎo): :作直線作直線a、b的的方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法向量向量n，即此異面直線，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；的公垂線的方向向量；在

21、直線在直線a、b上各取一點(diǎn)上各取一點(diǎn)A、B，作向量，作向量AB；求向量求向量AB在在n上的射影上的射影d，則異面直線，則異面直線a、b間的距間的距離為離為3.2.4|sin|nPAnPAnPAnPAPAPOd如圖點(diǎn)如圖點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面內(nèi)的任為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，平面的法向量為一點(diǎn)，平面的法向量為n,過點(diǎn)過點(diǎn)P作平面作平面 的垂的垂線線PO，記，記PA和平面和平面 所成的角為所成的角為 ，則點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面的距離到平面的距離n APO 二、求點(diǎn)到平面的距離二、求點(diǎn)到平面的距離例例4、已知正方形、已知正方形ABCD的邊長為的邊長為4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,

22、ECG=2,E、F F分別是分別是ABAB、ADAD的中點(diǎn)，求直線的中點(diǎn)，求直線BDBD到平面到平面GEFGEF的距離。的距離。DABCGFExyznnPAd三、求直線與平面間距離三、求直線與平面間距離例例5、在邊長為、在邊長為1的正方體的正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，M、N、E、F分別是棱分別是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求平面平面AMN與平面與平面EFDB的距離。的距離。ABCDA1B1C1D1MNEFxyznnPAd四、求平行平面與平面間距離四、求平行平面與平面間距離立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法坐標(biāo)法坐標(biāo)法問題問題1：已知：已知：ABC

23、為正三角形，為正三角形，EC平面平面ABC,且且EC,DB在平面在平面ABC同側(cè)，同側(cè)，CE=CA=2BD.求證：求證： 平面平面ADE平面平面ACE.怎樣建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系？怎樣建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系？怎樣證明平面怎樣證明平面ADE平面平面ACE？如何求平面如何求平面ADE、平面平面ACE的法向量？的法向量？一個(gè)平面的法向量有多少個(gè)？一個(gè)平面的法向量有多少個(gè)？能否設(shè)平面能否設(shè)平面ADE的法向量為的法向量為n n=(1,y,z)?這樣做有什么好處？這樣做有什么好處？解：分別以解：分別以CB，CE所在直線為所在直線為y,z軸，軸，C為原點(diǎn)建立空為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系間直角坐標(biāo)系C-xy

24、z,如右下圖如右下圖,設(shè)正三角形設(shè)正三角形ABC邊長為邊長為2則則C(0,0,0)、E(0,0,2)、D(0,2,1)、B(0,2,0)、A( 31 0)， ，設(shè)設(shè)N為為AC中點(diǎn)，則中點(diǎn)，則N 連接連接BN，ABC為正三角形，為正三角形，BNAC，EC平面平面ABC, BNEC,又又ACEC=C, BN 平面平面ACE.因此可取向量因此可取向量 為平面為平面ACE的法向量的法向量.那么那么BN 設(shè)平面設(shè)平面ADE的法向量為的法向量為n=(1,y,z),n=(1,y,z),則則33BN(,0).22 n nn nEA0DA0 3 1(0)22， EA ( 312)DA ( 3 1 1)(1 y

25、z312) 0 (1 y z) ( 3 1 1) 032 3y=z33 而， ， ， ，, )( ， ， ， ，n=n=3 2 31)33( ， n n3 2 33333BN(1) (0)0332222 ，-，平面平面DEA平面平面ACE.為了方便計(jì)算，能否取平面為了方便計(jì)算，能否取平面ACE的法向量為的法向量為( 33 0)ADE(33 2 3)?， ，、平面的法向量為 ， ，通過上例，你能說出用坐標(biāo)法解決立體幾通過上例，你能說出用坐標(biāo)法解決立體幾何中問題的一般步驟嗎？何中問題的一般步驟嗎？步驟如下：步驟如下：1.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；2.寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量

26、的坐標(biāo)；寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；3.進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算；進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算；4寫出幾何意義下的結(jié)論寫出幾何意義下的結(jié)論.小結(jié)：小結(jié)：1 1、怎樣利用向量求距離？、怎樣利用向量求距離？點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)到平面的距離：連結(jié)該點(diǎn)與平面上任意一點(diǎn)的向量連結(jié)該點(diǎn)與平面上任意一點(diǎn)的向量在平面定向法向量上的射影（在平面定向法向量上的射影（如果不知道判斷方向，如果不知道判斷方向，可取其射影的絕對(duì)值可取其射影的絕對(duì)值）。）。點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到直線的距離：求出垂線段的向量的模。求出垂線段的向量的模。直線到平面的距離：直線到平面的距離：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離。可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離。平行平面間的距離：平行平面間的距離：轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離、點(diǎn)到轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離、點(diǎn)到平面的距離。平面的距離。異面直線間的距離：異面直線間的距離：轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離、點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離、點(diǎn)到平面的距離。也可運(yùn)用閉合曲線求公垂線向量的模到平面的距離。也可運(yùn)用閉合曲線求公垂線向量的模或共線向量定理和公垂線段定義求出公垂線段向量的或共線向量定理和公垂線段定義求出公垂線段向量的模。模。