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1、2017-2018學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（二） 數(shù) 學 Ⅰ 試 題 2018.5 注 意 事 項 考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求 1．本試卷共4頁，包括填空題（第1題～第14題）、解答題（第15題～第20題）兩部分．本試卷滿分160分，考試時間120分鐘． 2．答題前，請您務必將自己的姓名、考試號用毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的指定位置． 3．答題時，必須用毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的指定位置，在其它位置作答一律無效． 4．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚． 5. 請保持答

2、題卡卡面清潔，不要折疊、破損．一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆． 方差公式：,其中. 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上． 1．若復數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為 ▲ ． 7 8 8 2 4 4 9 2 （第4題圖） 2．設集合，（其中a < 0），若，則實數(shù) ▲ ． 3．在平面直角坐標系xOy中，點到拋物線的準線的距離為 ▲ ． 4．一次考試后，從高三（1）班抽取5人進行成績統(tǒng)計，其莖葉 圖如右圖所示，則這五人成績的方差為 ▲ ．

3、 （第5題圖） S?2x?x2 S?1 輸出S 結束 開始 輸入x x＜1 Y N 5．右圖是一個算法流程圖，若輸入值x∈，則輸出值S的取值范圍是 ▲ ． （第6題圖） 6．歐陽修在《賣油翁》中寫到：“（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”，可見賣油翁的技藝之高超，若銅錢直徑4厘米，中間有邊長為1厘米的正方形小孔，隨機向銅錢上滴一滴油（油滴大小忽略不計），則油恰好落入孔中的概率是 ▲ ． 7．已知函數(shù)在時取得最大值，則 ▲ ． 8．已知公差為d的等差數(shù)列的前n項和為，若，則 ▲ ．

4、9．在棱長為2的正四面體中，M，N分別為PA，BC的中點，點D是線段PN上一點，且，則三棱錐的體積為 ▲ ． 10．設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足，則 ▲ ． 11．在平面直角坐標系中，已知圓，點，若圓上存在點滿足則點的縱坐標的取值范圍是 ▲ ． Q P O B A （第12題圖） 12．如圖，扇形AOB的圓心角為90°，半徑為1，點P是圓弧AB上的動點，作點P關于弦AB的對稱點Q，則的取值范圍為 ▲ ． 13．已知函數(shù) 若存在實數(shù)，滿足，則的最大值 是 ▲ ． 14．已知為正實數(shù)，且，則的最

5、小值為 ▲ ． 二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． A B C D P E （第15題圖） 15．（本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐P?ABCD中，，，點E為棱PB的中點． （1）若，求證：PC^BD； （2）求證：CE∥平面PAD． ▲ ▲ ▲ 16．（本小題滿分14分） 在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設△ABC的面積為S， 且． （1）求∠B的大??； （2）設向量，，求m·n的取值范圍． ▲

6、 ▲ ▲ 17．（本小題滿分14分） 下圖（Ⅰ）是一斜拉橋的航拍圖，為了分析大橋的承重情況，研究小組將其抽象成圖（Ⅱ）所示的數(shù)學模型．索塔，與橋面均垂直，通過測量知兩索塔的高度均為60m，橋面AC上一點P到索塔,距離之比為21∶4，且P對兩塔頂?shù)囊暯菫椋? （1）求兩索塔之間橋面AC的長度； （2）研究表明索塔對橋面上某處的“承重強度”與多種因素有關，可簡單抽象為：某索塔對橋面上某處的“承重強度”與索塔的高度成正比（比例系數(shù)為正數(shù)a），且與該處到索塔的距離的平方成反比（比例系數(shù)為正數(shù)b）．問兩索塔對橋面何處的“承重強度”之和最??？并求出最小值． （第17題圖（Ⅰ）） （第17題

7、圖（Ⅱ）） P D C B A ▲ ▲ ▲ 18．（本小題滿分16分） 如圖，N D M C B A y x O （第18題圖） 橢圓的離心率為，焦點到相應準線的距離為1，點A， B，C分別為橢圓的左頂點、右頂點和上頂點，過點C的直線交橢圓于點D，交x軸于點M(x1，0)，直線AC與直線BD交于點N(x2，y2). （1） 求橢圓的標準方程； （2） 若，求直線的方程； （3） 求證：為定值. ▲ ▲ ▲ 19．（本小題滿分16分） 已知函數(shù)，. （1）若， ① 當時，求函數(shù)

8、的極值（用a表示）； ② 若有三個相異零點，問是否存在實數(shù)使得這三個零點成等差數(shù)列？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由； （2）函數(shù)圖象上點A處的切線與的圖象相交于另一點B，在點B處的切線為，直線，的斜率分別為，，且，求滿足的關系式. ▲ ▲ ▲ 20．（本小題滿分16分） 已知等差數(shù)列的首項為1，公差為d，數(shù)列的前n項和為，且對任意的，恒成立． （1）如果數(shù)列是等差數(shù)列，證明數(shù)列也是等差數(shù)列； （2）如果數(shù)列為等比數(shù)列，求d的值； （3）如果，數(shù)列的首項為1，，證明數(shù)列中存在無窮多項可表示為數(shù)列中的兩項之和． ▲ ▲

9、 ▲ 2017-2018學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（二） 參考答案 一、填空題 1. 2. 3. 4 4. 20.8 5. 6. 7. 8. 2 9. 10. 4 11. 12. 13. 14. 二、解答題 15. 證明：（1）取BD的中點O，連結CO，PO， 因為CD=C

10、B，所以△CBD為等腰三角形，所以BD^CO． 因為PB=PD，所以△PBD為等腰三角形，所以BD^PO． 又PO∩CO=O，所以BD^平面PCO． 因為PC平面PCO，所以PC^BD． （2）由E為PB中點，連EO，則EO∥PD， 又EO平面PAD，所以EO∥平面PAD． 由∠ADB=90°，以及BD^CO，所以CO∥AD， 又CO平面PAD，所以CO∥平面PAD． 又，所以平面平面PAD， 而平面，所以CE∥平面PAD． 16. 解（1）由題意，有，

11、 則，所以sinB=cosB． 因為，所以， 所以tanB=． 又0＜B＜π，所以B=． （2）由向量m=(sin2A,3cosA)，n=(3,?2cosA)，得 m·n=3sin2A?6cos2A=3sin2A?3cos2A?3=?3． 由（1）知B=，所以A+C=，所以0＜A＜． 所以?． 所以?． 所以m·n?(?6,3?3]．即取值范圍是(?6,3?3]． 17. 解（1）設，記，則 ， 由， 化簡得 ，解得或（舍去）， 所以，．

12、 答：兩索塔之間的距離AC=500米． （2）設AP=x，點P處的承重強度之和為. 則，且， 即 （注：不寫定義域扣1分） 記，則， 令，解得， 當，，單調(diào)遞減； 當，，單調(diào)遞增； 所以時，取到最小值，也取到最小值. 答：兩索塔對橋面AC中點處的“承重強度”之和最小，且最小值為. 18. 解（1）由橢圓的離心率為，焦點到對應準線的距離為1. 得 解得 所以，橢圓的標準方程為. （2）由（1）知，設， 因為，得，所以， 代入橢圓方程得或，所以或， 所以的方程為

13、：或. （3）設D坐標為(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直線的方程， 聯(lián)立橢圓方程得：解得,. 由，得直線BD的方程：， ① 直線AC方程為， ② 聯(lián)立①②得， 從而=2為定值. 解法2：設D坐標為(x3，y3）， 由C,M,D三點共線得，所以， ① 由B,D,N三點共線得，將 代入可得 ， ② ①和②相乘得， . 19. 解：（1）①由及， 得， 令，解得或. 由知，，單調(diào)遞增， ，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增， 因此，的極大值為，的極小值為.

14、 ② 當時，，此時不存在三個相異零點； 當時，與①同理可得的極小值為，的極大值為. 要使有三個不同零點，則必須有， 即. 不妨設的三個零點為，且， 則， ， ① ， ② ， ③ ②-①得， 因為，所以， ④ 同理， ⑤ ⑤-④得， 因為，所以， 又，所以. 所以，即，即， 因此，存在這樣實數(shù)滿足條件. （2）設A（m，f(m)）,B(n，f(n))，則，， 又， 由此可得，化簡得， 因此，， 所以，， 所以. 20. 解：（1）設數(shù)列的公差為，由， ① ， ② ①-②得， ③

15、 即，所以為常數(shù)， 所以為等差數(shù)列． （2）由③得，即， 所以是與n無關的常數(shù)， 所以或為常數(shù)． ①當時，，符合題意； ②當為常數(shù)時， 在中令，則，又，解得，…8分 所以， 此時，解得． 綜上，或． （3）當時，， 由（2）得數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，即． 當時，， 當時，也滿足上式， 所以． 設，則，即， 如果，因為為3的倍數(shù)，為3的倍數(shù)， 所以2也為3的倍數(shù)，矛盾． 所以，則，即． 所以數(shù)列中存在無窮多項可表示為數(shù)

16、列中的兩項之和． 2017-2018學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（二） 附加題參考答案 21.A 解　連接OE，因為ED是⊙O切線，所以OE⊥ED. 因為OA＝OE，所以∠1＝∠OEA. 又因為∠1＝∠2，所以2＝∠OEA， 所以OE∥AC，∴AC⊥DE． 21.B 解 由， 得的一個解為3， 代入得， 因為，所以. 21.C解 消去參數(shù)t，得到圓的普通方程為, 由，得, 所以直線的直角坐標方程為.

17、 依題意，圓心C到直線的距離等于，即解得. 21.D 證明：因為a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1， 所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2. 由柯西不等式：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2， 5(1－c2)≥(1－c)2， 整理得，3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1. 所以－≤c≤1. 22. 解（1）由題意，得 又，解得， （2）由題意， 23. 解（1）當時， ， 所以 ， 所以. （2）因為 ， 所以， 由題意， 首先證明對于固定的，滿足條件的是唯一的. 假設 ， 則，而，，矛盾. 所以滿足條件的是唯一的. 下面我們求及的值： 因為 ， 顯然. 又因為，故， 即. 所以令， ， 則，又， 所以.