《重慶市中考數(shù)學(xué) 第二部分 題型研究 二、解答題重難點(diǎn)突破 題型四 三角形 四邊形的證明與計(jì)算課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《重慶市中考數(shù)學(xué) 第二部分 題型研究 二、解答題重難點(diǎn)突破 題型四 三角形 四邊形的證明與計(jì)算課件（53頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、二、解答題重難點(diǎn)突破二、解答題重難點(diǎn)突破第二部分第二部分 題型研究題型研究目目錄錄題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計(jì)算三角形、四邊形的證明與計(jì)算 類型一類型一 有等腰直角三角有等腰直角三角,通常作底邊上的通常作底邊上的 高、中線或頂角的平分線高、中線或頂角的平分線 類型二類型二 有直角三角形有直角三角形,通常作斜邊上的中線通常作斜邊上的中線 類型三類型三 截長(zhǎng)補(bǔ)短截長(zhǎng)補(bǔ)短類型四類型四 構(gòu)建適宜的三角形或四邊形構(gòu)建適宜的三角形或四邊形類型五類型五 有角平分線，作到角兩邊的垂線有角平分線，作到角兩邊的垂線第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點(diǎn)突破二、解答題重難點(diǎn)突破類型一類型一 有

2、等腰直角三角形，通常作底邊上的高、中有等腰直角三角形，通常作底邊上的高、中 線或頂角的平分線線或頂角的平分線 題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計(jì)算三角形、四邊形的證明與計(jì)算 典例精講 例例 已知，四邊形已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)是正方形，點(diǎn)P在直線在直線BC上，上，點(diǎn)點(diǎn)G在直線在直線AD上（上（P、G不與正方形頂點(diǎn)重合，且在不與正方形頂點(diǎn)重合，且在CD的同的同側(cè)），側(cè)），PDPG，DFPG于點(diǎn)于點(diǎn)H，DF交直線交直線AB于點(diǎn)于點(diǎn)F，將，將線段線段PG繞點(diǎn)繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到得到線段線段PE，連接，連接EF. （1）如圖）如圖，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)G分別在分別在線段線段B

3、C與線段與線段AD上時(shí)，若上時(shí)，若PC=1，計(jì)算出計(jì)算出DG的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；例題圖例題圖（2）如圖）如圖，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)G分別在線段分別在線段BC與線段與線段AD上時(shí)，上時(shí)，證明：四邊形證明：四邊形DFEP為菱形；為菱形；（3）如圖）如圖，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)G分別在線段分別在線段BC與線段與線段AD的延長(zhǎng)的延長(zhǎng)線上時(shí)，（線上時(shí)，（2）的結(jié)論：四邊形）的結(jié)論：四邊形DFEP為菱形是否依然成立？若成立，請(qǐng)給為菱形是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.例題圖例題圖 （1）【思路分析】作）【思路分析】作PMDG于點(diǎn)于點(diǎn)M，根據(jù)等腰三角形，根據(jù)等腰三角形

4、的性質(zhì)由的性質(zhì)由PD=PG得得MG=MD，根據(jù)矩形的判定定理易得四邊，根據(jù)矩形的判定定理易得四邊形形PCDM為矩形，則為矩形，則PC=MD，于是有，于是有DG=2PC. 解解：作：作PMDG于點(diǎn)于點(diǎn)M，如解圖，如解圖， PD=PG, MG=MD, 四邊形四邊形ABCD為正方形，為正方形， 四邊形四邊形PCDM為矩形，為矩形， PC=MD,DG=2PC=2.例題解圖例題解圖M (2)【思路分析】根據(jù)四邊形【思路分析】根據(jù)四邊形ABCD為正方形得為正方形得AD=AB，由四邊形由四邊形ABPM為矩形得為矩形得AB=PM，則，則AD=PM，再利用等角再利用等角的余角相等得到的余角相等得到GDH=MPG

5、，于是可根據(jù)，于是可根據(jù)“ASA”證明證明ADF MPG，得到，得到DF=PG，加上，加上PD=PG，得到得到DF=PD，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得EPG=90，PE=PG，所以，所以PE=PD=DF，再利用，再利用DFPG得到得到DFPE，于是可判斷四邊形于是可判斷四邊形DFEP為平行四邊形，加上為平行四邊形，加上DF=PD，則可，則可判斷四邊形判斷四邊形DFEP為菱形為菱形. 解解：四邊形四邊形ABCD為正方形，為正方形， AD=AB, 四邊形四邊形ABPM為矩形，為矩形， AB=PM, AD=PM, DFPG, DHG=90, GDH+DGH=90,MGP +MPG=90

6、,GDH=MPG,在在ADF和和MPG中中，A=GMP,AD=MPADF=MPG,ADF MPG(ASA),DF=PG,而而PD=PG,DF=PD,線段線段PG繞點(diǎn)繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段得到線段PE，EPG=90,PE=PG,PE=PD=DF,而而DFPG,DFPE,即即DFPE,且且DF=PE,四邊形四邊形DFEP為平行四邊形，為平行四邊形，DF=PD,四邊形四邊形DFEP為菱形為菱形. (3)【思路分析】與（【思路分析】與（2）的證明方法一樣可得到四邊）的證明方法一樣可得到四邊 形形DFEP為菱形為菱形. 解：四邊形解：四邊形DFEP是菱形，理由如下：是菱形，理由如下：作作

7、PMDG于點(diǎn)于點(diǎn)M，如解圖，如解圖，與（與（2）一樣同理可證）一樣同理可證ADF MPG,DF=PG,而而PD=PG,DF=PD,線段線段PG繞點(diǎn)繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段得到線段PE，EPG=90,PE=PG,PE=PD=DF,例題解圖例題解圖M而而DFPG,DFPE,即即DFPE,且且DF=PE,四邊形四邊形DFEP為平行四邊形，為平行四邊形，DF=PD,四邊形四邊形DFEP為菱形為菱形.第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點(diǎn)突破二、解答題重難點(diǎn)突破題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計(jì)算三角形、四邊形的證明與計(jì)算類型二類型二 有直角三角形，通常作斜邊上的中線有直角

8、三角形，通常作斜邊上的中線 典例精講 例例 某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：（1）在等腰）在等腰ABC中，中，AB=AC，分別以，分別以AB、AC為斜邊，為斜邊，向向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖所示，其中所示，其中DFAB于點(diǎn)于點(diǎn)F,EGAC于點(diǎn)于點(diǎn)G，M是是BC的的中點(diǎn)，連接中點(diǎn)，連接MD和和ME,求證：求證： AF=AG= AB; MD=ME.21例題圖例題圖 （2）在任意）在任意ABC中，仍分別以中，仍分別以AB、AC為斜邊，為斜邊，向向ABC的內(nèi)側(cè)作等腰

9、直角三角形，如圖的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖所示，所示，M是是BC的中點(diǎn)，連接的中點(diǎn)，連接MD和和ME，試判斷，試判斷MDE的形狀的形狀.（直（直接寫(xiě)答案，不需要寫(xiě)證明過(guò)程）接寫(xiě)答案，不需要寫(xiě)證明過(guò)程）例題圖例題圖例題圖例題圖 （3）在任意）在任意ABC中，分別以中，分別以AB、AC為斜邊，向?yàn)樾边?，向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖所示，所示，M是是BC的的中點(diǎn)，連接中點(diǎn)，連接MD和和ME，則，則MD與與ME有怎樣的數(shù)量關(guān)系？有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ （1）【思路分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出）【思路分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出F、G分別是分別是AB、A

10、C的中點(diǎn)，就可以得出的中點(diǎn)，就可以得出FM、GM是是ABC的中位線，就可以得出的中位線，就可以得出BFM=BAC=CGM.就就可以得出可以得出DFM EGM從而得出結(jié)論從而得出結(jié)論. 證明證明：ADB、AEC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DFAB于點(diǎn)于點(diǎn)F,EGAC于點(diǎn)于點(diǎn)G， DF=AF= AB,EG=AG= AC,DFB=EGC=90， M是是BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，2121FM、GM是是ABC的中位線，的中位線，F(xiàn)M= AC,GM= AB,FMAC,GMAB,BFM=BAC,BAC=CGM，BFM=CGM,BFM+DFB=CGM+EGC,DFM=EGM.AB=AC, AB= AC,AF

11、=AG= AB，DF=EG,FM=GM，2121212121在在DFM和和EGM中，中， DF=EG DFM=EGM FM=GM，DFM EGM(SAS),MD=ME. （2）【思路分析】?。舅悸贩治觥咳C、AB、AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)M、F、G，連連接接DF、MF，EG、MG，DF和和MG相交于相交于H，根據(jù)三角形的，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可以得出中位線的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可以得出DFM MGE，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論. 解解：如解圖：如解圖，取，取BC、AB和和AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)M、F、G，連接連接MF、DF、

12、MG、EG，DF和和MG相交于相交于H.MFAC,MF= AC,MGAB,MG= AB,四邊形四邊形MFAG是平行四邊形，是平行四邊形，MG=AF,MF=AG,AFM=AGM,ADB和和AEC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DF=AF,GE=AG,AFD=BFD=AGE=90，MF=EG,DF=MG,AFM-AFD=AGM- AGE,例題解圖例題解圖2121FGH即即DFM=MGE.在在DFM和和MGE中，中， FM=GE DFM=MGE ， DF=MGDFM MGE(SAS),MD=ME,MDF=EMG.MGAB,MHD=BFD=90, （3）【思路分析】?。舅悸贩治觥咳B、AC的中

13、點(diǎn)的中點(diǎn)F、G，連接，連接DF、MF、EG、MG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得是平行四邊形，從而得出出DFM MGE,根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論.HMD+MDF=90,HMD+EMG=90,即即DME=90，DME為為等腰直角三角形等腰直角三角形.例題解圖例題解圖 解解：MD=ME, 理由：如解圖理由：如解圖，取，取AB、AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)F、G，連接，連接DF、MF、EG、MG, AF= AB,AG= AC. ABD和和AEC是等腰直角三角形是等腰

14、直角三角形， DFAB,DF= AB,EGAC,EG= AC, AFD=AGE=90,DF=AF,GE=AG. M是是BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)， MFAC,MGAB,21212121FG四邊形四邊形AFMG是平行四邊形，是平行四邊形， AG=MF,MG=AF,AFM=AGM，MF=EG,DF=MG,AFM+AFD=AGM+AGE,DFM=MGE.在在DFM和和MGE中中， FM=GE DFM=MGE DF=MG,DFM MGE(SAS),DM=ME.第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點(diǎn)突破二、解答題重難點(diǎn)突破題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計(jì)算三角形、四邊形的證明與計(jì)算類型三類型三

15、截長(zhǎng)補(bǔ)短截長(zhǎng)補(bǔ)短 典例精講 例例 （20152015本溪本溪）如圖）如圖，在，在ABC中，中，AB=AC,射線射線BP從從BA所在位置開(kāi)始繞點(diǎn)所在位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（0180) （1）當(dāng)）當(dāng)BAC=60時(shí)，將時(shí)，將BP旋轉(zhuǎn)到圖旋轉(zhuǎn)到圖位置，點(diǎn)位置，點(diǎn)D在在射線射線BP上，若上，若CDP120,證明：證明：BD=CD+AD； 例題圖例題圖例題圖例題圖 （2）當(dāng)）當(dāng)BAC=120時(shí)，將時(shí)，將BP旋轉(zhuǎn)到圖旋轉(zhuǎn)到圖位置，點(diǎn)位置，點(diǎn)D在射線在射線BP上，若上，若CDP=60，求證：，求證：BD-CD= AD; （3）將圖）將圖中的中的BP繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)301

16、80時(shí)，時(shí)，點(diǎn)點(diǎn)D是直線是直線BP上一點(diǎn)（點(diǎn)上一點(diǎn)（點(diǎn)P不在線段不在線段BD上），若上），若CDP=120,試猜想：線段試猜想：線段BD、CD與與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.例題圖例題圖3 （1）【思路分析】如解圖）【思路分析】如解圖，CDP=120，根據(jù)鄰補(bǔ)，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)得出角互補(bǔ)得出CDB=60，那么，那么CDB=BAC=60，所以，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得出四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得出ACD=ABD;在在BP上截取上截取BE=CD,連接連接AE.利用利用SAS證明證明DCA EBA，得出得出AD=AE,DAC=EAB，再證明，再證明ADE是等邊

17、三角形，是等邊三角形，得到得到DE=AD，進(jìn)而得出，進(jìn)而得出BD=CD+AD.證明證明：如解圖：如解圖，CDP=120，CDB=60，BAC=60，CDB=BAC=60，A、B、C、D四點(diǎn)共圓，四點(diǎn)共圓，ACD=ABD.在在BP上截取上截取BE=CD，連接，連接AE，在在DCA與與EBA中，中， AC=AB ACD=ABE CD=BE,DCA EBA(SAS),例題解圖例題解圖EAD=AE,DAC=EAB,CAB=CAE+EAB=60，DAE=CAE+DAC=60,ADE是等邊三角形，是等邊三角形，DE=AD,BD=BE+DE,BD=CD+AD. (2)【思路分析】如解圖【思路分析】如解圖，設(shè)

18、，設(shè)AC與與BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O，在在BP上截取上截取BE=CD，連接，連接AE,過(guò)過(guò)A作作AFBD于于F.先由兩角先由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出DOCAOB，于是，于是ACD=ABE.再利用再利用SAS證明證明DCA EBA，得出，得出AD=AE,DAC=EAB.由由CAB=CAE+EAB=120，得出得出DAE=120，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出定理求出ADE=AED= =30.解解RtADF，得，得到到DF= AD，那么，那么DE=2DF AD，進(jìn)而得出，進(jìn)而得出BD=DE+BE= AD+CD,即即BD-

19、CD= AD.2120-18023333 證明證明：如解圖：如解圖，設(shè)，設(shè)AC與與BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O，在，在BP上截取上截取BE=CD,連接連接AE，過(guò)，過(guò)A作作AFBD于于F. CDP=60， CDB=120， CAB=120， CDB=CAB, DOC=AOB， DOCAOB, ACD=ABE.例題解圖例題解圖EFO在在DCA與與EBA中，中， AC=AB ACD=ABE, CD=BEDCA EBA(SAS),AD=AE,DAC=EAB,CAB=CAE+EAB=120,DAE=120,ADE=AED= =30.2120-180在在RtADF中，中，ADF=30，DF= AD,DE=2D

20、F= AD,BD=DE+BE= AD+CD,BD-CD= AD.32333(3)【思路分析】同（【思路分析】同（2）證明可以得出）證明可以得出BD+CD= AD.3 解解：猜想：猜想：BD+CD= AD或或CD-BD= AD. 證明證明：如解圖：如解圖，在，在DB的延長(zhǎng)線上取的延長(zhǎng)線上取BE=CD,連接連接AE,過(guò)過(guò)A作作AFBE于于F.33由三角形外角性質(zhì)得由三角形外角性質(zhì)得CBE=CDB+BCD=60+BCD,又又CBE=ABC+ABE=30+ABE，ABE=30+BCD=ACB+BCD=ACD,AC=AB,CD=BE,ACD ABE（SAS）,EAB=DAC,AE=AD,EAB+BAD=

21、BAD+DAC=120,ADE=30.DE=2DF=2ADcosADF= AD, AD=BD+BE=BD+CD;3例題解圖例題解圖3FE如解圖如解圖，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在在DB的延長(zhǎng)線上，的延長(zhǎng)線上，在在CD上截取上截取CE=BD,連接連接AE,過(guò)過(guò)A作作AFCD于于F.易得易得ACE ABD，AE=AD,CAE=BAD,EAD=CAE+EAB=CAB=120，在在RtDAF中中，F(xiàn)D=ADcosADF= AD,ED=2FD= AD,CD-BD= AD.3323例題解圖例題解圖EF第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點(diǎn)突破二、解答題重難點(diǎn)突破題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計(jì)算三角形

22、、四邊形的證明與計(jì)算類型四類型四 構(gòu)建適宜的三角形或四邊形構(gòu)建適宜的三角形或四邊形 典例精講 例例 （2015營(yíng)口）（營(yíng)口）（1）如圖）如圖，銳角，銳角ABC中分別中分別以以AB、AC為邊向外作等腰為邊向外作等腰ABE和等腰和等腰ACD，使，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，連接，連接BD，CE，試，試猜想猜想BD與與CE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.例題圖例題圖例題圖例題圖（2）如圖）如圖，四邊形，四邊形ABCD中，中，AB=7 cm，BC=3 cm，ABC=ACD=ADC=45，求，求BD的長(zhǎng)的長(zhǎng).（3）如圖）如圖，在（，在（2）的條件下，當(dāng)）的條件下，當(dāng)ACD在線

23、段在線段AC的的左側(cè)時(shí)，求左側(cè)時(shí)，求BD的長(zhǎng)的長(zhǎng).例題圖例題圖 解：解：BD=CE.理由如下：理由如下： BAE=CAD， BAE+BAC=CAD+BAC，即即EAC=BAD， 在在EAC和和BAD中，中， AE=AB EAC=BAD AC=AD， (1)【思路分析】先通過(guò)角度間的等量代換證明【思路分析】先通過(guò)角度間的等量代換證明EAC=BAD，再根據(jù)，再根據(jù)SAS即可證明即可證明EAC BAD，由全等三角形，由全等三角形的性質(zhì)即可證明的性質(zhì)即可證明BD=CE. EAC BAD（SAS），）， BD=CE. （2）【思路分析】在）【思路分析】在ABC的外部，以點(diǎn)的外部，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作為直角

24、頂點(diǎn)作等腰直角三角形等腰直角三角形BAE，使，使BAE=90，AE=AB，連接，連接EC，證明證明EAC BAD，證明，證明BD=CE，然后在直角三角形，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解中利用勾股定理即可求解. 解解：如解圖：如解圖，在，在ABC的外部，以點(diǎn)的外部，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形作等腰直角三角形BAE，使，使BAE=90，AE=AB，連接，連接EC.ACD=ADC=45，AC=AD，CAD=90，BAE+BAC=CAD+BAC，即即EAC=BAD，在在EAC和和BAD中中， AE=AB EAC=BAD AC=AD，EAC BAD（SAS），），BD=CE

25、.例題解圖例題解圖EAE=AB=7，BE= =7 ，ABE=AEB=45，又又ABC=45，ABC+ABE=45+45= 90，CE= = = ， BD=CE= cm.10710727722+BCBE22+3）27(22+ (3)【思路分析】在線段【思路分析】在線段AC的右側(cè)過(guò)點(diǎn)的右側(cè)過(guò)點(diǎn)A作作AEAB于點(diǎn)于點(diǎn)A，交交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明，證明EAC BAD，證明，證明BD=CE，即可求解即可求解.例題解圖例題解圖解解：如解圖：如解圖，在線段，在線段AC的右側(cè)過(guò)點(diǎn)的右側(cè)過(guò)點(diǎn)A作作AEAB于點(diǎn)于點(diǎn)A，交交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.AEAB，BAE=90，又又ABC=45，E

26、=ABC=45，AE=AB=7，BE= = ，又又ACD=ADC=45，BAE=DAC=90，AC=AD,7722+27EBAE-BAC=DAC-BAC，即，即EAC=BAD， 在在EAC和和BAD中，中， AE=AB EAC=BAD ， AC=ADEAC BAD（SAS），），BD=CE，BC=3，BD=CE= cm.3)-27(第二部分第二部分 題型研究題型研究二、解答題重難點(diǎn)突破二、解答題重難點(diǎn)突破題型四題型四 三角形、四邊形的證明與計(jì)算三角形、四邊形的證明與計(jì)算類型五類型五 有角平分線，作到角兩邊的垂線有角平分線，作到角兩邊的垂線 典例精講 例例 （20142014重慶重慶A A卷卷）

27、如圖，）如圖，ABC中，中，BAC=90，ABAC，ADBC,垂足是垂足是D，AE平分平分BAD,交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)E.在在ABC外有一點(diǎn)外有一點(diǎn)F，使使FAAE,FCBC. （1）求證：）求證：BE=CF; ( 2 )在在AB上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)M，使，使BM2DE,連接連接MC，交，交AD于點(diǎn)于點(diǎn)N，連接，連接ME. 求證求證:MEBC; DE=DN.例題圖例題圖 (1)【思路分析】要證【思路分析】要證BE=CF，通過(guò)觀察圖形，得其分，通過(guò)觀察圖形，得其分別在別在ABE與與ACF中，由于中，由于ABE與與ACF分別有一組分別有一組邊相等邊相等(AB=AC)，且，且BE、CF的對(duì)應(yīng)角都與直角有關(guān)的

28、對(duì)應(yīng)角都與直角有關(guān)（BACEAF90），因此，可考慮通過(guò)證明），因此，可考慮通過(guò)證明ABE與與ACF全等后，再進(jìn)一步利用全等三角形的性質(zhì)全等后，再進(jìn)一步利用全等三角形的性質(zhì)證明證明BE=CF.證明證明：如解圖，：如解圖，BAC=90，F(xiàn)AAE，1+EAC=90，例題解圖例題解圖 2+EAC=90，12，又又AB=AC,B=ACB=45.FCBC, FCA=90 - ACB=90-45=45，B=FCA，ABE ACF（ASA），），BE=CF.G25134687一題多解一題多解:BAC=90，F(xiàn)AAE,BAC=EAF=90,BAE+EAC=EAC+CAF,BAE=CAF,又又FCBC，且在四邊

29、形且在四邊形AECF中，中，EAF+ECF=180,AEC+F=180，BEA+AEC=180，BEA=F,AB=AC,ABE ACF(AAS), BE=CF. (2)【思路分析】【思路分析】過(guò)過(guò)E作作EGAB于點(diǎn)于點(diǎn)G,可證明可證明GBE是等腰直角三角形，可得是等腰直角三角形，可得3=45,由角平分線的性質(zhì)可證由角平分線的性質(zhì)可證EG=ED,可得可得BG=ED,再由再由BM=2ED,可證可證EG是是BM的垂直平的垂直平分線，可得分線，可得4=45,即可證明即可證明MEBC；先證先證RtAMC RtEMC得出得出7=8,再證再證ADE CDN,得出得出DE=DN. 證明證明：如解圖，過(guò)如解圖，過(guò)E作作EGAB于點(diǎn)于點(diǎn)G. B=45， GBE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BG=EG,3=45，ADBC,AE平分平分BAD,EG=ED,BG=ED,BM=2ED,BM=2BG,即即G是是BM的中點(diǎn)的中點(diǎn),EG是是BM的垂直平分線，的垂直平分線，EB=EM,4=3=45,MEB=4+3=45+4590，即，即MEBC.ADBC,MEAD,5=6，1=5,1=6,AM=EM，MC=MC,RtAMC RtEMC(HL)，78，BAC=90，AB=AC,ACB=45，BAD=CAD=45， 5722.5，ADCD，ADE=CDN=90，ADE CDN（ASA），），DE=DN.