《高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第七章 第二節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理課件 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第七章 第二節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理課件 文（67頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理1.1.空間中點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面的位置關(guān)系空間中點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面的位置關(guān)系(1)(1)空間點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種空間點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種:_:_和和_._.(2)(2)空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種:_:_和和_._.點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線點(diǎn)在直線外外點(diǎn)在平面內(nèi)點(diǎn)在平面內(nèi)點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面外外2.2.空間中線與線、線與面及面與面之間的位置關(guān)系空間中線與線、線與面及面與面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與直線直線與平面直線與平面平面與平面平面與平面平平行行關(guān)關(guān)系系圖形圖形語言語言符號符號語言語言_交點(diǎn)交點(diǎn)個數(shù)個數(shù)_個個_個個_個個

2、ababaa0 00 00 0直線與直線直線與直線直線與平面直線與平面平面與平面平面與平面相相交交關(guān)關(guān)系系圖形圖形語言語言符號符號語言語言abab=A=Aaa=A=A= =l交點(diǎn)交點(diǎn)個數(shù)個數(shù)_個個_個個_個個1 11 1無數(shù)無數(shù)直線與直線直線與直線直線與平面直線與平面平面與平面平面與平面獨(dú)獨(dú)有有關(guān)關(guān)系系圖形圖形語言語言符號符號語言語言a,ba,b是異是異面直線面直線a a交點(diǎn)交點(diǎn)個數(shù)個數(shù)0 0個個無數(shù)個無數(shù)個3.3.空間圖形的公理及等角定理空間圖形的公理及等角定理文字語言文字語言圖形語言圖形語言符號語言符號語言公公理理1 1如果一條直線上的如果一條直線上的_在一個平面內(nèi)在一個平面內(nèi), ,那那么

3、這條直線上么這條直線上_都在這個平面內(nèi)都在這個平面內(nèi)( (即直線即直線_)_)若若AAl,B,Bl, ,A,BA,B, ,則則_公公理理2 2經(jīng)過不在同一條直線經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)上的三點(diǎn),_,_一個平面一個平面( (即可以確即可以確定一個平面定一個平面) )若若A,B,CA,B,C三點(diǎn)不共三點(diǎn)不共線線, ,則則_一一個平面?zhèn)€平面使使AA, ,B,CB,C兩兩點(diǎn)點(diǎn)所有的所有的點(diǎn)點(diǎn)在平面內(nèi)在平面內(nèi)l有且只有有且只有有且只有有且只有文字語言文字語言圖形語言圖形語言符號語言符號語言公公理理3 3如果兩個不重合的如果兩個不重合的平面平面_,_,那么它們那么它們_一條通過這個點(diǎn)的一條通過這個點(diǎn)的公

4、共直線公共直線若若A,AA,A, ,則則_公公理理4 4平行于同一條直線平行于同一條直線的兩條直線的兩條直線_若若ab,bcab,bc, ,則則_等等角角定定理理空間中空間中, ,如果兩個如果兩個角的兩條邊分別對角的兩條邊分別對應(yīng)平行應(yīng)平行, ,那么這兩那么這兩個角相等或互補(bǔ)個角相等或互補(bǔ)若若AOAO,AOAO,BC_,BC_,則則AOB=AOB,AOB=AOB,AOCAOC和和AOBAOB互補(bǔ)互補(bǔ)有一個公共點(diǎn)有一個公共點(diǎn)有且只有有且只有平行平行= =l且且AAlacacBOBO4.4.異面直線所成的角異面直線所成的角(1)(1)定義定義: :過空間任意一點(diǎn)過空間任意一點(diǎn)P P分別引兩條異面直

5、線分別引兩條異面直線a,ba,b的平行線的平行線l1 1, ,l2 2, ,這兩條相交直線所成的這兩條相交直線所成的_就是異面直線就是異面直線a,ba,b所成的角所成的角. .如果兩條異面直線所成的角是如果兩條異面直線所成的角是_,_,則稱這兩條直線互相垂直則稱這兩條直線互相垂直. .(2)(2)范圍范圍:_.:_.銳角銳角( (或直角或直角) )直角直角(0,2判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請?jiān)诶ㄌ栔写蛘堅(jiān)诶ㄌ栔写颉啊被蚧颉啊?.”).(1)(1)如果兩個不重合的平面如果兩個不重合的平面,有一條公共直線有一條公共直線a,a,就說平面就說平面,相交相交, ,并記作并記作=a.(

6、=a.() )(2)(2)兩個平面兩個平面,有一個公共點(diǎn)有一個公共點(diǎn)A,A,就說就說,相交于過相交于過A A點(diǎn)的任點(diǎn)的任意一條直線意一條直線.(.() )(3)(3)兩個平面兩個平面,有一個公共點(diǎn)有一個公共點(diǎn)A,A,就說就說,相交于相交于A A點(diǎn)點(diǎn), ,并記并記作作=A.(=A.() )(4)(4)兩個平面兩個平面ABCABC與與DBCDBC相交于線段相交于線段BC.(BC.() )(5)(5)如果兩個平面有三個公共點(diǎn)如果兩個平面有三個公共點(diǎn), ,則這兩個平面重合則這兩個平面重合.(.() ) 【解析【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)公理根據(jù)平面的性質(zhì)公理3 3可知可知(1)(1)對對; ;對于對于(2)

7、,(2),其錯誤在其錯誤在于于“任意任意”二字上二字上; ;對于對于(3),(3),錯誤在于錯誤在于=A=A上上; ;對于對于(4),(4),應(yīng)應(yīng)為平面為平面ABCABC和平面和平面DBCDBC相交于直線相交于直線BC;BC;命題命題(5)(5)中沒有說清三個點(diǎn)中沒有說清三個點(diǎn)是否共線是否共線,(5),(5)不正確不正確. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)1.1.有以下命題有以下命題: :若平面若平面與平面與平面相交相交, ,則它們只有有限個公共點(diǎn)則它們只有有限個公共點(diǎn); ;經(jīng)過一經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)條直線和這條直線外的一點(diǎn), ,有且只有一

8、個平面有且只有一個平面; ;經(jīng)過兩條相經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面交直線有且只有一個平面; ;兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個平面定一個平面. .其中其中, ,真命題的個數(shù)是真命題的個數(shù)是( () )(A)4(A)4 (B)3 (C)2 (B)3 (C)2 (D)1 (D)1【解析【解析】選選B.B.若平面若平面與平面與平面相交相交, ,則它們有無數(shù)個公共點(diǎn)則它們有無數(shù)個公共點(diǎn), ,結(jié)合公理可知結(jié)合公理可知均正確均正確. .2.2.若三條不同的直線若三條不同的直線a,b,ca,b,c滿足滿足ab,a,cab,a,c異面異面, ,則則b b與與c(c() )(A

9、)(A)一定是異面直線一定是異面直線 (B)(B)一定是相交直線一定是相交直線(C)(C)不可能是平行直線不可能是平行直線 (D)(D)不可能是相交直線不可能是相交直線【解析【解析】選選C.ab,a,cC.ab,a,c異面異面, ,bb與與c c相交或異面相交或異面. .3.3.下列命題下列命題: :兩條直線都和同一個平面平行兩條直線都和同一個平面平行, ,則這兩條直線平行則這兩條直線平行; ;兩條直線不異面兩條直線不異面, ,則這兩條直線相交則這兩條直線相交; ;分別在兩個平面內(nèi)的直線是異面直線分別在兩個平面內(nèi)的直線是異面直線; ;一條直線和一個平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn)一條直線和一個平面內(nèi)

10、無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn), ,則這條直線則這條直線和這個平面平行和這個平面平行. .其中正確命題的個數(shù)為其中正確命題的個數(shù)為( () )(A)0(A)0(B)1(B)1(C)2(C)2(D)3(D)3【解析【解析】選選A.A.兩條直線都和同一個平面平行兩條直線都和同一個平面平行, ,則這兩條直線平則這兩條直線平行、相交或異面行、相交或異面, ,故故錯誤錯誤; ;兩條直線不異面兩條直線不異面, ,則相交或平行則相交或平行, ,故故錯誤錯誤; ;不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線, ,故故錯錯誤誤; ;一條直線和一個平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn)一條直線和一個

11、平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn), ,則這條直線則這條直線和這個平面平行、相交或直線在平面內(nèi)和這個平面平行、相交或直線在平面內(nèi), ,故故錯誤錯誤. .4.4.l1 1, ,l2 2, ,l3 3是空間三條不同的直線是空間三條不同的直線, ,則下列命題正確的是則下列命題正確的是( () )(A)(A)l1 1l2 2, ,l2 2l3 3l1 1l3 3(B)(B)l1 1l2 2, ,l2 2l3 3l1 1l3 3(C)(C)l1 1l2 2, ,l2 2l3 3l1 1, ,l2 2, ,l3 3共面共面(D)(D)l1 1, ,l2 2, ,l3 3共點(diǎn)共點(diǎn)l1 1, ,l2 2, ,l3 3

12、共面共面【解析【解析】選選B.B.對于對于A:A:空間中垂直于同一條直線的兩條直線不一空間中垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行定平行, ,如圖如圖, ,l1 1, ,l3 3可以相交或異面可以相交或異面, ,故命題錯誤故命題錯誤. .對于對于B:B:由異面直線所成的角由異面直線所成的角可知可知,l2 2l3 3, ,則則l1 1與與l3 3所成的角與所成的角與l1 1與與l2 2所成的角相等所成的角相等, ,故故l1 1l3 3, ,故命題正確故命題正確. .對于對于C:C:空間中三條互相平行的直線不一定共面空間中三條互相平行的直線不一定共面, ,如如三棱柱的三條側(cè)棱不共面三棱柱的三條側(cè)棱不

13、共面, ,故命題錯誤故命題錯誤. .對于對于D:D:空間中共點(diǎn)的三空間中共點(diǎn)的三條直線不一定共面條直線不一定共面, ,如三棱錐中共頂點(diǎn)的三條棱所在直線不共如三棱錐中共頂點(diǎn)的三條棱所在直線不共面面. .5.5.下列命題中不正確的是下列命題中不正確的是( (填序號填序號).).沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線; ;分別和兩條異面直線分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面都相交的兩直線異面; ;一條直線和兩條異面直線中的一條平一條直線和兩條異面直線中的一條平行行, ,則它和另一條直線不可能平行則它和另一條直線不可能平行; ;一條直線和兩條異面直線一條直線和兩條異面直線都相交

14、都相交, ,則它們可以確定兩個平面則它們可以確定兩個平面. .【解析【解析】沒有公共點(diǎn)的兩直線平行或異面沒有公共點(diǎn)的兩直線平行或異面, ,故故錯錯; ;命題命題錯錯, ,此時兩直線有可能相交此時兩直線有可能相交; ;命題命題正確正確, ,因?yàn)槿糁本€因?yàn)槿糁本€a a和和b b異異面面,ca,ca, ,則則c c與與b b不可能平行不可能平行, ,用反證法證明如下用反證法證明如下: :若若cbcb, ,又又caca, ,則則abab, ,這與這與a,ba,b異面矛盾異面矛盾, ,故故c c與與b b不可能平行不可能平行; ;命題命題也也正確正確, ,若若c c與兩異面直線與兩異面直線a,ba,b都

15、相交都相交, ,由公理由公理3 3可知可知,a,c,a,c可確定一可確定一個平面?zhèn)€平面,b,c,b,c也可確定一個平面也可確定一個平面, ,這樣這樣a,b,ca,b,c共確定兩個平面共確定兩個平面. .答案答案: :考向考向 1 1 平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用【典例【典例1 1】(1)(1)給出以下命題給出以下命題: :不共面的四點(diǎn)中不共面的四點(diǎn)中, ,其中任意三點(diǎn)不共線其中任意三點(diǎn)不共線; ;若點(diǎn)若點(diǎn)A,B,C,DA,B,C,D共面共面, ,點(diǎn)點(diǎn)A,B,C,EA,B,C,E共面共面, ,則點(diǎn)則點(diǎn)A,B,C,D,EA,B,C,D,E共面共面; ;若直線若直線a,ba,b共面共

16、面, ,直線直線a,ca,c共面共面, ,則直線則直線b,cb,c共面共面; ;依次首尾相接的四條線段必共面依次首尾相接的四條線段必共面. .正確命題的個數(shù)是正確命題的個數(shù)是( () )(A)0(A)0(B)1(B)1(C)2(C)2(D)3(D)3(2)(2)如圖如圖, ,平面平面ABEFABEF平面平面ABCD,ABCD,四邊形四邊形ABEFABEF與與ABCDABCD都是直角都是直角梯形梯形,BAD=FAB=90,BAD=FAB=90,BCAD,BCAD且且BC= AD,BEAFBC= AD,BEAF且且BE=BE= AF,G,H AF,G,H分別為分別為FA,FDFA,FD的中點(diǎn)的中點(diǎn)

17、. .證明證明: :四邊形四邊形BCHGBCHG是平行四邊形是平行四邊形. .C,D,F,EC,D,F,E四點(diǎn)是否共面四點(diǎn)是否共面? ?為什么為什么? ?1212【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)根據(jù)相應(yīng)的公理及推論進(jìn)行判斷根據(jù)相應(yīng)的公理及推論進(jìn)行判斷. .(2)(2)證明證明BC,GHBC,GH平行且相等即可平行且相等即可; ;證明證明EFCH,EFCH,由此構(gòu)成平面由此構(gòu)成平面, ,再證點(diǎn)再證點(diǎn)D D在該平面上在該平面上. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.假設(shè)其中有三點(diǎn)共線假設(shè)其中有三點(diǎn)共線, ,則該直線和直線則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個平面外的另一點(diǎn)確定一個平面. .

18、這與四點(diǎn)不共面矛盾這與四點(diǎn)不共面矛盾, ,故其中任意三故其中任意三點(diǎn)不共線點(diǎn)不共線, ,所以所以正確正確. .從條件看出兩平面有三個公共點(diǎn)從條件看出兩平面有三個公共點(diǎn)A,B,C,A,B,C,但是若但是若A,B,CA,B,C共線共線, ,則結(jié)論不正確則結(jié)論不正確. .對于對于,b,b與與c c可能異可能異面面, ,不正確不正確. .不正確不正確, ,因?yàn)榇藭r所得的四邊形的四條邊可以因?yàn)榇藭r所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上不在一個平面上, ,如空間四邊形如空間四邊形. .(2)(2)由題設(shè)知由題設(shè)知,FG=GA,FH=HD,FG=GA,FH=HD,所以所以GHADGHAD且且GH= AD.G

19、H= AD.又又BCADBCAD且且BC= AD,BC= AD,故故GHBCGHBC且且GH=BC,GH=BC,所以四邊形所以四邊形BCHGBCHG是平行四邊形是平行四邊形. .1212C,D,F,EC,D,F,E四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. .理由如下理由如下: :由由BEAFBEAF且且BE= AF,GBE= AF,G是是FAFA的中點(diǎn)知的中點(diǎn)知, ,BEGFBEGF且且BE=GF,BE=GF,所以四邊形所以四邊形EFGBEFGB是平行四邊形是平行四邊形, ,所以所以EFBG.EFBG.由由知知BGCH,BGCH,所以所以EFCH,EFCH,故故EC,FHEC,FH共面共面. .又點(diǎn)又點(diǎn)D D在直線

20、在直線FHFH上上, ,所以所以C,D,F,EC,D,F,E四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. .12【互動探究【互動探究】本例第本例第(2)(2)題的條件不變題的條件不變, ,如何證明如何證明“FE,AB,DCFE,AB,DC交交于一點(diǎn)于一點(diǎn)”? ?【證明【證明】由例題可知由例題可知, ,四邊形四邊形EBGFEBGF和四邊形和四邊形BCHGBCHG都是平行四邊都是平行四邊形形, ,故可得四邊形故可得四邊形ECHFECHF為平行四邊形為平行四邊形, ,ECHF,ECHF,且且EC= DF,EC= DF,四邊形四邊形ECDFECDF為梯形為梯形, ,FE,DCFE,DC交于一點(diǎn)交于一點(diǎn), ,設(shè)設(shè)FEDC=M.F

21、EDC=M.MFE,FE MFE,FE 平面平面BAFE,MBAFE,M平面平面BAFE.BAFE.同理同理MM平面平面BADC.BADC.又平面又平面BAFEBAFE平面平面BADC=BA,BADC=BA,MBA,FE,AB,DCMBA,FE,AB,DC交于一點(diǎn)交于一點(diǎn). .12【拓展提升【拓展提升】1.1.證明三點(diǎn)共線的兩種方法證明三點(diǎn)共線的兩種方法(1)(1)首先找出兩個平面首先找出兩個平面, ,然后證明這三點(diǎn)都是這兩個平面的公共然后證明這三點(diǎn)都是這兩個平面的公共點(diǎn)點(diǎn), ,于是可得這三點(diǎn)都在交線上于是可得這三點(diǎn)都在交線上, ,即三點(diǎn)共線即三點(diǎn)共線. .(2)(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線

22、選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線, ,然后證明另一點(diǎn)也在這條直線然后證明另一點(diǎn)也在這條直線上上, ,從而得三點(diǎn)共線從而得三點(diǎn)共線. .2.2.證明三線共點(diǎn)的思路證明三線共點(diǎn)的思路先證兩條直線交于一點(diǎn)先證兩條直線交于一點(diǎn), ,再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn), ,把問題化把問題化歸到證明點(diǎn)在直線上的問題歸到證明點(diǎn)在直線上的問題. .通常是先證兩條直線的交點(diǎn)在兩通常是先證兩條直線的交點(diǎn)在兩個平面的交線上而第三條直線恰好是兩個平面的交線個平面的交線上而第三條直線恰好是兩個平面的交線. .【變式備選【變式備選】如圖如圖, ,在正方體在正方體ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1

23、 1D D1 1中中,E,E是是ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn),F,F是是A A1 1A A的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,求證求證: :(1)E,C,D(1)E,C,D1 1,F,F四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. .(2)CE,D(2)CE,D1 1F,DAF,DA三線共點(diǎn)三線共點(diǎn). .【證明【證明】(1)(1)如圖如圖, ,連接連接A A1 1B,CDB,CD1 1. .因?yàn)橐驗(yàn)镋 E是是ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn),F,F是是A A1 1A A的中的中點(diǎn)點(diǎn), ,則則EFAEFA1 1B.B.又在正方體又在正方體ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,A,A1 1BDBD1 1C,C,所以所以EF

24、DEFD1 1C,C,故故E,C,DE,C,D1 1,F,F四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. .(2)(2)由由(1)(1)知知,EFD,EFD1 1C C且且EF= DEF= D1 1C,C,故四邊形故四邊形ECDECD1 1F F是梯形是梯形, ,兩腰兩腰CE,DCE,D1 1F F相交相交, ,設(shè)其交點(diǎn)為設(shè)其交點(diǎn)為P,P,則則PCE.PCE.又又CECE平面平面ABCD,ABCD,所以所以PP平面平面ABCD.ABCD.同理同理,P,P平面平面ADDADD1 1A A1 1. .又平面又平面ABCDABCD平面平面ADDADD1 1A A1 1=AD,=AD,所以所以PAD,PAD,所以所以CE,DC

25、E,D1 1F,DAF,DA三線共點(diǎn)三線共點(diǎn). .12考向考向 2 2 空間中兩直線的位置關(guān)系空間中兩直線的位置關(guān)系【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013南昌模擬南昌模擬) )在空間中有不共線的三條線段在空間中有不共線的三條線段AB,BCAB,BC和和CD,CD,且且ABC=BCD,ABC=BCD,那么直線那么直線ABAB與與CDCD的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是( () )(A)ABCD(A)ABCD(B)AB(B)AB與與CDCD異面異面(C)AB(C)AB與與CDCD相交相交(D)ABCD(D)ABCD或或ABAB與與CDCD異面或異面或ABAB與與CDCD相交相交(2)(2)如

26、圖所示如圖所示, ,正方體正方體ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分別是分別是A A1 1B B1 1,B,B1 1C C1 1的中的中點(diǎn)點(diǎn). .問問: :AMAM和和CNCN是否是異面直線是否是異面直線? ?說明理由說明理由. .D D1 1B B和和CCCC1 1是否是異面直線是否是異面直線? ?說明理由說明理由. . 【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)可分線段可分線段AB,BC,CDAB,BC,CD共面和不共面兩種情況討共面和不共面兩種情況討論論. .(2)(2)由于由于MNAC,MNAC,因此因此M,N,A,CM,N,A,C四點(diǎn)共

27、面四點(diǎn)共面, ,故故AMAM與與CNCN不異面不異面. .由圖易判斷由圖易判斷D D1 1B B和和CCCC1 1是異面直線是異面直線, ,可用反證法證明可用反證法證明. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.D.若三條線段共面若三條線段共面, ,則直線則直線ABAB與與CDCD相交或平相交或平行行; ;若三條線段不共面若三條線段不共面, ,則直線則直線ABAB與與CDCD是異面直線是異面直線, ,故選故選D.D.(2)(2)不是異面直線不是異面直線. .理由理由: :連接連接MN,AMN,A1 1C C1 1,AC.,AC.M,NM,N分別是分別是A A1 1B B1 1,B,B1 1

28、C C1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,MNAMNA1 1C C1 1. .又又A A1 1A CA C1 1C,C,AA1 1ACCACC1 1為平行四邊形為平行四邊形, ,AA1 1C C1 1AC,MNAC,AC,MNAC,A,M,N,CA,M,N,C在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi), ,故故AMAM和和CNCN不是異面直線不是異面直線. .是異面直線是異面直線. .理由理由:ABCD -A:ABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方體是正方體, ,B,C,CB,C,C1 1,D,D1 1不共面不共面. .假設(shè)假設(shè)D D1 1B B與與CCCC1 1不是異面直線不是異面直線, ,則存在

29、平面則存在平面,使使D D1 1B B平面平面,CC,CC1 1平面平面,DD1 1,B,C,C,B,C,C1 1,這與這與B,C,CB,C,C1 1,D,D1 1不共面矛盾不共面矛盾. .假設(shè)不成立假設(shè)不成立, ,即即D D1 1B B和和CCCC1 1是異面直線是異面直線. .【拓展提升【拓展提升】判定空間直線位置關(guān)系的三種類型及方法判定空間直線位置關(guān)系的三種類型及方法(1)(1)異面直線異面直線: :可采用直接法或反證法可采用直接法或反證法. .(2)(2)平行直線平行直線: :可利用三角形可利用三角形( (梯形梯形) )中位線的性質(zhì)、公理中位線的性質(zhì)、公理4 4及線及線面平行與面面平行

30、的性質(zhì)定理面平行與面面平行的性質(zhì)定理. .(3)(3)垂直關(guān)系垂直關(guān)系: :往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決. .【提醒【提醒】在空間兩直線的三種位置關(guān)系中在空間兩直線的三種位置關(guān)系中, ,驗(yàn)證異面直線及其驗(yàn)證異面直線及其所成角是考查的熱點(diǎn)所成角是考查的熱點(diǎn). .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】設(shè)設(shè)A,B,C,DA,B,C,D是空間四個不同的點(diǎn)是空間四個不同的點(diǎn), ,在下列命題中在下列命題中, ,不正確的是不正確的是( (填序號填序號).).若若ACAC與與BDBD共面共面, ,則則ADAD與與BCBC共面共面; ;若若ACAC與與BDBD是異面直線是異面直線, ,則則ADAD與

31、與BCBC是異面直線是異面直線; ;若若AB=AC,DB=DC,AB=AC,DB=DC,則則AD=BC;AD=BC;若若AB=AC,DB=DC,AB=AC,DB=DC,則則ADBC.ADBC.【解析【解析】對于對于, ,由于點(diǎn)由于點(diǎn)A,B,C,DA,B,C,D共面共面, ,顯然結(jié)論正確顯然結(jié)論正確. .對于對于, ,假設(shè)假設(shè)ADAD與與BCBC共面共面, ,由由正確得正確得ACAC與與BDBD共面共面, ,這與題設(shè)矛盾這與題設(shè)矛盾, ,故假設(shè)不成立故假設(shè)不成立, ,從而結(jié)論正確從而結(jié)論正確. .對于對于, ,如圖如圖, ,當(dāng)當(dāng)AB=AC,DB=DC,AB=AC,DB=DC,使二面角使二面角A

32、-BC-DA -BC-D的大小變化時的大小變化時,AD,AD與與BCBC不一定相等不一定相等, ,故不正確故不正確. .對于對于, ,如圖如圖, ,取取BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn)E,E,連接連接AE,DE,AE,DE,則由題設(shè)得則由題設(shè)得BCAE,BCDE.BCAE,BCDE.根據(jù)線面垂直的判定定理得根據(jù)線面垂直的判定定理得BCBC平面平面ADE,ADE,從而從而ADBC.ADBC.答案答案: :考向考向 3 3 異面直線所成的角異面直線所成的角【典例【典例3 3】正方體正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,(1)(1)求求ACAC與與A A1 1D D所

33、成角的大小所成角的大小. .(2)(2)若若E,FE,F分別為分別為AB,ADAB,AD的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,求求A A1 1C C1 1與與EFEF所成角的大小所成角的大小. .【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)平移平移A A1 1D D到到B B1 1C,C,找出找出ACAC與與A A1 1D D所成的角所成的角, ,再計算再計算. .(2)(2)可將可將A A1 1C C1 1平移到平移到AC,AC,將將EFEF平移到平移到BDBD再求解再求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)如圖所示如圖所示, ,連接連接ABAB1 1,B,B1 1C,C,由由ABCD -AABCD -A1 1B B

34、1 1C C1 1D D1 1是正是正方體方體, ,易知易知A A1 1DBDB1 1C,C,從而從而B B1 1C C與與ACAC所成的銳角或直角就是所成的銳角或直角就是ACAC與與A A1 1D D所成的角所成的角. .ABAB1 1=AC=B=AC=B1 1C,C,BB1 1CA=60CA=60, ,即即ACAC與與A A1 1D D所成的角為所成的角為6060. .(2)(2)如圖所示如圖所示, ,連接連接AC,BD,AC,BD,在正方體在正方體ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,ACBD,ACA,ACBD,ACA1 1C C1 1, ,E,FE

35、,F分別為分別為AB,ADAB,AD的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,EFBD,EFBD,EFAC,EFAC,EFAEFA1 1C C1 1, ,即即A A1 1C C1 1與與EFEF所成的角為所成的角為9090. .【拓展提升【拓展提升】1.1.找異面直線所成的角的三種方法找異面直線所成的角的三種方法(1)(1)利用圖中已有的平行線平移利用圖中已有的平行線平移. .(2)(2)利用特殊點(diǎn)利用特殊點(diǎn)( (線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)) )作平行線平移作平行線平移. .(3)(3)補(bǔ)形平移補(bǔ)形平移. .2.2.求異面直線所成角的三個步驟求異面直線所成角的三個步驟(1)(1)作作: :通過作平行線通過作平行

36、線, ,得到相交直線得到相交直線. .(2)(2)證證: :證明相交直線所成的角或其補(bǔ)角為異面直線所成的角證明相交直線所成的角或其補(bǔ)角為異面直線所成的角. .(3)(3)算算: :通過解三角形通過解三角形, ,求出該角求出該角. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】在三棱錐在三棱錐S-ACBS-ACB中，中，SAB=SAC=ACB=90SAB=SAC=ACB=90，AC=2AC=2，BC= SB= BC= SB= 則則SCSC與與ABAB所成角的余弦值為所成角的余弦值為_._.【解析【解析】如圖如圖, ,取取BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn)E,E,分別在平面分別在平面ABCABC內(nèi)作內(nèi)作DEAB,DEAB,在平在平面

37、面SBCSBC內(nèi)作內(nèi)作EFSC,EFSC,則異面直線則異面直線SCSC與與ABAB所成的角為所成的角為FED(FED(或其補(bǔ)或其補(bǔ)角角),),過過F F作作FGAB,FGAB,連接連接DG,DF,DG,DF,則則DFGDFG為直角三角形為直角三角形. .由題知由題知AC=2AC=2，BC= SB= BC= SB= 可得可得DE= DE= EF=2EF=2，DF= DF= 在在DEFDEF中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得答案：答案：13，2913，172，52，222DEEFDF17cos DEF.2DE EF17171729,【滿分指導(dǎo)【滿分指導(dǎo)】求異面直線所成角主觀題的規(guī)范解答求異面直線

38、所成角主觀題的規(guī)范解答 【典例【典例】(12(12分分)(2012)(2012上海高考上海高考) )如圖如圖, ,在四棱錐在四棱錐P -ABCDP -ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是矩形是矩形,PA,PA底面底面ABCD,EABCD,E是是PCPC的中點(diǎn)的中點(diǎn). .已知已知AB=2,AB=2,AD= PA=2.AD= PA=2.求求: :(1)(1)三角形三角形PCDPCD的面積的面積. .(2)(2)異面直線異面直線BCBC與與AEAE所成的角的大小所成的角的大小. .2 2,【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】已知條件已知條件條件分析條件分析ABCDABCD是矩形是矩形可得結(jié)論可得結(jié)論CDA

39、DCDADPAPA底面底面ABCDABCD可得可得CDPD,CDPD,從而可判斷從而可判斷PDCPDC為直角三為直角三角形角形E E是是PCPC的中點(diǎn)的中點(diǎn)可作出可作出PBCPBC的中位線將的中位線將BCBC平移平移, ,并找到并找到異面直線異面直線BCBC與與AEAE所成的角所成的角【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）因?yàn)橐驗(yàn)镻APA底面底面ABCDABCD，所以，所以PACD.PACD.又又ADCDADCD，所以，所以CDCD平面平面PADPAD，從而，從而CDPD.CDPD.3 3分分因?yàn)橐驗(yàn)?CD=2CD=2，所以三角形所以三角形PCDPCD的面積為的面積為 6 6分分22PD22 22

40、3（），12 2 32 3.2 （2 2）?。┤BPB的中點(diǎn)的中點(diǎn)F F，連接，連接EFEF，AFAF，則，則EFBCEFBC，從而，從而AEFAEF（或（或其補(bǔ)角）是異面直線其補(bǔ)角）是異面直線BCBC與與AEAE所成的角所成的角. .8 8分分在在AEFAEF中，由中，由EF= AF= AE=2EF= AF= AE=2知知AEFAEF是等腰直角三角是等腰直角三角形，所以形，所以AEF=AEF=因此，異面直線因此，異面直線BCBC與與AEAE所成的角的大小是所成的角的大小是 1212分分.44，2，2，【失分警示【失分警示】( (下文下文見規(guī)范解答過程見規(guī)范解答過程) )1.(20131.(

41、2013池州模擬池州模擬) )如圖是某個正方體的側(cè)面展開圖如圖是某個正方體的側(cè)面展開圖, ,l1 1, ,l2 2是是兩條側(cè)面對角線兩條側(cè)面對角線, ,則在正方體中則在正方體中, ,l1 1與與l2 2( () )(A)(A)互相平行互相平行(B)(B)異面且互相垂直異面且互相垂直(C)(C)異面且夾角為異面且夾角為(D)(D)相交且夾角為相交且夾角為33【解析【解析】選選D D.將側(cè)面展開圖還原成正方體如圖所示將側(cè)面展開圖還原成正方體如圖所示,則則B,CB,C兩點(diǎn)重合兩點(diǎn)重合,故故l1 1與與l2 2相交相交.連接連接AD,AD,ABDABD為為正三角形正三角形,所以所以l1 1與與l2 2

42、的夾角為的夾角為 故選故選D D.32.(20132.(2013西安模擬西安模擬) )如圖是正方體或四面體如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S,P,Q,R,S分別是所分別是所在棱的中點(diǎn)在棱的中點(diǎn), ,這四個點(diǎn)不共面的一個圖是這四個點(diǎn)不共面的一個圖是( () )【解析【解析】選選D.D.在在A A圖中分別連接圖中分別連接PS,QR,PS,QR,易證易證PSQR,PSQR,P,S,R,QP,S,R,Q共面共面. .在在B B圖中過圖中過P,Q,R,SP,Q,R,S可作一正六邊形可作一正六邊形, ,如圖如圖, ,故故P,Q,R,SP,Q,R,S四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. .在在C C圖中分別連接圖中分別連接

43、PQ,RS,PQ,RS,易證易證PQRS,P,Q,R,SPQRS,P,Q,R,S共面共面. .D D圖中圖中PSPS與與RQRQ為異面直線為異面直線, ,P,Q,R,SP,Q,R,S四點(diǎn)不共面四點(diǎn)不共面, ,故選故選D.D.3.(20123.(2012浙江高考浙江高考) )已知矩形已知矩形ABCD,AB=1,BC= ABCD,AB=1,BC= 將將ABDABD沿矩沿矩形的對角線形的對角線BDBD所在的直線進(jìn)行翻折所在的直線進(jìn)行翻折, ,在翻折過程中在翻折過程中( () )(A)(A)存在某個位置存在某個位置, ,使得直線使得直線ACAC與直線與直線BDBD垂直垂直(B)(B)存在某個位置存在某

44、個位置, ,使得直線使得直線ABAB與直線與直線CDCD垂直垂直(C)(C)存在某個位置存在某個位置, ,使得直線使得直線ADAD與直線與直線BCBC垂直垂直(D)(D)對任意位置對任意位置, ,三對直線三對直線“ACAC與與BD”“ABBD”“AB與與CD”“ADCD”“AD與與BC”BC”均均不垂直不垂直2.【解析【解析】選選B.B.找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量. .對于選項(xiàng)對于選項(xiàng)A,A,過點(diǎn)過點(diǎn)A A作作AEBD,AEBD,垂足為垂足為E,E,過點(diǎn)過點(diǎn)C C作作CFBD,CFBD,垂足為垂足為F,F,在圖在圖(1)(1)中中, ,由邊由邊

45、AB,BCAB,BC不相等可知點(diǎn)不相等可知點(diǎn)E,FE,F不重合不重合. .在圖在圖(2)(2)中中, ,連連接接CE,CE,若直線若直線ACAC與直線與直線BDBD垂直垂直, ,又又ACAE=A,BDACAE=A,BD平面平面ACE,ACE,BDCE,BDCE,與點(diǎn)與點(diǎn)E,FE,F不重合相矛盾不重合相矛盾, ,故故A A錯誤錯誤. .對于選項(xiàng)對于選項(xiàng)B,B,若若ABCD,ABCD,又又ABAD,ADCD=D,ABABAD,ADCD=D,AB平面平面ADC,ABAC,ADC,ABAC,由由ABBCABAB,BC= AB=1,BCAB,不存在這樣的直角三角不存在這樣的直角三角形形.C.C錯誤錯誤.

46、 .由上可知由上可知D D錯誤錯誤, ,故選故選B.B.2,4.(20134.(2013寶雞模擬寶雞模擬) )給出命題給出命題: :異面直線是指空間既不平行又不相交的直線異面直線是指空間既不平行又不相交的直線; ;兩異面直線兩異面直線a,ba,b, ,如果如果a a平行于平面平行于平面,那么那么b b不平行于平面不平行于平面;兩異面直線兩異面直線a,ba,b, ,如果如果aa平面平面,那么那么b b不垂直于平面不垂直于平面;兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線. .上述命題中上述命題中, ,真命題的序號是真命題的序號是. .【解析【解

47、析】易知易知正確正確; ;兩條異面直線可以平行于同一個平兩條異面直線可以平行于同一個平面面; ;若若bb, ,則則abab, ,這與這與a,ba,b為異面直線矛盾為異面直線矛盾; ;兩條異面直兩條異面直線在同一個面內(nèi)的射影可以是線在同一個面內(nèi)的射影可以是: :兩條平行直線、兩條相交直線、兩條平行直線、兩條相交直線、一點(diǎn)一直線一點(diǎn)一直線. .答案答案: :5.(20135.(2013合肥模擬合肥模擬) )對于空間三條直線對于空間三條直線, ,有下列四個條件有下列四個條件: :三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)三條直線兩兩相交且不共點(diǎn); ;三條直線兩兩平行三條直線兩兩平行; ;三條直線共點(diǎn)三條直線共點(diǎn); ;

48、有兩條直線平行有兩條直線平行, ,第三條直線和這兩條直線都相交第三條直線和這兩條直線都相交. .其中其中, ,使三條直線共面的充分條件有使三條直線共面的充分條件有. .【解析【解析】中兩相交直線確定一個平面中兩相交直線確定一個平面, ,則第三條直線在這個則第三條直線在這個平面內(nèi)平面內(nèi); ;中可能有一條直線和另外兩條直線確定的平面平中可能有一條直線和另外兩條直線確定的平面平行行; ;中直線最多可確定中直線最多可確定3 3個平面?zhèn)€平面; ;同同. .答案答案: :1.1.如圖如圖,M,M是正方體是正方體ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱DDDD1 1的中

49、點(diǎn)的中點(diǎn), ,給出下列給出下列命題命題: :過過M M點(diǎn)有且只有一條直線與直線點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,BAB,B1 1C C1 1都相交都相交; ;過過M M點(diǎn)有且只有一條直線與直線點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,BAB,B1 1C C1 1都垂直都垂直; ;過過M M點(diǎn)有且只有一個平面與直線點(diǎn)有且只有一個平面與直線AB,BAB,B1 1C C1 1都相交都相交; ;過過M M點(diǎn)有且只有一個平面與直線點(diǎn)有且只有一個平面與直線AB,BAB,B1 1C C1 1都平行都平行. .其中真命題是其中真命題是( () )(A)(A) (B) (B)(C)(C) (D) (D)【解析【解析】選選C.C

50、.由于兩相交直線可確定一個平面由于兩相交直線可確定一個平面, ,設(shè)設(shè)l過過M M點(diǎn)點(diǎn), ,與與AB,BAB,B1 1C C1 1均相交均相交, ,則則l與與ABAB可確定平面可確定平面,l與與B B1 1C C1 1可確定平面可確定平面,又又ABAB與與B B1 1C C1 1為異面直線為異面直線, ,l為面為面與面與面的交線的交線, ,如圖所示如圖所示. .GEGE即為即為l, ,又平面又平面與平面與平面有唯一交線有唯一交線, ,故故正確正確. .由于由于DDDD1 1過點(diǎn)過點(diǎn)M,DDM,DD1 1AB,DDAB,DD1 1BB1 1C C1 1,BB,BB1 1為為AB,BAB,B1 1C

51、 C1 1的公垂的公垂線線,DD,DD1 1BBBB1 1, ,又過點(diǎn)又過點(diǎn)M M有且只有一條直線與有且只有一條直線與BBBB1 1平行平行, ,故故正確正確. .顯然顯然正確正確. .過過M M點(diǎn)有無數(shù)個平面與點(diǎn)有無數(shù)個平面與AB,BAB,B1 1C C1 1都相交都相交, ,故故錯誤錯誤. .2.2.已知正方體已知正方體ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分別為分別為BBBB1 1,CC,CC1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,那么那么異面直線異面直線AEAE與與D D1 1F F所成角的余弦值為所成角的余弦值為. .【解析【解析】設(shè)正方體的棱長為設(shè)正方體的棱長為a.a.連接連接A A1 1E,EF,E,EF,可知可知D D1 1FAFA1 1E,E,異面直線異面直線AEAE與與D D1 1F F所成的角可轉(zhuǎn)化為所成的角可轉(zhuǎn)化為AEAE與與A A1 1E E所成的角所成的角, ,在在AEAAEA1 1中中, ,答案：答案：2222212222aaa( )a( )a322cos AEA.5aa2 a( )a( )2235