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單元提升《勾股定理》測(cè)試卷一．選擇題1．以下列各組數(shù)為三角形的三邊，能構(gòu)成直角三角形的是（ ）A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，232．一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)比一條直角邊長(zhǎng)多 2cm，另一條直角邊長(zhǎng) 6cm，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為（ ）A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm3．如圖所示，一根樹在離地面 9 米處斷裂，樹的頂部落在離底部12 米處．樹折斷之前（ ）米．A．15 B．20 C．3 D．244．如圖，AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∠ACB＝90°，AB＝13，則 BC 的長(zhǎng)是（ ）A．8 B．10 C．12 D．165．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的對(duì)邊分別記為 a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是（ ）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形 B．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠C＝90° C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC 是直角三角形 D．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形6．由下列條件不能判定△ABC 為直角三角形的是（ ）A．∠A+∠C＝∠B B．a(chǎn)＝，b＝，c＝ C． （b+a） （b﹣a）＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝5：3：27．如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面 3 尺．突然一陣大風(fēng)吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為 6 尺，則水是（ ）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．58．如圖，是一扇高為 2m，寬為 1.5m 的門框，現(xiàn)有 3 塊薄木板，尺寸如下：①號(hào)木板長(zhǎng) 3m，寬 2.7m；②號(hào)木板長(zhǎng) 4m，寬 2.4m；③號(hào)木板長(zhǎng) 2.8m，寬 2.8m．可以從這扇門通過的木板是（ ）A．①號(hào) B．②號(hào) C．③號(hào) D．均不能通過9．如圖：在△ABC 中，CE 平分∠ACB，CF 平分∠ACD，且 EF∥BC 交AC 于 M，若 CM＝5，則 CE2+CF2 等于（ ）A．75 B．100 C．120 D．12510．某一實(shí)驗(yàn)裝置的截面圖如圖所示，上方裝置可看做一長(zhǎng)方形，其側(cè)面與水平線的夾角為 45°，下方是一個(gè)直徑為 70cm，高為100cm 的圓柱形容器，若使容器中的液面與上方裝置相接觸，則容器中液體的高度至少應(yīng)為（ ）A．30cm B．35cm C．35cm D．65cm二．填空題11．如圖，在四邊形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝15，DA＝5，則 BD 的長(zhǎng)為 ．12．如圖，一架長(zhǎng) 5 米的梯子 A1B1 斜靠在墻 A1C 上，B1 到墻底端C 的距離為 3 米，此時(shí)梯子的高度達(dá)不到工作要求，因此把梯子的B1 端向墻的方向移動(dòng)了 1.6 米到 B 處，此時(shí)梯子的高度達(dá)到工作要求，那么梯子的 A1 端向上移動(dòng)了 米．13．如圖，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，AC＝6，AD＝7，則點(diǎn) D 到直線 AB 的距離是 ．14．如圖，三角形 ABC 三邊的長(zhǎng)分別為AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中 m、n 都是正整數(shù)．以AB、AC、BC 為邊分別向外畫正方形，面積分別為 S1、S2、S3，那么S1、S2、S3 之間的數(shù)量關(guān)系為 ．15．如圖，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AD 是∠BAC的平分線，DE⊥AB 于點(diǎn) E，則△BED 的周長(zhǎng)為 ．16．如圖，Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，D 點(diǎn)從 A出發(fā)以每秒 1cm 的速度向 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng) D 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 AC 的中垂線上時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 秒．17．如圖，圖中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形 A，B，C，D 的邊長(zhǎng)分別是 6，8，3，4，則最大正方形 E 的面積是 ．三．解答題18．在△ABC 中，CD 是 AB 邊上的高，AC＝4，BC＝3，DB＝1.8．（1）求 CD 的長(zhǎng)；（2）求 AB 的長(zhǎng)；（3）△ABC 是直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由．19．閱讀下列一段文字：在直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)是M（x1，y1） ，N（x2，y2） ） ，M，N 兩點(diǎn)之間的距離可以用公式 MN＝計(jì)算．解答下列問題：（1）若點(diǎn) P（2，4） ，Q（﹣3，﹣8） ，求 P，Q 兩點(diǎn)間的距離；（2）若點(diǎn) A（1，2） ，B（4，﹣2） ，點(diǎn) O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷△AOB 是什么三角形，并說明理由．20．如圖，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，點(diǎn) P 在線段 AC 上以 1cm/s 的速度由點(diǎn) C 向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q 在線段 AB 上以 2cm/s 的速度由點(diǎn) A 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（s） ．（1）當(dāng) t＝1 時(shí)，判斷△APQ 的形狀，并說明理由；（2）當(dāng) t 為何值時(shí)，△APQ 與△CQP 全等？請(qǐng)寫出證明過程．21．在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊 C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中 AB＝AC，由于某種原因，由 C 到 A 的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn) H（A、H、B 在一條直線上） ，并新修一條路 CH，測(cè)得 CB＝3 千米，CH＝2.4 千米，HB＝1.8 千米．（1）問 CH 是否為從村莊 C 到河邊的最近路？（即問：CH 與 AB 是否垂直？）請(qǐng)通過計(jì)算加以說明；（2）求原來的路線 AC 的長(zhǎng)．22．如圖，已知 AD＝4，CD＝3，BC＝12，AB＝13，∠ADC＝90°，求四邊形 ABCD 的面積．23．交通安全是社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)進(jìn)行了測(cè)試汽車速度的實(shí)驗(yàn)．如圖，先在筆直的公路 1 旁選取一點(diǎn) P，在公路 1 上確定點(diǎn)O、B，使得 PO⊥l，PO＝100 米，∠PBO＝45°．這時(shí)，一輛轎車在公路 1 上由 B 向 A 勻速駛來，測(cè)得此車從 B 處行駛到 A 處所用的時(shí)間為 3 秒，并測(cè)得∠APO＝60°．此路段限速每小時(shí) 80 千米，試判斷此車是否超速？請(qǐng)說明理由（參考數(shù)據(jù)：＝1.41，＝1.73） ． 參考答案一．選擇題1．解：A、42+52≠62，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、12+12＝（）2，故是直角三角形，故此選項(xiàng)正確；C、62+82≠112，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、52+122≠232，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．2．解：設(shè)直角三角形的斜邊是 xcm，則另一條直角邊是（x﹣2）cm．根據(jù)勾股定理，得（x﹣2）2+36＝x2，解得：x＝10．則斜邊的長(zhǎng)是 10cm．故選：C．3．解：因?yàn)?AB＝9 米，AC＝12 米，根據(jù)勾股定理得 BC＝＝15 米，于是折斷前樹的高度是 15+9＝24 米．故選：D．4．解：∵AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∴AC＝＝5，∵∠ACB＝90°，AB＝13，∴BC＝＝12．故選：C．5．解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形，A 正確；如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，B 錯(cuò)誤；如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，則 x+3x+2x＝180°，解得，x＝30°，則 3x＝90°，那么△ABC 是直角三角形，C 正確；如果 a2：b2：c2＝9：16：25，則如果 a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，D 正確；故選：B．6．A、∵∠A+∠C＝∠B，∴∠B＝90°，故是直角三角形，正確；B、∵（）2+（）2≠（）2，故不能判定是直角三角形；C、∵（b+a） （b﹣a）＝c2，∴b2﹣a2＝c2，即 a2+c2＝b2，故是直角三角形，正確；D、∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，∴∠A＝×180°＝90°，故是直角三角形，正確．故選：B．7．解：紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面即 AC 為紅蓮的長(zhǎng)．設(shè)水深 h 尺，由題意得：Rt△ABC 中，AB＝h，AC＝h+3，BC＝6，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，即（h+3）2＝h2+62，解得：h＝4.5．故選：C．8．解：由題意可得：門框的對(duì)角線長(zhǎng)為：＝2.5（m） ，∵①號(hào)木板長(zhǎng) 3m，寬 2.7m，2.7＞2.5，∴①號(hào)不能從這扇門通過；∵②號(hào)木板長(zhǎng) 4m，寬 2.4m，2.4＜2.5，∴②號(hào)可以從這扇門通過；∵③號(hào)木板長(zhǎng) 2.8m，寬 2.8m，2.8＞2.5，∴③號(hào)不能從這扇門通過．故選：B．9．解：∵CE 平分∠ACB，CF 平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△EFC 為直角三角形，又∵EF∥BC，CE 平分∠ACB，CF 平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，由勾股定理可知 CE2+CF2＝EF2＝100．故選：B．10．解：如圖，∵圓桶放置的角度與水平線的夾角為 45°，∠BCA＝90°，∴依題意得△ABC 是一個(gè)斜邊為 70cm 的等腰直角三角形，∴此三角形中斜邊上的高應(yīng)該為 35cm，∴水深至少應(yīng)為 100﹣35＝65cm．故選：D．二．填空題（共 7 小題）11．解：作 DM⊥BC，交 BC 延長(zhǎng)線于 M，連接 AC，如圖所示：則∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∵CD＝15，AD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD 是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，∴△ABC∽△CMD，∴＝＝＝，∴CM＝3AB＝9，DM＝3BC＝12，∴BM＝BC+CM＝13，∴BD＝＝＝，故答案為：．12．解：在 Rt△ABO 中，根據(jù)勾股定理知，A1O＝＝4（m） ，在 Rt△ABO 中，由題意可得：BO＝1.4（m） ，根據(jù)勾股定理知，AO＝＝4.8（m） ，所以 AA1＝AO﹣A1O＝0.8（米） ．故答案為：0.8．13．解：作 DE⊥AB 于 E，∵∠C＝90°，AC＝6，AD＝7，∴CD＝＝，∵AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝．故答案為：．14．解：∵AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC 是直角三角形，設(shè) Rt△ABC 的三邊分別為 a、b、c，∴S1＝c2，S2＝b2，S3＝a2，∵△ABC 是直角三角形，∴b2+c2＝a2，即 S1+S2＝S3．故答案為：S1+S2＝S3．15．解：∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴由勾股定理可得，Rt△ABC 中，AC＝6，∵AD 是∠BAC 的平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC（AAS） ，∴CD＝ED，AE＝AC＝6，又∵AB＝10，∴BE＝4，∴△BED 的周長(zhǎng)＝BD+CD+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝8+4＝12，故答案為：12．16．解：如圖所示：∵Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴AC＝，∵ED'是 AC 的中垂線，∴CE＝5，連接 CD'，∴CD'＝AD'，在 Rt△BCD'中，CD'2＝BD'2+BC2，即 AD'2＝62+（8﹣AD'）2，解得：AD'＝，∴當(dāng) D 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 AC 的中垂線上時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，故答案為：17．解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知SE＝SF+SG＝SA+SB+SC+SD＝62+82+32+42＝125；故答案為：125．三．解答題（共 6 小題）18．解：（1）∵CD 是 AB 邊上的高，∴△BDC 是直角三角形，∴CD＝；（2）同（1）可知△ADC 也是直角三角形，∴AD＝，∴AB＝AD+BD＝3.2+1.8＝5；（3）△ABC 是直角三角形，理由如下：又∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC 是直角三角形．19．解：（1）P，Q 兩點(diǎn)間的距離＝＝13；（2）△AOB 是直角三角形，理由如下：AO2＝（1﹣0）2+（2﹣0）2＝5，BO2＝（4﹣0）2+（﹣2﹣0）2＝20，AB2＝（4﹣1）2+（﹣2﹣2）2＝25，則 AO2+BO2＝AB2，∴△AOB 是直角三角形．20．解：（1）△APQ 是等邊三角形，理由是：∵t＝1，∴AP＝3﹣1×1＝2，AQ＝2×1＝2，∴AP＝AQ，∵∠A＝60°，∴△APQ 是等邊三角形；（2）存在 t，使△APQ 和△CPQ 全等．當(dāng) t＝1.5s 時(shí)，△APQ 和△CPQ 全等．理由如下：∵在 Rt△ACB 中，AB＝6，AC＝3，∴∠B＝30°，∠A＝60°，當(dāng) t＝1.5，此時(shí) AP＝PC 時(shí)，∵t＝1.5s，∴AP＝CP＝1.5cm，∵AQ＝3cm，∴AQ＝AC．又∵∠A＝60°，∴△ACQ 是等邊三角形，∴AQ＝CQ，在△APQ 和△CPQ 中，，∴△APQ≌△CPQ（SSS） ；即存在時(shí)間 t，使△APQ 和△CPQ 全等，時(shí)間 t＝1.5；21．解：（1）是，理由是：在△CHB 中，∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9BC2＝9∴CH2+BH2＝BC2∴CH⊥AB，所以 CH 是從村莊 C 到河邊的最近路（2）設(shè) AC＝x在 Rt△ACH 中，由已知得 AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2解這個(gè)方程，得 x＝2.5，答：原來的路線 AC 的長(zhǎng)為 2.5 千米．22．解：如圖，連接 AC，∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，∴AC＝5，△ACD 的面積＝6，在△ABC 中，∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2，即△ABC 為直角三角形，且∠ACB＝90°，∴直角△ABC 的面積＝30，∴四邊形 ABCD 的面積＝30﹣6＝24．23．解：此車超速，理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，∴△POB 是等腰直角三角形，∴OB＝OP＝100 米，∵∠APO＝60°，∴OA＝OP＝100≈173 米，∴AB＝OA﹣OB＝73 米，∴≈24 米/秒≈86 千米/小時(shí)＞80 千米/小時(shí)，∴此車超速．