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1、38 第一章：函數(shù)與極限 1.1 初等函數(shù)圖象及性質(zhì) 1.1.1 冪函數(shù) 函數(shù)　（m 是常數(shù)）　叫做冪函數(shù)。冪函數(shù)的定義域，要看m 是什么數(shù)而定。例如，當(dāng)m = 3時，y=x3的定義域是(-∞ ,+∞)；當(dāng)m = 1/2時，y=x1/2的定義域是[0,+∞ )；當(dāng)m = -1/2時，y=x-1/2的定義域是(0,+∞ )。但不論m 取什么值，冪函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)總有定義。最常見的冪函數(shù)圖象如下圖所示：[如圖] 1.1.2 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1．指數(shù)函數(shù) 函數(shù)y=ax（a是常數(shù)且a>0,a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，它的定義域是區(qū)間(-∞ ,+∞)。 因為對于任何實數(shù)值x，總有ax

2、>0，又a0=1，所以指數(shù)函數(shù)的圖形，總在x軸的上方，且通過點(0,1)。 若a>1，指數(shù)函數(shù)ax是單調(diào)增加的。若00，a≠1），叫做對數(shù)函數(shù)。 它的定義域是區(qū)間(0,+∞)。對數(shù)函數(shù)的圖形與指數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于直線y = x對稱（圖1-22）。 y=logax的圖形總在y軸上方，且通過點(1,0)。 若a>1，對數(shù)函數(shù)logax是單調(diào)增加的，在開區(qū)間(0,

3、1)內(nèi)函數(shù)值為負(fù)，而在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)函數(shù)值為正。 若0

4、，我們可以選取這些函數(shù)的單值支。 例如，把Arcsinx的值限制在閉區(qū)間[-，]上，稱為反正弦函數(shù)的主值，并記作arcsinx。 這樣，函數(shù)y = arcsinx就是定義在閉區(qū)間[-1，1]上的單值函數(shù)，且有 。 1.2 ? 數(shù)列極限的概念 設(shè){}是一個數(shù)列，a是實數(shù)，如果對于任意給定的，總存在一個正整數(shù)N，當(dāng)n>N時都有，我們就稱a是數(shù)列{}的極限，或者稱數(shù)列{}收斂，且收斂于a，記為，a即為的極限。 數(shù)列極限的幾何解釋：以a為極限就是對任意給定的開區(qū)間，第N項以后的一切數(shù)全部落在這個區(qū)間內(nèi)。 1.3 函數(shù)極限的概念 設(shè)函數(shù)f(x)在點附近（但可能除掉點本身）有定義，設(shè)A為一個

5、定數(shù)，如果對任意各定，一定存在，使得當(dāng)時，總有，我們就稱A是函數(shù)f(x)在點的極限，記作,這時稱f(x)在點極限存在，這里我們不要求f(x)在點有定義，所以才有。 例如：，當(dāng)x=1時，函數(shù)是沒有定義的，但在x=1點函數(shù)的極限存在，為2。 1.4 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 單調(diào)有界數(shù)列必有極限，是判斷極限存在的重要準(zhǔn)則之一，具體敘述如下： 如果數(shù)列滿足條件，就稱數(shù)列是單調(diào)增加的；反之則稱為是單調(diào)減少的。 在前面的章節(jié)中曾證明：收斂的數(shù)列必有界。但也曾指出：有界的數(shù)列不一定收斂?，F(xiàn)在這個準(zhǔn)則表明：如果數(shù)列不僅有界，而且是單調(diào)的，則其極限必定存在。 對

6、這一準(zhǔn)則的直觀說明是，對應(yīng)與單調(diào)數(shù)列的點只可能向一個方向移動，所以只有兩種可能情形：或者無限趨近某一定點；或者沿數(shù)軸移向無窮遠(yuǎn)（因為不趨向于任何定點且遞增，已符合趨向無窮的定義）。但現(xiàn)在數(shù)列又是有界的，這就意味著移向無窮遠(yuǎn)已經(jīng)不可能，所以必有極限。 從這一準(zhǔn)則出發(fā)，我們得到一個重要的應(yīng)用?？紤]數(shù)列，易證它是單調(diào)增加且有界（小于3），故可知這個數(shù)列極限存在，通常用字母e來表示它，即　。可以證明，當(dāng)x取實數(shù)而趨于或時，函數(shù)的極限存在且都等于e，這個e是無理數(shù)，它的值是　e = 2.718281828459045… 1.5 柯西（Cauchy）極限存在準(zhǔn)則 我們發(fā)現(xiàn)，有時候收斂數(shù)列不一定是單調(diào)

7、的，因此，單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則只是數(shù)列收斂的充分條件，而不是必要的。當(dāng)然，其中有界這一條件是必要的。下面敘述的柯西極限存在準(zhǔn)則，它給出了數(shù)列收斂的充分必要條件。柯西（Cauchy）極限存在準(zhǔn)則　數(shù)列收斂的充分必要條件是： 對于任意給定的正數(shù)，存在著這樣的正整數(shù)N，使得當(dāng)m>N，n>N時，就有　。 必要性的證明　設(shè)，若任意給定正數(shù)，則也是正數(shù)，于是由數(shù)列極限的定義，存在著正整數(shù)N，當(dāng)n>N時，有；同樣，當(dāng)m>N時，也有　。 因此，當(dāng)m>N， n>N時，有 所以條件是必要的。充分性的證明從略。 這準(zhǔn)則的幾何意義表示，數(shù)列收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù)，在數(shù)軸上一切具有足夠大

8、號碼的點，任意兩點間的距離小于?？挛鳂O限存在準(zhǔn)則有時也叫做柯西審斂原理。 1.6 ? 連續(xù)函數(shù) 1.6.1 定義：若函數(shù)f(x)在x0點的附近包括x0點本身有定義，并且， 則稱f(x)在x0點連續(xù)，x0為f(x)的連續(xù)點。[如圖] 1.6.2 充要條件：f(x)在x0點既是左連續(xù)又是右連續(xù)。 初等函數(shù)如三角、反三角函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等都是在自定義區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。 1.6.3 三類不連續(xù)點： (1)第一類不連續(xù)點：f(x0+0),f(x0-0)存在但不相等。[如圖] (2)第二類不連續(xù)點：f(x0+0),f(x0-0)中至少有一個不存在。[如圖] (3)第三類不連續(xù)點：f(

9、x0+0),f(x0-0)存在且相等，但它不等于f(x0)或f(x)在x0點無定義。[如圖] 1.7 一致連續(xù)性的概念及它與連續(xù)的不同 1.7.1 定義：對，可找到只與有關(guān)而與x無關(guān)的，使得對區(qū)間內(nèi)任意兩點x1,x2，當(dāng)時總有，就稱f(x)在區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)。 1.7.2 與連續(xù)的比較： (1)連續(xù)可對一點來講，而一致連續(xù)必須以區(qū)間為對象。 (2)連續(xù)函數(shù)對于某一點x0，取決于x0和，而一致連續(xù)函數(shù)的只取決于，與x值無關(guān)。 (3)一致連續(xù)的函數(shù)必定連續(xù)。[例：函數(shù)y = 1/x，當(dāng)x∈(0,1)時非一致連續(xù)，當(dāng)x∈(C,1)時一致連續(xù)] (4)康托定理：閉區(qū)間[a , b]上的連續(xù)

10、函數(shù)f(x)一定在[a , b]上一致連續(xù)。 第二章：導(dǎo)數(shù)與微分 微分學(xué)是微積分的重要組成部分，他的基本概念是導(dǎo)數(shù)與微分，其中導(dǎo)數(shù)反映出自變量的變化快慢程度，而微分則指明當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化多少。 2.1? 導(dǎo)數(shù)的概念 2.1.1 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量x（點x0+x仍在該領(lǐng)域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比當(dāng)時的極限存在，則稱函數(shù)在處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，記為, 即,也可記作。 導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式,常見的有和 導(dǎo)數(shù)的概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述。 2.1.

11、2? 求導(dǎo)舉例 例 求函數(shù)（n為正整數(shù))在處的導(dǎo)數(shù) 解 把以上結(jié)果中的換成得,即 更一般地,對于冪函數(shù)（為常數(shù)）,有這就是冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式. 例 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 即 這就是說, 正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù).用類似的方法，可求得 就是說,余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦函數(shù)。 例 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 = 即這就是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,特殊地,當(dāng)時,因,故有 例 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 = 作代換 即得 這就是對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,特殊地,當(dāng)時,由上式得自然對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: 2.1.3? 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 由導(dǎo)數(shù)的定義可知:函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲

12、線在點處的切線斜率，即,其中是切線的傾角.如下圖： 例 求等邊雙曲線y=1/x, 在點(1/2,2)處的切線的斜率,并寫出在該點處的切線方程和法線方程。 解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道,所求切線的斜率為 由于,于是從而所求切線方程為即4x+y-4=0. 所求法線的斜率為k2-1/k1=1/4, 于是所求法線方程為2x-8y+15=0. 2.2? 微分的概念 2.2.1 微分的定義 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義,及在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量 可表示為 其中A是不依賴于的常數(shù),而是比高階的無窮小,那末稱函數(shù)在點是可微的, 而叫做函數(shù)在點相應(yīng)于自變量增量的微分,記作,即 例 求函數(shù)y

13、=x2在x=1和x=3處的微分. 解 函數(shù)在處的微分為在處的微分為 函數(shù)在任意點的微分，稱為函數(shù)的微分,記作或,即 例如, 函數(shù)的微分為 函數(shù)的微分為 通常把自變量的增量稱為自變量的微分,記作dx，即.于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作dy=f’(x)dx, 從而有x=3就是說，函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此，導(dǎo)數(shù)也叫做”微商”. 2.2.2 微分的幾何意義 設(shè)△y是曲線y=f(x)上的點的縱坐標(biāo)的增量,dy是曲線的切線上的縱坐標(biāo)的相應(yīng)的增量, 當(dāng)∣△x∣很小時, ∣△y-dy∣比∣△x∣小得多,因此在M點的鄰近,我們可以用切線段來近似代替曲線段.

14、 第三章：中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 上一章里，從分析實際問題中因變量相對于自變量的變化快慢出發(fā)，引出了導(dǎo)數(shù)的概念，并討論了導(dǎo)數(shù)的計算方法。本章中，我們將應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)以及曲線的某些性態(tài)，并利用這些知識解決一些實際問題。我們將介紹微分學(xué)的幾個中值定理，他們是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ) 3.1 三個中值定理 3.1.1 羅爾定理 羅爾定理　如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a , b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a) = f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點，使得函數(shù)f(x)在該點的導(dǎo)數(shù)等于零：。 3.1.2 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理　如果函數(shù)f(

15、x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點 ，使等式 (1)成立。 3.1.3 柯西中值定理 柯西中值定理　如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)在(a,b)內(nèi)的每一點處均不為零，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點，使等式(2)成立。 3.2? 洛必達(dá)法則 3.2.1.洛必達(dá)法則的概念. 定義:求待定型的方法(與此同時 );定理:若f(x)與g(x)在(a,a+)上有定義,且f(x)= g(x)=0; 并且f’(x)與g’(x)在(a,a+)上存在. 0 且 =A 則= =A,(A可以是).

16、證明思路: 補充定義x=a處f(x)=g(x)=0, 則[a,a+) 上== 即 x時,x,于是= 3.2.2 定理推廣:由證明過程顯然定理條件x可推廣到x, x,x。所以對于待定型, 可利用定理將分子、分母同時求導(dǎo)后再求極限。 注意事項: 1.對于同一算式的計算中,定理可以重復(fù)多次使用。2.當(dāng)算式中出現(xiàn)Sin或Cos形式時,應(yīng)慎重考慮是否符合洛必達(dá)法則條件中f’(x)與g’(x)的存在性。向其他待定型的推廣。(下轉(zhuǎn)化過程中描述引用的僅為記號.) 1. 可化為=，事實上可直接套用定理。 2. 0=0 3. -=-，通分以后= 。 4.、、取對

17、數(shù)0Ln0、Ln1、0Ln0、0、0 。 3.3 ? 泰勒公式及其誤差圖示 來源:實踐,常用導(dǎo)數(shù)進行近似運算. 由于 時所以,因此 范圍:在直接求f(x)困難,而在x附近x0處f(x0)與f’(x0)較易時應(yīng)用.條件是x與x0充分接近,可達(dá)到一定的精度. 利用當(dāng)為不同函數(shù)時.有常用近似公式如下:(|x|很小時) Sinxx,tgxx,,,,Ln(1+x)x. 泰勒公式來源:上述公式在|x|很小時,于是即,p1=f(0)+f’(0)x與f(x)在x=0處函數(shù)值相等，且一階導(dǎo)數(shù)相等.為進一步提高精度欲使與 在二階導(dǎo)數(shù)處也相等.于是,,. 得依此類推: 對于誤差,有定理: 在

18、x=0處有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則上式誤差( 在x 與0 之間) 由定理:此式為 在x=0 處的關(guān)于x 的泰勒展開公式.即: 公式推廣:一般地在x=X0附近關(guān)于X0點的泰勒公式 注意:雖然泰勒公式是在x="附近"展開,但是事實上x可以取f(x)定義域內(nèi)任意值,只不過若|x-|過大(即x離過遠(yuǎn))時,相應(yīng)變大.即使用代替f(x)的誤差變大.可是,無論如何泰勒公式總是成立的,當(dāng)固定后,不同的x將使發(fā)生變化,并使變化,從而影響對f(x)的近似精度. 3.4 函數(shù)圖形描繪示例 定理:若f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)可導(dǎo).則f(x)在[a,b]單調(diào)上升(或單調(diào)下降)的充分必

19、要條件為(a,b)內(nèi) (或), 推論:若f(x)在[a,b]連續(xù),(a,b)可導(dǎo),且不變號, 則(或<0) 嚴(yán)格單調(diào)上升(下降). 定理(極值的必要條件):若x0為f(x)的極值點,那么x0只可能是f’(x)的零點或f(x)的不可導(dǎo)點. 定理(極值判別法):則 , f()為極大值, , f()為極小值 若 不存在,但f(x) 在 與 上可導(dǎo) 則若內(nèi),內(nèi)則 為極小點,反之為極大點 定義:若曲線在一點的一邊為上凸,另一邊為下凸,則稱此點為拐點,顯然拐點處 定義:若則稱ax+b為f(x)的一條漸進線. 定義:若則稱x=c為f(x)的一條垂直漸進線. 定理:若f(x)的一

20、條漸進線為ax+b 則, 證明:由定義知即 所以即帶回定義得 函數(shù)圖象描述的基本步驟: 1.確定y=f(x)的定義域并討論函數(shù)的基本性質(zhì),如奇偶性,對稱性\周期性等. 2.求出與及與不存在的各點. 3.由2的結(jié)果函數(shù)的上升,下降區(qū)間,及圖形的上凸,下凸區(qū)間以及各極值點. 4.定出函數(shù)的漸近線. 5.描點作用. 3.5 曲率的概念及計算公式 3.5.1 概念:來源：為了平衡曲線的彎曲程度。 平均曲率，這個定義描述了AB曲線上的平均彎曲程度。其中表示曲線段AB上切線變化的角度，△s為AB弧長。 例：對于圓，。所以：圓周的曲率為1/R，是常數(shù)

21、。而直線上，所以，即直線“不彎曲”。 對于一個點，如A點，為精確刻畫此點處曲線的彎曲程度，可令，即定義，為了方便使用，一般令曲率為正數(shù)，即：。 3.5.2 計算公式的推導(dǎo)： 由于，所以要推導(dǎo)與ds的表示法，ds稱為曲線弧長的微分（T5-28，P218） 因為，所以。令，同時用代替得 所以或 具體表示； 1、時， 2、時， 3、時，（令） 再推導(dǎo)，因為，所以，兩邊對x求導(dǎo)，得，推出。 下面將與ds代入公式中：，即為曲率的計算公式。 3.5.3 曲率半徑：一般稱為曲線在某一點的曲率半徑。 幾何意義（T5-29）如圖為在該點做曲線的法線（在凹的一側(cè)），

22、在法線上取圓心，以ρ為半徑做圓，則此圓稱為該點處的曲率圓。曲率圓與該點有相同的曲率，切線及一階、兩階稻樹。 應(yīng)用舉例：求上任一點的曲率及曲率半徑（T5-30） 解：由于： 所以：， 3.6 方程的近似解法 3.6.1 應(yīng)用前提： 方程f(x)=0，則f(x)應(yīng)滿足： （1）f(x)在[a，b]連續(xù)，f(a)與f(b)不同號。 （2）在（a，b）內(nèi)連續(xù)且不變號。 （3）在（a，b）內(nèi)連續(xù)且不變號。 3.6.2 應(yīng)用步驟： 首先：判斷方程是否滿足應(yīng)用前提，先對端點a，b求f(a)、f(b)，取與fn(x)同號的一點為起點。 過起點做f(x)的切線，交

23、x軸與。然后：過（，）做的切線，交x軸與。 以次類推，直到滿足精度要求。 3.6.3 應(yīng)用舉例： 求：在[1，2]內(nèi)的根，誤差 解：令，有： 所以可應(yīng)用上述方法，求得： 由于，所以誤差范圍內(nèi)的近似解為 3.6.4 兩點說明： 1. 前提條件的作用： 第一個條件顯然是為了保證區(qū)間上解的存在性。 第二、第三個條件是為了保證各步迭代后，得到的交點仍落在區(qū)間上的 2. 迭代公式： 設(shè)第n步后的交點為，所以下一步過（，）做f(x)的切線，寫出其方程就是：，它與X軸交點為，這就是迭代公式。 第四章：不定積分 在第二章中，我們討論了怎樣求一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)問題，本章將討論他的反問題

24、，即要求一個導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，也就是求一個可導(dǎo)函數(shù)，使他的導(dǎo)函數(shù)等于已知函數(shù)。這是積分學(xué)的基本問題之一 4.1 不定積分的概念與性質(zhì) 4.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念 定義1 如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，即對任一x∈I，都有F’(x)= f(x)或dF(x)= f(x)dx， 那末函數(shù)F(x)就稱為f(x)（或f(x)dx）在區(qū)間I上的原函數(shù)。 例如，因(sin x)’=cos x,，故sin x是cos x的原函數(shù)。 那一個函數(shù)具備何種條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢？簡單的說就是，連續(xù)的函數(shù)一定有原函數(shù)。 下面還要說明兩點。 第一，如果有，那么，對任

25、意常數(shù)C，顯然也有，即如果是的原函數(shù)，那F(x)+C也是f(x)的原函數(shù)。 第二，當(dāng)C為任意常數(shù)時，表達(dá)式F(x)+C,就可以表示f(x)的任意一個原函數(shù)。也就是說，f(x)的全體原函數(shù)所組成的集合，就是函數(shù)族。由以上兩點說明，我們引入如下定義。 定義2 在區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為（或）在區(qū)間上的不定積分，記作。其中記號稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量。 由此定義及前面的說明可知，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，那么F(x)+C就是f(x)的不定積分， 即。 因而不定積分可以表示的任意一個原函數(shù)。 例 1 求. 解 由于=，

26、所以是的一個原函數(shù)。因此. 例 2 求. 解 當(dāng)時,由于=,所以是在內(nèi)的一個原函數(shù)。因此，在內(nèi)，當(dāng)時，由于==，由上同理，在內(nèi)， 將結(jié)果合并起來，可寫作 4.1.2 不定積分的性質(zhì) 根據(jù)不定積分的定義，可以推得它的如下兩個性質(zhì)： 性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和，即. 性質(zhì)2 求不定積分時,被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號外面來,即(k是常數(shù),k≠0). 例 3 求. 解 === == 注意 檢驗積分結(jié)果是否正確,只要對結(jié)果求導(dǎo),看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)，相等時結(jié)果是正確的，否是錯誤的。 4.2 兩類換元法及舉例 利用基本積分表

27、與積分的性質(zhì),所能計算的不定積分是非常有限的.因此,有必要進一步來研究不定積分的求法. 把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來求不定積分,利用中間變量的代換,得到復(fù)合函數(shù)的積分法,稱為換元積分法,簡換元法. 換元法通常分成兩類. 4.2.1 第一類換元法 定理1 設(shè)f(u)具有原函數(shù), u =φ(x)可導(dǎo), 則有換元公式 例1 求∫2cos2xdx. 解 作變換u=2x,便有∫2cos2xdx =∫cos2x·2dx =∫cos2x·(2x)' dx =∫cos u du = sin u+C, 再以u=2x代入,即得∫2cos2xdx =sin 2x+C. 例2 求∫tan x dx.

28、解 ∫tan x dx =∫sin x /cos x dx. 因為 -sin x dx = d cos x,所以如果設(shè)u=cos x,那么du=-sin xdx,即 -du=sin xdx, 因此. 類似地可得∫cot x dx =ln|sin x|+C.在對變量代換比較熟練以后,就不一定寫出中間變量u. 例3 求∫ch(x/a) dx. 解 . 例4 求 (a>0). 解 . 下面求積分的例子,它們的被積函數(shù)中含有三角函數(shù),在計算這種積分的過程中,往往要用到一些三角恒等式. 例5 求∫sin3 x dx. 解 ∫sin3x d

29、x =∫sin2x sinx dx=-∫(1-cos2x)d(cosx)=-∫d(cosx)+∫cos2xd(cosx)=-cosx+(1/3)cos3x+C. 例6 求∫cos2 x dx. 解 . 類似地可得∫sin2 x dx=x/2-(sin2x)/4+C. 利用定理1來求不定積分,一般卻比利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要來的困難,因為其中需要一定的技巧,而且如何適當(dāng)?shù)倪x擇變量代換u=φ(x)沒有一般途徑可循,因此要掌握換元法,除熟悉一些典型的例子,需多練習(xí). 4.2.2? 第二類換元法 定理2 設(shè)x=ψ(x)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù), 并且ψ'(x)≠0. 又設(shè)f[ψ(t

30、)]ψ'(t)具有原函數(shù),則有換元公式 ,其中(x)是x=ψ(t)的反函數(shù). 例7 求 (a>0) 解 求這個積分的困難在于有根式,但我們可以利用三角公式sin2t+cos2t=1來化去根式. 設(shè)x=asint,-π/2

31、5.1 定積分概念 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點， 把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，設(shè)有常數(shù)I，如果對于任意給定的正數(shù)e ，總存在一個正數(shù)d ，使得對于區(qū)間[a,b]的任何分法，不論在中怎樣取法，只要，總有成立，則稱I是f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作 。 接下來的問題是：函數(shù)f(x)在[a,b]上滿足怎樣的條件，f(x)在[a,b]上一定可積？以下給出兩個充分條件。 定理1 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。 定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。

32、 對面積賦以正負(fù)號，在x軸上方的圖形面積賦以正號，在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號，則在一般情形下，定積分的幾何意義為：它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x = a、x = b之間的各部分面積的代數(shù)和。 5.2 牛頓－萊步尼茲公式及實例 定理　如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則　。 　(1) 證　已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，又根據(jù)前面的定理知道，積分上限的函數(shù) 也是f(x)的一個原函數(shù)。于是這兩個原函數(shù)之差為某個常數(shù)（第四章第一節(jié)）， 即 。 (2) 在上式中令x = a，得。又由F (x)的定義式及上節(jié)定積分的補充規(guī)定知

33、F (a) = 0，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C， 以代入(2)式中的F (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要證明的公式(1) .n 由積分性質(zhì)知，(1)式對a>b的情形同樣成立。為方便起見，以后把F(b) – F(a)記成。 公式(1)叫做牛頓(Newton)-萊步尼茲(Leibniz)公式，給定積分提供了一種簡便的計算方法，也稱為微積分基本公式。 例1　計算定積分。 解　。 例2　計算。 解　。 例3　計算。 解　。 例4　計算正弦曲線y = s

34、inx在[0,p ]上與x軸所圍成的平面圖形的面積。 解　。 例5　求 解　易知這是一個型的未定式，我們利用洛必達(dá)法則來計算。 因此。 5.3 定積分的近似計算 在應(yīng)用問題中常遇到要求定積分的數(shù)值，但f(x)的原函數(shù)根本不能普通的初等函數(shù)表示出來。例如等，所以提出了積分的近似計算問題。 定積分近似計算公式的原理：求定積分就是求面積，近似計算公式是對面積的近似求法。此處介紹拋物線法 原理：實質(zhì)上是用拋物線逼近曲線段，如圖由此可推出 。此公式稱為辛卜生公式。 近似計算方法很多，但實質(zhì)上多是曲線逼近（見數(shù)值分析）。 5.4 廣義積分的概念 5.4.1

35、 無窮限的廣義積分 定義1　設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a , +￥ )上連續(xù)，取b>a，若極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a , +￥ )上的廣義積分，記作，即　。(1) 這時也稱廣義積分收斂；若上述極限不存在，稱為廣義積分發(fā)散。 類似地，若極限存在，則稱廣義積分收斂。 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-￥ ,+￥ )上連續(xù)，如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-￥ , +￥ )上的廣義積分，記作，也稱廣義積分收斂；否則就稱廣義積分發(fā)散。上述廣義積分統(tǒng)稱為無窮限的廣義積分。 例1　證明廣義積分(a>0)當(dāng)p>1時收斂，當(dāng)p￡ 1時發(fā)散。 證　當(dāng)p

36、= 1時，,當(dāng)p1 1時， 因此，當(dāng)p > 1時，這廣義積分收斂，其值為；當(dāng)p￡ 1時，這廣義積分發(fā)散。 5.4.2 無界函數(shù)的廣義積分 現(xiàn)在我們把定積分推廣到被積函數(shù)為無界函數(shù)的情形。 定義2　設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，而在點a的右領(lǐng)域內(nèi)無界，取，如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積分，仍然記作，這時也稱廣義積分收斂。 類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上除點c(a

37、= 1時，， 當(dāng)q ≠1時， 因此，當(dāng)q < 1時，這廣義積分收斂，其值為(b-a)1-q/(1-q)；當(dāng)q≥1時，這廣義積分發(fā)散。 第七章：空間解析幾何與向量微分 在平面解析幾何中，通過坐標(biāo)把平面上的點與一對有序?qū)崝?shù)對應(yīng)起來，把平面上的圖形和方程對應(yīng)起來，從而可以用代數(shù)方法來研究幾何問題，空間解析幾何也是按照類似的方法建立起來的。 7.1 幾種常見曲線： 7.2? 曲面方程 7.2.1 ? 曲面方程的概念及一般方程 如果曲面S與三元方程F(x, y, z)=0 (1),有下述關(guān)系： 1. 曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程(1)；不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程(

38、1)， 那末，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的圖形。 7.2.2 平面方程的幾種形式 一般形式：Ax+By+Cy+D=0，其中{A，B，C}是平面法向， A2+B2+C2≠0。 點法式方程：。 截距式方程：。 三點式方程：已知平面過空間三點，，，則平面方程為 1. 幾種特殊的曲面方程 1. 旋轉(zhuǎn)曲面方程 設(shè)平面曲線 l : 繞z軸旋轉(zhuǎn),則旋轉(zhuǎn)曲線方程為 2. 柱面方程 母線平行與坐標(biāo)軸的柱面方程為不完全的三元方程,如F(y, z)=0就表示母線平行與x軸, 準(zhǔn)線為 的柱面. 二次曲

39、面方程（見第七章知識點3） 7.3? 空間曲線 7.3.1 ? 空間曲線一般方程 空間曲線可以看作兩個曲面的交線。設(shè)F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0是兩個曲面的方程，它們的交線為C[如圖]。因為曲線C上的任何點的坐標(biāo)應(yīng)同時滿足這兩個曲面的方程，所以應(yīng)滿足方程組（1） 反過來，如果點M不在曲線C上，那末它不可能同時在兩個曲面上，所以它的坐標(biāo)不滿足方程組（1）。因此，曲線C可以用方程組（1）來表示。方程組（1）叫做空間曲線C的一般方程。 1. 為空間曲線的一般方程，空間曲線的參數(shù)方程為 t為參數(shù). 1. 方程組 表示怎樣的曲線? 方程組中第一個方程表示母線平行

40、于z軸的圓柱面,其準(zhǔn)線是xOy面上的圓，圓心在原點O，半徑為1。方程組中第二個方程表示一個母線平行于y軸的柱面，由于它的準(zhǔn)線是zOx面上的直線，因此它是一個平面。方程組就表示上述平面與圓柱面的交線，[如圖]。 2. 方程組 表示怎樣的曲線？ 方程組中第一個方程表示球心在坐標(biāo)原點O ，半徑為a的上半球面。第二個方程表示母線平行于z 軸的圓柱面，它的準(zhǔn)線是xOy面上的圓，這圓的圓心在點（a/2，0），半徑為a/2。方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線。 7.3.2? 空間曲線在坐標(biāo)上的投影 設(shè)空間曲線C的一般方程為由上述方程組消去變量z，x，y后所得的方程分別為： H( x , y )=

41、0 R( y , z )=0 T( x , z )=0, 表示曲線C在xOy面上的投影, 表示曲線C在yOz面上的投影,表示曲線C在xOz面上的投影。 例 已知兩球面的方程為（a） 和 (b) 求它們的交線C在xOy面上的投影方程。 解 先求包含交線C而母線平行于z軸的柱面方程。因此要由方程(a) , (b)消去z，為此可先從（a）式減去(b) 式并化簡，得到y(tǒng) + z = 1,再以z = 1 –y 代入方程（a）或（b）即得所求的柱面方程為x2+2y2-2y=0 易看出，這是交線C關(guān)于xOy面的投影柱面方程，于是兩球面的交線在xOy面上的投影方程是 注：在

42、重積分和曲線積分的計算中，往往需要確定一個立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影，這時要利用投影柱面和投影曲線。 7.4? 二次曲面 我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。為了了解三元方程F (x , y ,z )=0所表示得的曲面的形狀，我們通常采用截痕法。即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲線相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。同學(xué)們可試用截痕法考察下面的二次曲面。 7.4.1? 橢球面 方程 所表示的曲面叫做橢球面，[截痕法演示]。 7.4.2? 拋物面 方程 （p 和q 同號）所表示的曲面叫做拋物面，[截痕法演示]。 7.4.3?

43、 雙曲拋物面 方程 （p 和q 同號）所表示的曲面叫做雙曲拋物面，[截痕法演示]。 7.4.4? 雙曲面 方程 所表示的曲面叫做單葉雙曲面,[截痕法演示]。 方程 所表示的曲面叫做雙葉雙曲面,[截痕法演示]。 第八章：多元函數(shù)微分 在很多實際問題中，往往牽涉到多方面的因素，反映到數(shù)學(xué)上，就是一個變量依賴于幾個變量的情形，這就提出了多元函數(shù)微分和積分的問題，本章將在一元微分的基礎(chǔ)上，討論二元及二元以上的多元函數(shù)的微分。 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性 8.1.1 定義 ? 設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）D內(nèi)有定義，P0(x0,y0)是D的內(nèi)點或邊界點。如果對于任意

44、給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得對于適合不等式的一切點P(x,y)∈D, 都有|f(x,y)-A|<ε成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y)當(dāng) x→x0,y→y0時的極限，記作 或f(x,y) →A (ρ→0),這里ρ=|PP0|。 例 設(shè) （x2+y2≠0），求證。 因為，可見，對任何ε>0，取， 則當(dāng)時，總有成立，所以。 我們必須注意，所謂二重極限存在，是指P（x,y）以任何方式趨于P0（x0,y0）時，函數(shù)都無限接近于A。 定義 設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）D內(nèi)有定義，P0(x0,y0)是D的內(nèi)點或邊界點且P0∈D。 如果則稱函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)

45、連續(xù)。 8.1.2? 性質(zhì) 性質(zhì)1（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最小值和最大值。 性質(zhì)2（介值定理） 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。所謂定義區(qū)域，是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。 由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點P0處的極限，而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點的函數(shù)值，即。 8.2 偏導(dǎo)數(shù)的定義及計算法 8.2.1 定義? 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y

46、0而x在x0處有增量Δx時，相應(yīng)的函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),如果存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y) 在點(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作或 fx（x0，y0）。 對于函數(shù)z=f(x,y)，求時，只要把y暫時看作常量而對y求導(dǎo)。 例 求z=x2sin2y的偏導(dǎo)數(shù)。 解。 8.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 定理 如果函數(shù)z=f（x,y）的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。 　8.3 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及實例 定理 如果函數(shù)u=φ(t)及ψ（t）都在點t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u

47、,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(t), ψ(t)]在點t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算：。 例 設(shè)z=eusinv，而u = xy，v = x+y。求。 解 8.4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 8.4.1 一個方程的情形 隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)F(x,y)在點P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) ≠ 0，則方程F(x,y) = 0在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y = f(x)，它滿足條件y0 = f(x0)，并有。上面公式就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。 隱函數(shù)存在定理2 設(shè)

48、函數(shù)F(x,y,z)在點P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) ≠ 0，則方程F(x,y,z) = 0在點(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z = f(x,y)，它滿足條件z0 = f(x0,y0)，并有 。 例 設(shè)x2+y2+z2-4z = 0，求， 解 設(shè)F（x,y,z）= x2+y2+z2-4z ，則Fx = 2x，F(xiàn)z = 2z-4。應(yīng)同上面公式，得。 再一次對x求偏導(dǎo)數(shù)，得。 二、方程組的情形 隱函數(shù)存在定理3 設(shè)F（x,y,u,v）、G（x,y,u,v）在點

49、P（x0,y0,u0,v0）的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又F（x0,y0,u0,v0）= 0，G（x0,y0,u0,v0）= 0，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）式）： 在點P（x0,y0,u0,v0）不等于零，則方程組F（x,y,u,v）= 0，G（x,y,u,v）= 0在點（x0,y0,u0,v0）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u = u（x,y），v = v（x,y）， 它們滿足條件u0 = u（x0,y0），v0 = v（x0,y0），并有 8.5 ? 微分法在幾何上的應(yīng)用 8.5.1 空間曲線的切線與法平面 設(shè)

50、空間曲線Г的參數(shù)方稱為x=φ(t)，y=ψ(t)，z=ω(t)，這里假定上式的三個函數(shù)都可導(dǎo)。[插圖1] 在曲線Г上取對應(yīng)于t=t0的一點M（x0，y0，z0）。根據(jù)解析幾何，可得曲線在點M處的切線方程為 。 切線的方向向量稱為曲線的切向量。向量T={φ'（t0），ψ'（t0），ω'（t0）}就是曲線Г在點M處的一個切向量。 通過點而與切線垂直的平面稱為曲線Г在點M處的法平面，它是通過點M（x0，y0，z0）而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為φ'（t0）（x-x0）+ψ'（t0）（y-y0）+ω'（t0）（z-z0）= 0。 8.5.2 曲面的切平面與法線? [插圖2] 設(shè)

51、曲面Σ由方程F（x,y,z）= 0給出，M（x0，y0，z0）是曲面Σ上的一點，并設(shè)函數(shù)F（x,y,z）的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零。則根據(jù)解析幾何，可得曲面上通過點M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上。這個平面稱為曲面Σ在點M的切平面。這切平面的方程是 Fx（x0，y0，z0）（x-x0）+Fy（x0，y0，z0）（y-y0）+Fz（x0，y0，z0）（z-z0）= 0 通過點M（x0，y0，z0）而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線。 法線方程是x=3垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量。 向量n = {Fx（x0，y0，z0），F(xiàn)y（x0，y0，z0），F(xiàn)z（x0，

52、y0，z0）}就是曲面Σ在點M處的一個法向量。 8.6 多元函數(shù)極值的求法 8.6.1 多元函數(shù)的極值 二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決。 定理1（必要條件） 設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(x0,y0)處有極值， 則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。 定理2（充分條件） 設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(x0,y0)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0,y0) = 0， fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,

53、y0) = C，則f(x,y)在(x0,y0)處是否取得極值的條件如下： （1）AC-B2>0時具有極值，且當(dāng)A<0時有極大值，當(dāng)A>0時有極小值； （2）AC-B2<0時沒有極值； （3）AC-B2=0時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。 利用定理1、2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z = f(x,y)的極值的求法敘述如下： 第一步 解方程組fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切實數(shù)解，即可求得一切駐點。 第二步 對于每一個駐點(x0,y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C。 第三步 定出AC-B2的符號，按定理2的結(jié)論判定f(x0,y0)是否是極值、

54、是極大值還是極小值。 8.6.2 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)z = f(x,y)在附加條件φ(x,y) = 0下的可能極值點，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)F（x,y）= f(x,y)+λφ(x,y) ，其中λ為某一常數(shù)。求其對x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程φ(x,y) = 0聯(lián)立起來： 有這方程組解出x，y及λ，則其中x，y就是函數(shù)f(x,y)在附加條件φ(x,y) = 0下的可能極值點的坐標(biāo)。這方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形。 至于如何確定所求得的點是否極值點，在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定。 第九章：重積分 本章

55、和下一章是多元函數(shù)積分的內(nèi)容。在一元函數(shù)積分學(xué)中，定積分是某種確定形式的和的極限。這種和的極限的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線、曲面上的多元函數(shù)的情形，得到重積分、曲線積分、曲面積分的概念。 9.1 二重積分的概念與性質(zhì) 9.1.1 二重積分的概念 為引出二重積分的概念，我們先來討論兩個實際問題。 設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D，它在點（x，y）處的面密度為ρ（x，y），這里ρ（x，y）> 0且在D上連續(xù)?，F(xiàn)在要計算該薄片的質(zhì)量M。 由于面密度ρ（x，y）是變量，薄片的質(zhì)量不能直接用密度公式（M =ρS）來計算。但ρ（x，y）是連續(xù)的，利用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小

56、塊所占的小閉區(qū)域D s i的直徑很小，這些小塊就可以近似地看作均勻薄片。在D s i（這小閉區(qū)域的面積也記作D s i）上任取一點（x i，h i），則ρ（x i，h i）D s i（i = 1，2，…，n）可看作第i個小塊的質(zhì)量的近似值[插圖1]。通過求和，再令n個小區(qū)域的直徑中的最大值（記作λ）趨于零，取和的極限，便自然地得出薄片的質(zhì)量M，即。 再設(shè)有一立體，它的底是xOy面上的閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z = f（x，y），這里f（x，y）≥ 0且在D上連續(xù)。這種立體叫做曲頂柱體。 現(xiàn)在要計算上述曲頂柱體的體積V。 由于曲頂柱體的高

57、f（x，y）是變量，它的體積不能直接用體積公式來計算。但仍可采用上面的思想方法，用一組曲線網(wǎng)把D分成n個小閉區(qū)域D s 1 ，D s 2，…，D s n，在每個D s i上任取一點（x i，h i），則f（x i，h i）D s i（i = 1，2，…，n）可看作以f（x i，h i）為高而底為D s i的平頂柱體的體積[插圖2]。 通過求和，取極限，便得出。 上面兩個問題所要求的，都?xì)w結(jié)為同一形式的和的極限。在其他學(xué)科中，由許多物理量和幾何量也可歸結(jié)為這一形式的和的極限。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二重積分的定義。 定義 設(shè)f（x，y）是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)。將閉

58、區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域D s 1 ，D s 2，…，D s n， 其中D s i表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積。在每個D s i上任取一點（x i，h i），作乘積 f（x i，h i）D s i（i = 1, 2, …, n,），并作和。如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l 趨于零時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f（x，y）在閉區(qū)域D上的二重積分，記作，即。 其中f（x，y）叫做被積函數(shù)，f（x，y）ds 叫做被積表達(dá)式，ds 叫做面積元素，x與y叫做積分變量，D叫做積分區(qū)域，叫做積分和。 在二重積分的定義中對閉區(qū)域D的劃分是任意的，如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)

59、來劃分D，那末除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域。設(shè)矩形閉區(qū)域D s i的邊長為D xj和D yk，則D s = D xj·D yk。因此在直角坐標(biāo)系中，有時也把面積元素ds 記作dxdy，而把二重積分記作 其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素。這里我們要指出，當(dāng)f（x，y）在閉區(qū)域D上連續(xù)時，（*）式右端的和的極限必定存在，也就是說，函數(shù)f（x，y）在D上的二重積分必定存在。 9.1.2 二重積分的性質(zhì) 二重積分與定積分有類似的性質(zhì)： 性質(zhì)1 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號的外面，即（k為常數(shù)）。 性質(zhì)2 函數(shù)的和（或差）的二重積分等于各個函數(shù)的二

60、重積分的和（或差）。 例如。 性質(zhì)3 如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和。例如D分為兩個閉區(qū)域D1與 D2，則。 此性質(zhì)表示二重積分對于積分區(qū)域具有可加性。 性質(zhì)4 如果在D上，f（x，y）= 1，s 為D的面積，則。 此性質(zhì)的幾何意義很明顯，因為高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上就等于柱體的底面積。 性質(zhì)5 如果在D上，f（x，y）≤ j （x，y），則有不等式。特殊地，由于 - | f（x，y）| ≤ f（x，y）≤ | f（x，y）|，又有不等式。 性質(zhì)6 設(shè)M，m分別是f（x，y）在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，

61、s 是D的面積， 則有。上述不等式是對二重積分估值的不等式。 性質(zhì)7（二重積分的中值定理） 設(shè)函數(shù)f（x，y）在閉區(qū)域D上連續(xù)，s 是D的面積，則在D上至少存在一點（x ，h ）使得下式成立：。 9.2 二重積分的計算法（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)） 按照二重積分的定義來計算二重積分，對特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說可行，但對一般的函數(shù)和積分區(qū)域來說，這不是一種切實可行的方法。這里介紹一種方法，把二重積分化為兩次單積分（即兩次定積分）來計算。 9.2.1 利用直角坐標(biāo)計算二重積分 下面用幾何的觀點來討論二重積分的計算問題。 在討論中我們假定f（x，y）≥ 0。并設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式j(luò)

62、 1（x）≤ y ≤ j 2（x），a≤x≤b 來表示[插圖1]，其中函數(shù)j 1（x）、j 2（x）在區(qū)間 [a，b] 上連續(xù)。 我們應(yīng)用“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法，來計算這個曲頂柱體的體積。 為計算截面面積，在區(qū)間 [a，b] 上任意取定一點x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間 [j 1（x0），j 2（x0）] 為底、曲線z = f（x0，y）為曲邊的曲邊梯形（[插圖2]中陰影部分），所以這截面的面積為。 一般的，過區(qū)間 [a，b] 上任一點x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為，于是，得曲頂柱體的體積為。 這個體積

63、也就是所求二重積分的值，從而有等式。（1） 上式右端的積分叫做先對y、后對x的二次積分。就是說，先把x看作常數(shù)，把f（x，y）只看作y的函數(shù)，并對y計算從j 1（x）到j(luò) 2（x）的定積分；然后把算得的結(jié)果（是x的函數(shù)）再對x計算在區(qū)間 [a，b] 上的定積分。這個先對y、后對x的二次積分也常記作。 因此，等式（1）也寫成，（1’） 在上述討論中，我們假定f（x，y）≥ 0，但實際上公式（1）的成立并不受此條件限制。 類似地，如果積分區(qū)域D可以用不等式ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y），c≤y≤d 來表示[插圖3]，其中函數(shù)ψ1（y）、 ψ2（y）在區(qū)間 [c，d] 上連續(xù)，那末就有。

64、 上式右端的積分叫做先對x、后對y的二次積分，這個積分也常記作。 因此，等式（2）也寫成，（2’） 這就是把二重積分化為先對x、后對y的二次積分的公式。 我們稱圖9-2-1所示的積分區(qū)域為X-型區(qū)域，圖9-2-3所示的積分區(qū)域為Y-型區(qū)域。對不同的區(qū)域，可以應(yīng)用不同的公式。如果積分區(qū)域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我們可以把D分成幾個部分，使每個部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域。如果積分區(qū)域D既是X-型的，又是Y-型的，則由公式（1’）及（2’）就得 。 上式表明，這兩個不同次序的二次積分相等，因為它們都等于同一個二重積分。 二重積分化為二次積分時，確定積分限是一個關(guān)鍵。而積分

65、限是根據(jù)積分區(qū)域D的類型來確定的。 例1 計算，其中D是由直線y = 1、x = 2及y = x所圍成的閉區(qū)域。 解法1 首先畫出積分區(qū)域D[插圖4]。D是X-型的，D上的點的橫坐標(biāo)的變動范圍是區(qū)間[1，2]。 在區(qū)間[1，2]上任意取定一個x值，則D上以這個x值為橫坐標(biāo)的點在一段直線上，這段直線平行于y軸，該線段上點的縱坐標(biāo)從y = 1變到y(tǒng) = x。利用公式（1）得 。 解法2 把積分區(qū)域D看成是Y-型的。同學(xué)們可作為練習(xí)，驗證解出的答案是否與解法1的相一致。 對于較復(fù)雜的積分區(qū)域，在化二重積分為二次積分時，為了計算簡便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分的次序。這時，既要考慮積分區(qū)域D的

66、形狀，又要考慮被積函數(shù)f（x，y）的特性。 例2 求量各底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積。 解 設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為x2 + y2 = R2及x2 + z2 = R2 利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱性，只要算出它在第一卦限部分[插圖5]的體積V1，然后再乘以8就行了。 所求立體在第一卦限部分可以看成是一個曲頂柱體，它的底為， 如圖9-2-5（b）所示。它的頂是柱面。于是，。利用公式（1）得 從而所求立體體積為。 9.2.2 利用極坐標(biāo)計算二重積分 有些二重積分，積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較方便，且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量r，θ比較簡單。這時，我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來計算二重積分。 按二重積分的定義有，下面將推導(dǎo)出這個和的極限在極坐標(biāo)系中的形式。 假定從極點O出發(fā)且穿過閉區(qū)域D內(nèi)部的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點。我們用以極點為中心的一族同心圓：r=常數(shù)，以及從極點出發(fā)的一族射線：θ=常數(shù)，把D分成n個小閉區(qū)域[插圖6]。除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積D s i可計算如下： ????????? 其中表示相鄰兩圓弧