《同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第四篇無窮級數(shù)[共48頁]》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第四篇無窮級數(shù)[共48頁]（48頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四篇 無窮級數(shù) 第七章 無窮級數(shù) 無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，它以極限理論為基礎(chǔ)，是研究函數(shù)的性質(zhì)及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算方面的重要工具. 本章首先討論常數(shù)項(xiàng)級數(shù)，介紹無窮級數(shù)的一些基本概念和基本內(nèi)容，然后討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，著重討論如何為將函數(shù)展開成冪級數(shù)和三角級數(shù)的問題，最后介紹工程中常用的傅里葉級數(shù). 第1節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì) 1.1常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 一般的，給定一個(gè)數(shù)列 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 叫做（常數(shù)項(xiàng)）無窮級數(shù), 簡稱（常數(shù)項(xiàng)）級數(shù), 記為, 即 , 其中第項(xiàng)叫做級數(shù)的一般項(xiàng). 作級數(shù)的前項(xiàng)和 稱為級數(shù)的部分和. 當(dāng)

2、n依次取1,2,3…時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列 ，，，…， ，… 根據(jù)這個(gè)數(shù)列有沒有極限，我們引進(jìn)無窮級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念。 定義 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限, 即, 則稱無窮級數(shù)收斂, 這時(shí)極限叫做這級數(shù)的和, 并寫成 ; 如果沒有極限, 則稱無窮級數(shù)發(fā)散. 當(dāng)級數(shù)收斂時(shí), 其部分和是級數(shù)的和的近似值, 它們之間的差值 叫做級數(shù)的余項(xiàng). 例1 討論等比級數(shù)（幾何級數(shù)）(a10)的斂散性. 解 如果, 則部分和 . 當(dāng)時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級數(shù)收斂, 其和為. 當(dāng)時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級數(shù)發(fā)散. 如果, 則當(dāng)時(shí), , 因此級數(shù)發(fā)散;

3、當(dāng)時(shí), 級數(shù)成為 , 因?yàn)殡S著為奇數(shù)或偶數(shù)而等于或零, 所以的極限不存在, 從而這時(shí)級數(shù) 發(fā)散. 綜上所述, 如果, 則級數(shù)收斂, 其和為; 如果, 則級數(shù)發(fā)散. 例2 判別無窮級數(shù)的收斂性. 解 由于 , 因此 , 而 ，故該級數(shù)發(fā)散. 例3 判別無窮級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 所以 , 從而 , 所以這級數(shù)收斂, 它的和是1. 1.2 收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 根據(jù)無窮級數(shù)收斂、發(fā)散的概念，可以得到收斂級數(shù)的基本性質(zhì). 性質(zhì)1如果級數(shù)收斂于和, 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)所得的級數(shù)也收斂, 且

4、其和為. 證明 設(shè)與的部分和分別為與, 則 , 這表明級數(shù)收斂, 且和為. 性質(zhì)2 如果級數(shù)、分別收斂于和、, 則級數(shù)也收斂, 且其和為. 證明 如果、、的部分和分別為、、， 則 . 性質(zhì)3 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng), 不會改變級數(shù)的收斂性. 比如, 級數(shù)是收斂的; 級數(shù)也是收斂的; 級數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)4 如果級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂, 且其和不變. 應(yīng)注意的問

5、題: 如果加括號后所成的級數(shù)收斂, 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂. 例如, 級數(shù)（1-1)+（1-1) +× × ×收斂于零, 但級數(shù)1-1+1-1+× × ×卻是發(fā)散的. 推論 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 性質(zhì)5 如果收斂, 則它的一般項(xiàng)趨于零, 即. 證明 設(shè)級數(shù)的部分和為, 且, 則 . 注: 級數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件. 例6 證明調(diào)和級數(shù) 是發(fā)散的. 證明 假若級數(shù)收斂且其和為, 是它的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說明

6、級數(shù)必定發(fā)散. 習(xí)題7-1 1. 寫出下列級數(shù)的前四項(xiàng): （1） ； （2）. 2. 寫出下列級數(shù)的一般項(xiàng)（通項(xiàng)）: （1） ； （2）； （3）. 3. 根據(jù)級數(shù)收斂性的定義，判斷下列級數(shù)的斂散性: （1） ; （2）. 4. 判斷下列級數(shù)的斂散性: （1） ; （2）; （3） （4）. 第2節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂法則

7、 2.1 正項(xiàng)級數(shù)及其收斂法則 現(xiàn)在我們討論各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級數(shù)，這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù). 設(shè)級數(shù) （7-2-1） 是一個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，它的部分和為.顯然，數(shù)列是一個(gè)單調(diào)增加數(shù)列，即： 如果數(shù)列有界，即總不大于某一常數(shù)，根據(jù)單調(diào)有界的數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則，級數(shù)（7-2-1）必收斂于和，且. 反之，如果正項(xiàng)級數(shù)（7-2-1）收斂于和.根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列有界. 因此，有如下重要結(jié)論： 定理 1 正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列{}有界. 定理2 (比較審斂法) 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 且 . 若級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂;

8、反之, 若級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散. 證明 設(shè)級數(shù)收斂于和, 則級數(shù)的部分和 即部分和數(shù)列有界, 由定理1知級數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)必發(fā)散. 因?yàn)槿艏墧?shù)收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 如果級數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當(dāng)時(shí)有成立, 則級數(shù)收斂; 如果級數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)時(shí)有成立, 則級數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù). 解 設(shè). 這時(shí), 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散. 設(shè). 此時(shí)有 . 對于級數(shù), 其部分和 . 因?yàn)? 所以級數(shù)收斂.

9、 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知, 級數(shù)當(dāng)時(shí)收斂. 綜上所述, p-級數(shù)當(dāng)時(shí)收斂, 當(dāng)時(shí)發(fā)散. 例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證明 因?yàn)? 而級數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的. 定理3 （比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 如果, 則級數(shù)和級數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散. 證明 由極限的定義可知, 對, 存在自然數(shù)N, 當(dāng)時(shí), 有不等式 , 即. 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論. 例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)發(fā)散. 用比較審斂法審斂時(shí)，

10、需要適當(dāng)?shù)剡x取一個(gè)已知其收斂性的級數(shù)作為比較的基準(zhǔn).最常選用做基準(zhǔn)級數(shù)的是等比級數(shù)和p-級數(shù). 定理4 (比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級數(shù)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于，即 , 則當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂;當(dāng) (或)時(shí)級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例4 判別級數(shù)收斂性. 解 因?yàn)? , 根據(jù)比值審斂法可知，所給級數(shù)收斂. 例5 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 根據(jù)比值審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散. 定理5 (根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項(xiàng)級數(shù), 如果它的一般項(xiàng)的n次根的極限等于，即 , 則當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂; 當(dāng) (或)時(shí)級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)時(shí)級數(shù)可能收斂

11、也可能發(fā)散. 定理6（極限審斂法）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)， （1）如果（或），則級數(shù)發(fā)散； （2）如果，而（），則級數(shù)收斂. 證明 （1）在極限形式的比較審斂法中，取，由調(diào)和級數(shù)發(fā)散，知結(jié)論成立. （2）在極限形式的比較審斂法中，取，當(dāng)時(shí)，p-級數(shù)收斂，故結(jié)論成立. 例6 判定級數(shù)的收斂性. 解 因，故 ， 根據(jù)極限審斂法，知所給級數(shù)收斂. 2.2 交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法則 下列形式的級數(shù) 稱為交錯(cuò)級數(shù). 交錯(cuò)級數(shù)的一般形式為, 其中. 定理7（萊布尼茨定理）如果交錯(cuò)級數(shù)滿足條件: (1) ; (2) , 則級數(shù)收斂, 且其和, 其余項(xiàng)的絕對值.

12、 證明 設(shè)前項(xiàng)部分和為，由 , 及 ， 看出數(shù)列單調(diào)增加且有界, 所以收斂. 設(shè), 則也有,所以，從而級數(shù)是收斂的, 且. 因?yàn)閨也是收斂的交錯(cuò)級數(shù), 所以. 2.3 絕對收斂與條件收斂 對于一般的級數(shù)： 若級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；若級數(shù)收斂， 而級數(shù)發(fā)散, 則稱級數(shù)條件收斂. 級數(shù)絕對收斂與級數(shù)收斂有如下關(guān)系： 定理8 如果級數(shù)絕對收斂, 則級數(shù)必定收斂. 證明 令 . 顯然且 .因級數(shù)收斂，故由比較審斂法知道，級數(shù)，從而級數(shù)也收斂.而，由收斂級數(shù)的基本性質(zhì)可知： ， 所以級數(shù)收斂. 定理8表明，對于一般的級數(shù)，如果我們用正

13、項(xiàng)級數(shù)的審斂法判定級數(shù)收斂，則此級數(shù)收斂.這就使得一大類級數(shù)的收斂性判定問題，轉(zhuǎn)化成為正項(xiàng)級數(shù)的收斂性判定問題. 一般來說，如果級數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散. 這是因?yàn)? 此時(shí)|un|不趨向于零, 從而也不趨向于零, 因此級數(shù)也是發(fā)散的. 例7 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)閨, 而級數(shù)是收斂的, 所以級數(shù)也收斂, 從而級數(shù)絕對收斂. 例8 判別級數(shù)（為常數(shù)）的收斂性. 解 因?yàn)? , 所以當(dāng)時(shí)，級數(shù)均收斂；當(dāng)時(shí)，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散. 習(xí)題7-2 1.

14、用比較審斂法判定下列級數(shù)的收斂性： （1）； （2）； （3） ； （4）； （5）. 2. 用比值審斂法判定下列級數(shù)的斂散性: （1）; （2）; （3） ; （4）. 3. 判定下列級數(shù)的斂散性: （1）; （2）; （3） ; （4）; （5）. 4. 判定下列級數(shù)是否收斂？若收斂，是絕對收斂還是條

15、件收斂？ （1）; （2）; （3） ; （4）. 第3節(jié) 冪級數(shù) 3.1 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 給定一個(gè)定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列, 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 , 稱為定義在區(qū)間上的(函數(shù)項(xiàng))級數(shù), 記為. 對于區(qū)間內(nèi)的一定點(diǎn), 若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂, 則稱點(diǎn)是級數(shù)的收斂點(diǎn). 若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散, 則稱點(diǎn)是級數(shù)的發(fā)散點(diǎn). 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它

16、的收斂域, 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域. 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是的函數(shù), 稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù), 并寫成. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的前項(xiàng)的部分和記作, 即 . 在收斂域上有. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)與部分和的差 叫做函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的余項(xiàng). 并有. 3.2 冪級數(shù)及其收斂性 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項(xiàng)都是冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù), 這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù), 它的形式是 , 其中常數(shù)叫做冪級數(shù)的系數(shù). 定理1（阿貝爾定理) 對于級數(shù)，當(dāng)時(shí)收斂, 則適合不等式的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂. 反之, 如果級數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散, 則適合不等式的一切使這冪級數(shù)發(fā)散.

17、 證 先設(shè)是冪級數(shù)的收斂點(diǎn), 即級數(shù)收斂. 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件,有, 于是存在一個(gè)常數(shù), 使 . 這樣級數(shù)的的一般項(xiàng)的絕對值 . 因?yàn)楫?dāng)時(shí), 等比級數(shù)收斂, 所以級數(shù)收斂, 也就是級數(shù)絕對收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)適合使級數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級數(shù)當(dāng)時(shí)應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論 如果級數(shù)不是僅在點(diǎn)一點(diǎn)收斂, 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂, 則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)存在, 使得 當(dāng)時(shí), 冪級數(shù)絕對收斂; 當(dāng)時(shí), 冪級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)與時(shí), 冪級數(shù)可能收斂也可能

18、發(fā)散. 正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級數(shù)在處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是或、、之一. 若冪級數(shù)只在收斂, 則規(guī)定收斂半徑 , 若冪級數(shù)對一切都收斂, 則規(guī)定收斂半徑, 這時(shí)收斂域?yàn)? 定理2 如果, 其中、是冪級數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù), 則這冪級數(shù)的收斂半徑 . 證明 . (1) 如果, 則只當(dāng)時(shí)冪級數(shù)收斂, 故. (2) 如果, 則冪級數(shù)總是收斂的, 故. (3) 如果, 則只當(dāng)時(shí)冪級數(shù)收斂, 故. 例1 求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂域. 解 因?yàn)? , 所以收斂半徑為. 即收斂區(qū)

19、間為. 當(dāng)時(shí), 有，由于級數(shù)收斂，所以 級數(shù)在時(shí)也收斂.因此, 收斂域?yàn)? 例2 求冪級數(shù) = 的收斂域. 解 因?yàn)? , 所以收斂半徑為, 從而收斂域?yàn)? 例3 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 因?yàn)? , 所以收斂半徑為, 即級數(shù)僅在處收斂. 例4 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 級數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng), 定理2不能應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑: 冪級數(shù)的一般項(xiàng)記為. 因?yàn)? , 當(dāng)即時(shí)級數(shù)收斂; 當(dāng)即時(shí)級數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為. 3.3 冪級數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級數(shù)及分別在區(qū)間及內(nèi)收斂, 則在與中

20、較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: . 減法: . 乘法: . 除法: 關(guān)于冪級數(shù)的和函數(shù)有下列重要性質(zhì)： 性質(zhì)1 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù). 性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上可積, 并且有逐項(xiàng)積分公式 , 逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 , 逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 例6 求冪級數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級數(shù)的收斂域?yàn)? 設(shè)和函數(shù)為, 即 , . 顯然. 在的兩邊求導(dǎo)得： . 對上式從到積分

21、, 得 . 于是, 當(dāng)時(shí), 有. 從而 . 提示: 應(yīng)用公式, 即. . 習(xí)題7-3 1．求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間 （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 2. 利用逐項(xiàng)求導(dǎo)法或逐項(xiàng)積分法，求下列級數(shù)的和函數(shù) （1） ; （2）. 第4節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù) 4.1函數(shù)展開成冪級數(shù) 給定函數(shù), 要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”, 就是

22、說, 是否能找到這樣一個(gè)冪級數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù). 如果能找到這樣的冪級數(shù), 我們就說,函數(shù)能展開成冪級數(shù), 而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù). 如果在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù) ， 則當(dāng)時(shí), 在點(diǎn)的泰勒多項(xiàng)式 成為冪級數(shù) 這一冪級數(shù)稱為函數(shù)的泰勒級數(shù). 顯然, 當(dāng)時(shí),的泰勒級數(shù)收斂于. 需要解決的問題: 除了外, 的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于? 定理 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是的泰勒公式中的余項(xiàng)當(dāng)時(shí)的極限為零, 即 . 證明 先

23、證必要性. 設(shè)在內(nèi)能展開為泰勒級數(shù), 即 , 又設(shè)是的泰勒級數(shù)的前項(xiàng)的和,則在內(nèi) . 而的階泰勒公式可寫成，于是 . 再證充分性. 設(shè)對一切成立. 因?yàn)榈碾A泰勒公式可寫成, 于是 ， 即的泰勒級數(shù)在內(nèi)收斂, 并且收斂于. 在泰勒級數(shù)中取, 得 , 此級數(shù)稱為的麥克勞林級數(shù). 要把函數(shù)展開成的冪級數(shù)，可以按照下列步驟進(jìn)行： 第一步 求出的各階導(dǎo)數(shù): . 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在處的值: . 第三步 寫出冪級數(shù) , 并求出收斂半徑R. 第四步 考察在區(qū)間(內(nèi)時(shí)是否. 是否為零. 如果, 則在內(nèi)有展開式

24、 . 例1 試將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解 所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為, 因此.得到冪級數(shù) , 該冪級數(shù)的收斂半徑. 由于對于任何有限的數(shù)(介于0與之間), 有 , 而, 所以, 從而有展開式 . 例2 將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解 因?yàn)? 所以順序循環(huán)地取, 于是得級數(shù) , 它的收斂半徑為. 對于任何有限的數(shù)(介于0與之間), 有 . 因此得展開式 . 例3 將函數(shù)展開成x的冪級數(shù), 其中為任意常數(shù). 解 的各階導(dǎo)數(shù)為 所以 且 于是得冪級數(shù) . 以上例題是直接按照公式

25、計(jì)算冪級數(shù)的系數(shù)，最后考察余項(xiàng)是否趨于零.這種直接展開的方法計(jì)算量較大，而且研究余項(xiàng)即使在初等函數(shù)中也不是一件容易的事.下面介紹間接展開的方法，也就是利用一些已知的函數(shù)展開式，通過冪級數(shù)的運(yùn)算以及變量代換等，將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).這樣做不但計(jì)算簡單，而且可以避免研究余項(xiàng). 例4 將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解 已知 . 對上式兩邊求導(dǎo)得 . 例5 將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解 因?yàn)? 而是收斂的等比級數(shù)的和函數(shù): . 所以將上式從0到逐項(xiàng)積分, 得 . 上述展開式對也成立, 這是因?yàn)樯鲜?/p>

26、右端的冪級數(shù)當(dāng)時(shí)收斂, 而在處有定義且連續(xù). 常用展開式小結(jié): , , , , , 4.2 冪級數(shù)的展開式的應(yīng)用 4.2.1 近似計(jì)算 有了函數(shù)的冪級數(shù)展開式，就可以用它進(jìn)行近似計(jì)算，在展開式有意義的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值可以利用這個(gè)級數(shù)近似的按要求計(jì)算出來. 例6 計(jì)算的近似值(誤差不超過). 解 因?yàn)? 所以在二項(xiàng)展開式中取, , 即 . 這個(gè)級數(shù)從第二項(xiàng)起是交錯(cuò)級數(shù)， 如果取前項(xiàng)和作為的近似值

27、, 則其誤差(也叫做截?cái)嗾`差)可算得 為了使誤差不超過, 只要取其前兩項(xiàng)作為其近似值即可. 于是有 . 例7 利用 求的近似值, 并估計(jì)誤差. 解 首先把角度化成弧度, (弧度)(弧度), 從而 . 其次, 估計(jì)這個(gè)近似值的精確度. 在的冪級數(shù)展開式中令, 得 . 等式右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級數(shù), 且各項(xiàng)的絕對值單調(diào)減少. 取它的前兩項(xiàng)之和作為的近似值, 起誤差為 . 因此取 , . 于是得 ，這時(shí)誤差不超過. 例8 計(jì)算定積分 的近似值, 要求誤差不超過（?。? 解 將的冪級數(shù)展開式中的換成, 得到被積函數(shù)的冪級數(shù)展

28、開式 . 于是, 根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)可積, 得 . 前四項(xiàng)的和作為近似值, 其誤差為 , 所以 . 例9 計(jì)算積分 的近似值, 要求誤差不超過. 解 因?yàn)? . 所以 對上式逐項(xiàng)積分得 = . 上面級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù)，所以誤差，經(jīng)試算 ，，. 所以取前三項(xiàng)計(jì)算，即 . 4.2.2 歐拉公式 設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)為 （7-4-1） 其中 為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù).如果實(shí)部所成的級數(shù)

29、（7-4-2） 收斂于和，并且虛部所成的級數(shù) （7-4-3） 收斂于和，就說級數(shù)（1）收斂且其和為. 如果級數(shù)（7-4-1）各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級數(shù) 收斂，則稱級數(shù)（7-4-1）絕對收斂.如果級數(shù)（1）絕對收斂，由于 那么級數(shù)（7-4-2），（7-4-3）絕對收斂，從而級數(shù)（7-4-1）收斂. 考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù) （7-4-4） 可以證明級數(shù)（7-4-4）在整個(gè)復(fù)平面上是絕對收斂的.在軸上它表示指數(shù)函數(shù)，在整個(gè)復(fù)平面上我們用它來定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)，記作，于是定義為 （7-4-

30、5） 當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)，（7-4-5）式成為 把換寫為，上式變?yōu)? （7-4-6） 這就是歐拉公式. 應(yīng)用公式（7-4-6），復(fù)數(shù)可以表示為指數(shù)形式： （7-4-7） 其中是的模，是的輻角 在（7-4-6）式中把換成，又有 與（7-4-6）相加、相減，得 （7-4-8） 這兩個(gè)式子也叫做歐拉公式.（7-4-6）式或（7-4-8）式揭示了三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)

31、函數(shù)之間的一種聯(lián)系. 最后，根據(jù)定義式（7-4-5），并利用冪級數(shù)的乘法，我們不難驗(yàn)證 . 特殊地，取為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則有 這就是說，復(fù)變量指數(shù)函數(shù)在處的值是模為、輻角為的復(fù)數(shù). 習(xí)題7-4 1.將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間： （1） ; （2）; （3）; （4）; （5）; （6）. 2.將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 3.將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 4.利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求的近似值（誤差不超過0.0001） 5.利用歐拉公式將函數(shù)展

32、開成的冪級數(shù). 第5節(jié) 傅里葉級數(shù) 5.1三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性 正弦函數(shù)是一種常見而簡單的周期函數(shù).例如描述簡諧振動的函數(shù) , 就是一個(gè)以為周期的正弦函數(shù)，其中表示動點(diǎn)的位置，表示時(shí)間，為振幅，為角頻率，為初相. 在實(shí)際問題中，除了正弦函數(shù)外，還會遇到非正弦函數(shù)的周期函數(shù)，它們反應(yīng)了較復(fù)雜的周期運(yùn)動.如電子技術(shù)中常用的周期為的矩形波,就是一個(gè)非正弦周期函數(shù)的例子. 為了深入研究非正弦周期函數(shù)，聯(lián)系到前面介紹過的用函數(shù)的冪級數(shù)展開式表示和討論函數(shù),我們也想將周期為的周期函數(shù)用一系列以為周期的正弦函數(shù)組成的級數(shù)來表示，記為

33、 （7-5-1） 其中 都是常數(shù). 將周期函數(shù)按上述方式展開，它的物理意義是很明確的，這就是把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動看作是許多不同頻率的簡諧振動的疊加.在電工學(xué)上，這種展開稱為是諧波分析.其中常數(shù)項(xiàng)稱為是的直流分量；稱為一次諧波；而 , 依次稱為是二次諧波，三次諧波，等等. 為了以后討論方便起見，我們將正弦函數(shù)按三角公式變形，得 =+， 并且令，，，，則（1）式右端的級數(shù)就可以改寫為 （7-5-2） 形如（7-5-2）式的級數(shù)叫做三角級數(shù)，其中都是常數(shù). 令（7-5-2）式成為

34、 （7-5-3） 這就把以為周期的三角級數(shù)轉(zhuǎn)換為以為周期的三角級數(shù). 下面討論以為周期的三角級數(shù)（7-5-3）.我們首先介紹三角函數(shù)系的正交性. 三角函數(shù)系: （7-5-4） 在區(qū)間上正交，就是指在三角函數(shù)系（7-5-4）中任何不同的兩個(gè)函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分等于零，即 , , , , . 三角函數(shù)系中任何兩個(gè)相同的函數(shù)的乘

35、積在區(qū)間上的積分不等于零, 即 , , . 5.2 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 設(shè)是周期為的周期函數(shù), 且能展開成三角級數(shù): . （7-5-5） 那么系數(shù)與函數(shù)之間存在著怎樣的關(guān)系? 假定三角級數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則 = 類似地，可得 , , , , . 系數(shù) 叫做函數(shù)的傅里葉系數(shù). 由于當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式正好給出，因此，已得結(jié)果可合并寫成

36、 （7-5-6） 將傅里葉系數(shù)代入（5）式右端，所得的三角級數(shù) 叫做函數(shù)的傅里葉級數(shù). 一個(gè)定義在上周期為的函數(shù), 如果它在一個(gè)周期上可積, 則一定可以作出的傅里葉級數(shù). 然而, 函數(shù)的傅里葉級數(shù)是否一定收斂? 如果它收斂, 它是否一定收斂于函數(shù)? 一般來說, 這兩個(gè)問題的答案都不是肯定的. 定理1 （收斂定理, 狄利克雷充分條件) 設(shè)是周期為的周期函數(shù), 如果它滿足: 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn), 在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則的傅里葉級數(shù)收斂, 并且 當(dāng)是的連續(xù)點(diǎn)時(shí), 級數(shù)收斂于; 當(dāng)是的間斷點(diǎn)時(shí), 級數(shù)收斂于. 由定

37、理可知，函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低得多，若記 ， 在上就成立的傅里葉級數(shù)展開式 . （7-5-7） 例1 設(shè)是周期為的周期函數(shù), 它在上的表達(dá)式為 ， 將展開成傅里葉級數(shù). 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點(diǎn) 處不連續(xù), 在其它點(diǎn)處連續(xù), 從而由收斂定理知道的傅里葉級數(shù)收斂, 并且當(dāng)時(shí)收斂于 , 當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂于. 傅里葉系數(shù)計(jì)算如下: ; [1-(-1)n ]. 于是的傅里葉級數(shù)展開式為

38、 . 例2 設(shè)是周期為的周期函數(shù), 它在上的表達(dá)式為 . 將展開成傅里葉級數(shù). 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點(diǎn) 處不連續(xù), 因此, 的傅里葉級數(shù)在處收斂于 . 在連續(xù)點(diǎn)處級數(shù)收斂于. 傅里葉系數(shù)計(jì)算如下: ; . . 的傅里葉級數(shù)展開式為 . 設(shè)只在上有定義, 我們可以在或外補(bǔ)充函數(shù)的定義, 使它拓廣成周期

39、為的周期函數(shù), 在內(nèi), .按這種方式拓廣函數(shù)的定義域的過程稱為周期延拓. 例3 將函數(shù) 展開成傅里葉級數(shù). 解 所給函數(shù)在區(qū)間上滿足收斂定理的條件, 并且拓廣為周期函數(shù)時(shí), 它在每一點(diǎn)處都連續(xù), 因此拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)在上收斂于. 傅里葉系數(shù)為: ; ; . 于是的傅里葉級數(shù)展開式為 . 5.3 正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 對于周期為的函數(shù)，它的傅里葉系數(shù)計(jì)算公式為 , , , . 由于奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零，偶函

40、數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于半?yún)^(qū)間上積分的兩倍，因此，當(dāng)為奇函數(shù)時(shí),是奇函數(shù), 是偶函數(shù), 故傅里葉系數(shù)為 , . 因此奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有正弦項(xiàng)的正弦級數(shù). 當(dāng)為偶函數(shù)時(shí), 是偶函數(shù), 是奇函數(shù), 故傅里葉系數(shù)為 , bn=0 . 因此偶數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有余弦項(xiàng)的余弦級數(shù). 例4 設(shè)是周期為的周期函數(shù), 它在[-p, p)上的表達(dá)式為 將展開成傅里葉級數(shù). 解 首先, 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點(diǎn) 不連續(xù), 因此的傅里葉級數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)收

41、斂于, 在點(diǎn)收斂于 . 其次, 若不計(jì)), 則是周期為的奇函數(shù). 于是, 而 . 的傅里葉級數(shù)展開式為 . 設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上并且滿足收斂定理的條件, 我們在開區(qū)間內(nèi)補(bǔ)充函數(shù)的定義, 得到定義在上的函數(shù), 使它在上成為奇函數(shù)(偶函數(shù)). 按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓(偶延拓). 限制在上, 有. 例5 將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù). 解 先求正弦級數(shù). 為此對函數(shù)進(jìn)行奇延拓.

42、 , 函數(shù)的正弦級數(shù)展開式為 . 在端點(diǎn)及處, 級數(shù)的和顯然為零, 它不代表原來函數(shù)的值. 再求余弦級數(shù). 為此對進(jìn)行偶延拓. , . 函數(shù)的余弦級數(shù)展開式為 . 5.4周期為的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 我們所討論的周期函數(shù)都是以為周期的. 但是實(shí)際問題中所遇到的周期函數(shù), 它的周期不一定是. 怎樣把周期為的周期函數(shù)展開成三角級數(shù)呢？ 問題: 我們希望能把周期為的周期函數(shù)展開成三角級數(shù), 為此我們先把周期為的周期函數(shù)變換為周期為的周期函數(shù). 令及, 則是以為周期的函數(shù). 這是因?yàn)? . 于是當(dāng) 滿

43、足收斂定理的條件時(shí), 可展開成傅里葉級數(shù): , 其中 , (n=0, 1, 2, × × ×), . 從而有如下定理: 定理2 設(shè)周期為的周期函數(shù)滿足收斂定理的條件, 則它的傅里葉級數(shù)展開式為 , 其中系數(shù)an , bn 為 , . 當(dāng)為奇函數(shù)時(shí), ,其中. 當(dāng)為偶函數(shù)時(shí), , 其中 . 例6 設(shè)是周期為4的周期函數(shù), 它在上的表達(dá)式為 (常數(shù)). 將展開成傅里葉級數(shù). 解 這里. ; ; . 于是 . 例7 將函數(shù)展成周期為4的余弦函數(shù). 解

44、 對進(jìn)行偶延拓. 則 , , 故 習(xí)題7-5 1. 下列函數(shù)周期都為，試求其傅里葉級數(shù)展開式： （1） ; （2） . 2. 將函數(shù) 展開成傅里葉級數(shù). 3. 將函數(shù) 展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù). 4. 將函數(shù) 展開成傅里葉級數(shù). 第6節(jié) 級數(shù)的應(yīng)用 6.1級數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用 6.1.1乘子效應(yīng) 設(shè)想聯(lián)邦政府通過一項(xiàng)消減100億美元稅收

45、的法案，假設(shè)每個(gè)人將花費(fèi)這筆額外收入的93%，并把其余的存起來。試估計(jì)消減稅收對經(jīng)濟(jì)活動的總效應(yīng)。 因?yàn)橄麥p稅收后人們的收入增加了，億美元將被用于消費(fèi)。對某些人來說，這些錢變成了額外的收入，它的93%又被用于消費(fèi)，因此又增加了億美元的消費(fèi)，這些錢的接受者又將花費(fèi)它的93%，即又增加了億美元的消費(fèi)。如此下去，消減稅收后所產(chǎn)生的新的消費(fèi)的總和由下列無窮級數(shù)給出： 這是一個(gè)首項(xiàng)為，公比為的幾何級數(shù)，此級數(shù)收斂，它的和為： 億美元 即消減100億美元的稅收將產(chǎn)生的附加的消費(fèi)大約為億美元. 此例描述了乘子效應(yīng)(the multiplier effect).每人將花費(fèi)一美元額外收入的比例稱作

46、“邊際消費(fèi)傾向”(the marginal to consume),記為.在本例中，，正如我們上面所討論的，消減稅收后所產(chǎn)生的附加消費(fèi)的總和為： 附加消費(fèi)的總和==[消減稅額] , 消減十二乘以乘子就是它的實(shí)際效應(yīng). 6.1.2投資費(fèi)用問題 設(shè)初始投資為,年利率為,年重復(fù)一次投資.這樣第一次更新費(fèi)用的現(xiàn)值為,第二次更新費(fèi)用的現(xiàn)值為,以此類推,投資費(fèi)用為下列等比數(shù)列之和： . 例1 建鋼橋的費(fèi)用為元,每隔年需要油漆一次，每次費(fèi)用為元,橋的期望壽命為年；建造一座木橋的費(fèi)用為元,每隔年需要油漆一次，每次的費(fèi)用為元,其期望壽命為年，若年利率為,問建造哪一種橋較為經(jīng)濟(jì)？ 解 根

47、據(jù)題意,橋的費(fèi)用包括兩部分：建橋費(fèi)用+油漆費(fèi)用. 對建鋼橋 ; 建鋼橋費(fèi)用為 , 其中,則 . 油漆鋼橋費(fèi)用為 . 故建鋼橋的總費(fèi)用的現(xiàn)值為 . 類似地,建木橋的費(fèi)用為 . 油漆木橋費(fèi)用為 . 建木橋的總費(fèi)用的現(xiàn)值為 . 現(xiàn)假設(shè)價(jià)格每年以備份率漲價(jià)，年利率為,若某種服務(wù)或項(xiàng)目的現(xiàn)在費(fèi)用為時(shí),則年后的費(fèi)用為,其現(xiàn)值為 . 因此在通貨膨脹的情況下,計(jì)算總費(fèi)用的等比級數(shù)為 . 6.2 級數(shù)在工程上的應(yīng)用 在土建工程中，常常遇到關(guān)于橢圓周長的計(jì)算問題。 設(shè)有橢圓，求它的周長. 把橢圓方程寫成參數(shù)形式：

48、 . 記橢圓的離心率為，即：，則橢圓的弧微分 所以橢圓的周長 . 由于不是初等函數(shù)，不能直接積分，我們用函數(shù)的冪級數(shù)展開式推導(dǎo)橢圓周長的近似公式 易得 又因?yàn)?，從而，由上式得? . 于是 ， 所以橢圓周長的近似公式為 . 利用上述方法還可退出橢圓周長的冪級數(shù)展開式，并由此得出更精確的近似計(jì)算公式： 習(xí)題7-6 1. 某合同規(guī)定，從簽約之日起由甲方永不停止地每年支付給乙方300萬元人民幣，設(shè)利率為每年5%，分別

49、以（1）年復(fù)利計(jì)算利息；（2）連續(xù)復(fù)利計(jì)算利息，則該合同的現(xiàn)值等于多少？ 2. 鋼筋混凝土橢圓薄殼基礎(chǔ)內(nèi)某根橢圓形鋼筋的尺寸為：長半軸為1米，短半軸為米，試求這鋼筋的長度（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）. 第七節(jié) Mathematica軟件應(yīng)用 7.1無窮級數(shù)之和 在MATLAB中使用命令symsum 來對無窮級數(shù)進(jìn)行求和.該命令的常用格式如表6-1所示，其中s為級數(shù)的一般項(xiàng). 命令格式 功能 r=symsum(s,a,b) 返回默認(rèn)變量k從a開始到b為止s的和 r=symsum(s,a,inf)

50、 返回默認(rèn)變量k從a開始到為止s的和 例1 求的一般表達(dá)式. 解：輸入命令： syms k n; symsum(k^2,1,n) 輸出結(jié)果為： ans=1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6 輸出結(jié)果比較復(fù)雜，可以簡化一下，輸入命令： simplify(ans) 輸出結(jié)果為： ans=1/3*n^3+1/2*n^2+1/6*n 可以再對該結(jié)果進(jìn)行因式分解，輸入命令： factor(ans) 輸出結(jié)果為： ans=1/6*n*(n+1)*(2*n+1) 例2.求 解 輸入命令： syms k; symsum (k^3,1,10)

51、 輸出結(jié)果為： ans=3025 例3 求. 解 輸入命令： syms k; r=symsum(1/sym(‘k!’),0,inf) 輸出結(jié)果為： r=exp(1) 7.2冪級數(shù)之和 設(shè)冪級數(shù)為，可以使用命令 symsum(s,n,0,inf) 來求出s(x).即symsum命令不僅可以求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和，還可以求冪級數(shù)的和. 例4 求冪級數(shù) 解 輸入命令： syms x k ; r=symsum(x^k/sym(‘k!’),k,0,inf) 輸出結(jié)果為： r=exp(x) 例5 求冪級數(shù). 解 輸入命令： syms x k ; r=sym

52、sum(x^k,k,0,inf) 輸出結(jié)果為： r=-1/(x-1) 總習(xí)題7 (A) 1. 判定下列級數(shù)的斂散性: （1） ; （2）. 2. 設(shè)正項(xiàng)級數(shù)和都收斂，證明級數(shù)也收斂. 3. 判斷下列級數(shù)是絕對收斂或條件收斂: （1） ; （2）; （3）. 4. 求下列級數(shù)的收斂區(qū)間: （1）; （2）; （3）. 5.求下列函數(shù)的和函數(shù):

53、 （1）; （2）; （3）. 6. 將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù): （1） ; （2）. 7.求級數(shù)的和. 總習(xí)題7（B） 一、選擇題 1.（2011、數(shù)學(xué)三）設(shè)是數(shù)列，則下列命題正確的是（ ） A. 若收斂，則收斂 B.若收斂，則收斂 C.若收斂，則收斂 D.若收斂，則收斂 2.（2009、數(shù)學(xué)一）設(shè)有兩個(gè)數(shù)列，若，則 （ ） A.當(dāng)收斂時(shí)，收斂. B.當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散. C.當(dāng)收斂時(shí)，收斂 D. 當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散. 3.（2

54、007、數(shù)學(xué)一）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令則下列結(jié)論正確的是（ ） A.若則必收斂 B. 若則必發(fā)散 C.若則必收斂 D. 若則必發(fā)散 4.（2006、數(shù)學(xué)一）若級數(shù)收斂，則級數(shù)（ ） A. 收斂 B. 收斂 C. 收斂 D. 收斂 二、解答題 1.（2014、數(shù)學(xué)三）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù). 2.（2012、數(shù)學(xué)一）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù). 3.（2011、數(shù)學(xué)一）設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，無界，求冪級數(shù)的收斂域. 4.（2

55、010、數(shù)學(xué)一）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù). 5.（2009、數(shù)學(xué)三）求冪級數(shù)的收斂半徑. 6.（2008、數(shù)學(xué)一）將函數(shù)展開成余弦級數(shù)，并求級數(shù)的和. 7.（2007、數(shù)學(xué)三）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間. 8.（2006、數(shù)學(xué)一）將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 9.（2006、數(shù)學(xué)三）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù). 10.（2005、 數(shù)學(xué)一）求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù). 11.（2005、數(shù)學(xué)三）求冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù). 12．(2008、數(shù)學(xué)三) 設(shè)銀行存款的年利率為，并依年復(fù)利計(jì)算，某基金會希望通過存款A(yù)萬元實(shí)現(xiàn)第一年提取19萬元，第二年提取28萬元，···，第年提取萬元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問A至少應(yīng)為多少萬元？ 三、證明題 1.（2014、數(shù)學(xué)一）設(shè)數(shù)列滿足，，且級數(shù)收斂. （1）證明：； （2）證明：級數(shù)收斂. 2.（2013、數(shù)學(xué)一）設(shè)數(shù)列滿足條件，是冪級數(shù)的和函數(shù). （1）證明：； （2）求的表達(dá)式. 48