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1、另辟蹊徑 解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題 陜西省洋縣教研室 柯賢華 以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點，其圖形復(fù)雜，知識覆蓋面廣，綜合性較強，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高．對這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對邊平行且相等”或“平行四邊形的對角線互相平分”來解決．由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解．為此，筆者另辟蹊徑，借助探究平行四邊形頂點坐標(biāo)公式來解決這一類題． 1 兩個結(jié)論，解題的切入點 數(shù)學(xué)課標(biāo)，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒有線段的中點坐標(biāo)公式，也沒有平行四邊形的頂點坐標(biāo)公式，我們可幫助學(xué)生來探究，

2、這可作為解題的切入點。 1.1 線段中點坐標(biāo)公式 平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為(x1,y1)，點B坐標(biāo)為(x2,y2)，則線段AB的中點坐標(biāo)為(,). 圖1 證明 ： 如圖1，設(shè)AB中點P的坐標(biāo)為(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=，同理yP=，所以線段AB的中點坐標(biāo)為(,). 1.2 平行四邊形頂點坐標(biāo)公式 圖2 □ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，則：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD. 證明： 如圖2，連接AC、BD，相交于點E． ∵點E為AC的中點， ∴E點坐標(biāo)為(,

3、). 又∵點E為BD的中點， 圖3 ∴E點坐標(biāo)為(,). ∴xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD. 即平行四邊形對角線兩端點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等． 2 一個基本事實，解題的預(yù)備知識 如圖3，已知不在同一直線上的三點A、B、C，在平面內(nèi)另找一個點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形．答案有三種：以AB為對角線的□ACBD1，以AC為對角線的□ABCD2，以BC為對角線的□ABD3C． 3 兩類存在性問題解題策略例析與反思 3.1 三個定點、一個動點，探究平行四邊形的存在性問題 例1 已知拋物線y=x2-2x+a(a＜0）與y軸相交于

4、點A，頂點為M.直線y=x-a分別與x軸、y軸相交于B、C兩點，并且與直線AM相交于點N. (1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點M與N的坐標(biāo)，則M( ), N( )； (2)如圖4，將△NAC沿y軸翻折，若點N的對應(yīng)點N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積； (3)在拋物線y=x2-2x+a(a＜0）上是否存在一點P，使得以P、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由. 解：(1)M(1,a-1)，N(,-)；(2)a=-；S四邊形ADCN=； (3)由已知條件易得A(0,a)、

5、C(0,-a)、N(,-).設(shè)P(m,m2-2m+a). ①當(dāng)以AC為對角線時，由平行四邊形頂點坐標(biāo)公式（解題時熟練推導(dǎo)出），得： 圖4 ,∴. ∴P1(,-)； ②當(dāng)以AN為對角線時，得: ,∴(不合題意，舍去). ③當(dāng)以CN為對角線時，得: ,∴. ∴P2(-,). ∴在拋物線上存在點P1(,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形. 反思：已知三個定點的坐標(biāo)，可設(shè)出拋物線上第四個頂點的坐標(biāo)，運用平行四邊形頂點坐標(biāo)公式列方程（組）求解.這種題型由于三個定點構(gòu)成的三條線段中哪條為對角線不清楚，往往要以這三條線段分別為對角線分類，分三種情況討論.

6、 3.2 兩個定點、兩個動點，探究平行四邊形存在性問題 圖5 例2 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三點. （1）求該拋物線的表達式； （2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q、P、A、B為 頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件點P的坐標(biāo). 解 ：（1）易求拋物線的表達式為y=； (2)由題意知點Q在y軸上，設(shè)點Q坐標(biāo)為(0,t)；點P在拋物線上， 設(shè)點P坐標(biāo)為(m,). 盡管點Q在y軸上，也是個動點，但可理解成一個定點，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了． ①當(dāng)以AQ為對角線時，由四個頂點的橫坐標(biāo)公式得：-1+0=3+m，

7、 ∴m=-4，∴P1(-4,7)； ②當(dāng)以BQ為對角線時，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)； ③當(dāng)以AB為對角線時，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1). 綜上，滿足條件的點P為P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1). 反思：這種題型往往特殊，一個動點在拋物線上，另一個動點在x軸（y軸）或?qū)ΨQ軸或某一定直線上．設(shè)出拋物線上的動點坐標(biāo)，另一個動點若在x軸上，縱坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點縱坐標(biāo)公式；若在y軸上，橫坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點橫坐標(biāo)公式．該動點哪個坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式．本例中點Q的縱坐標(biāo)t沒有用上，可以不設(shè)．另外，把在定直線

8、上的動點看成一個定點，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了，分別以三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論. 例3 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點． （1）求拋物線的解析式； （2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值； （3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo)． 解：（1）易求拋物線的解析式為y=x2+x-4； （2）s=-m2-4m(-4<

9、m<0)；s最大=4（過程略）； （3）盡管是直接寫出點Q的坐標(biāo)，這里也寫出過程．由題意知O(0,0)、B(0,-4). 由于點Q是直線y=-x上的動點，設(shè)Q(s,-s)，把Q看做定點；設(shè)P(m,m2+m-4). ①當(dāng)以O(shè)Q為對角線時， 圖6 ∴s=-2. ∴Q1(-2+,2-)，Q2(-2-,2+)； ②當(dāng)以BQ為對角線時， ∴s1=-4，s2=0(舍). ∴Q3(-4,4)； ③當(dāng)以O(shè)B為對角線時， ∴s1=4，s2=0(舍). ∴Q4(4,-4). 綜上，滿足條件的點Q為Q1(-2+,2-)、Q2(-2-,2+)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4). 反思：該題中的點Q是直線y=-x上的動點，設(shè)動點Q的坐標(biāo)為(s,-s)，把Q看做定點，就可根據(jù)平行四邊形頂點坐標(biāo)公式列方程組了. 4 問題總結(jié) 這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類：無論是三定一動，還是兩定兩動，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動點作為第四個動點，其余三個作為定點，分別以這三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論，然后運用平行四邊形頂點坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程（組）．這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對角線入手不會漏解，條理清楚，而且適用范圍廣．其本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)的是分類討論思想、數(shù)形結(jié)合的思想. 4