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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 平行四邊形及其性質(zhì)（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理. 2．能初步運用平行四邊形的性質(zhì)進行推理和計算，并體會如何利用所學(xué)的三角形的知識解決四邊形的問題． 3. 了解平行四邊形的不穩(wěn)定性及其實際應(yīng)用． 4. 掌握兩個推論：“夾在兩條平行線間的平行線段相等”?！皧A在兩條平行線間的垂線段相等” ． 【要點梳理】 知識點一、平行四邊形的定義 平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”. 要點詮釋：平行四邊形的基本元

2、素：邊、角、對角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對；相對的邊為對邊，有兩對；相鄰的兩角為鄰角，有四對；相對的角為對角，有兩對；對角線有兩條. 知識點二、平行四邊形的性質(zhì)定理 平行四邊形的對角相等； 平行四邊形的對邊相等； 平行四邊形的對角線互相平分； 要點詮釋：（1）平行四邊形的性質(zhì)定理中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系. （2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時根據(jù)需要進行選擇. （3）利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決. 知識點三

3、、平行線的性質(zhì)定理 1.兩條平行線間的距離： （1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值. 2．平行線性質(zhì)定理及其推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等. 平行線性質(zhì)定理的推論： 夾在兩條平行線間的垂線段相等. 【典型例題】 類型一、平行四邊形的性質(zhì) 1、如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，若AF、BE分別為∠DAB、∠CBA的平分線．求證：DF＝EC． 【答案與解析】 證明：∵ 在ABCD中，CD∥AB， ∠DFA＝∠FAB． 又∵ AF是∠DAB的平分

4、線， ∴ ∠DAF＝∠FAB， ∴ ∠DAF＝∠DFA， ∴ AD＝DF． 同理可得EC＝BC． ∵ 在ABCD中，AD＝BC， ∴ DF＝EC． 【總結(jié)升華】利用平行四邊形的性質(zhì)可以得到對角相等，對邊平行且相等，為證明線段相等提供了條件． 舉一反三： 【變式】如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的點，CE＝AF，請你猜想：線段BE與線段DF有怎樣的關(guān)系？并對你的猜想加以證明. 【答案】 證明：猜想：BE ∥DF

5、且BE＝DF. ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴CB=AD，CB∥AD ∴∠BCE＝∠DAF 在△BCE和△DAF中 ∴△BCE≌△DAF ∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFA ∴BE∥DF 即 BE ∥DF且BE＝DF. 2.（2016·永州）如圖，在?ABCD中，∠BAD的角平分線AE交CD于點F,交BC的延長線于點E． （1）求證：BE=CD； （2）連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平

6、行四邊形ABCD的面積． 【思路點撥】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出∠BAE=∠BEA，即可證明；（2）證明△ABE為等邊三角形，由勾股定理求出BF，由AAS證明△ADF≌△ECF，得出△ADF與△ECF的面積相等，平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積，即可得出結(jié)果． 【答案與解析】 （1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，AB=CD， ∴∠AEB=∠DAE， 又∵AE是∠BAD的角平分線， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE， ∴BE=CD． （2）解：∵AB=BE，∠BEA=60° ∴△ABE為等邊三角形

7、， ∴AE=AB=4， ∵BF⊥AE， ∴AF=EF=2， ∴BF=， ∵AD∥BC， ∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E， 在△ADF和△ECF中， , ∴△ADF≌△ECF（AAS） ∴△ADF的面積=△ECF的面積， ∴平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=． 【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理；解答本題注意掌握平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)． 3.如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，AB上，DE=BF，把平行四邊形沿直線EF折疊，使得點B，C分別落在B′，C′處，線段

8、EC′與線段AF交于點G，連接DG，B′G． 求證：（1）∠1=∠2； ???(2）DG=B′G． 【思路點撥】（1）根據(jù)平行四邊形得出DC∥AB，推出∠2=∠FEC，由折疊得出∠1=∠FEC=∠2，即可得出答案； （2）求出EG=B′G，推出∠DEG=∠EGF，由折疊求出∠B′FG=∠EGF，求出DE=B′F，證△DEG≌△B′FG即可． 【答案與解析】 證明：（1）∵在平行四邊形ABCD中，DC∥AB， ∴∠2=∠FEC， 由折疊得：∠1=∠FEC， ∴∠1=∠2； （2）∵∠1=∠2， ∴EG=GF， ∵AB∥DC， ∴∠DEG=∠EGF， 由折疊得：EC′∥B′F， ∴∠B′

9、FG=∠EGF， ∵DE=BF=B′F， ∴DE=B′F， ∴△DEG≌△B′FG（SAS）， ∴DG=B′G． 【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力． 4.如圖，已知?ABCD中，F(xiàn)是BC邊的中點，連接DF并延長，交AB的延長線于點E．求證：AB=BE． 【思路點撥】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=DC，AB∥CD，推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，證△CDF≌△BEF，推出BE=DC即可． 【答案與解析】 證明：∵F是BC邊的中點， ∴BF=CF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=DC，AB∥C

10、D， ∴∠C=∠FBE，∠CDF=∠E， ∵在△CDF和△BEF中 ∴△CDF≌△BEF（AAS）， ∴BE=DC， ∵AB=DC， ∴AB=BE． 【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△CDF≌△BEF． 舉一反三： 【變式】如圖，已知在?ABCD中，延長AB，使AB=BF，連接DF，交BC于點E． 求證：E是BC的中點． 【答案】 證明：在□ABCD中，AB∥CD，且AB=CD， ∴∠CDF=∠F，∠CBF=∠C， ∵AB=FB， ∴DC=FB， ∴△DEC≌△FEB， ∴EC=EB， 即E為BC的中點． 類型二、平

11、行線的性質(zhì)定理及其推論 5.（1）如圖1，已知△ABC，過點A畫一條平分三角形面積的直線； （2）如圖2，已知l1∥l2，點E，F(xiàn)在l1上，點G，H在l2上，試說明△EGO與△FHO面積相等； （3）如圖3，點M在△ABC的邊上，過點M畫一條平分三角形面積的直線． 【思路點撥】（1）根據(jù)三角形的面積公式，只需過點A和BC的中點畫直線即可； （2）結(jié)合平行線間的距離相等和三角形的面積公式即可證明； （3）結(jié)合（1）和（2）的結(jié)論進行求作． 【答案與解析】 解：（1）取BC的中點D，過A、D畫直線，則直線AD為所求； （2）證明：∵l1∥l2， ∴點E，F(xiàn)到l2之間的距離都相等，設(shè)為h．

12、 ∴S△EGH=GH×h，S△FGH=GH×h， ∴S△EGH=S△FGH， ∴S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH， ∴△EGO的面積等于△FHO的面積； （3）解：取BC的中點D，連接MD，過點A作AN∥MD交BC于點N，過M、N畫直線，則直線MN為所求． 【總結(jié)升華】此題主要是根據(jù)三角形的面積公式，知：三角形的中線把三角形的面積等分成了相等的兩部分；同底等高的兩個三角形的面積相等． 舉一反三： 【變式】（南京校級期中）有這樣的一個定理：夾在兩條平行線間的平行線段相等．下面經(jīng)歷探索與應(yīng)用的過程． 探索： 已知：如圖1，AD∥BC，AB∥CD．求證：AB=CD． 應(yīng)

13、用此定理進行證明求解． 應(yīng)用一、已知：如圖2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求證：∠B=∠C； 應(yīng)用二、已知：如圖3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD與BC兩條線段的和． 【答案】 探索： 證明：如圖1， 連接AC， ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA ∵AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∴AB=CD； 應(yīng)用一： 證明：如圖2， 作DE∥AB交BC于點E， ∵AD∥BC， ∴AB=DE ∵AB=CD， ∴DE=CD， ∴∠DEC=∠C ∵DE∥AB， ∴∠B=∠DEC， ∴∠B=∠C； 應(yīng)用二、 解：如圖3， 作DF∥AC交BC的延長線于點F ∵AD∥BC，∴AC=DF、AD=CF， ∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BEC， ∵AC⊥BD，∴∠BDF=∠BEC=90°， 在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5， 故BC+AD=BC+CF=BF=5． 專心---專注---專業(yè)