《高考數(shù)學(xué)專題常考常新的分段函數(shù)備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)之高三復(fù)習(xí)大一輪熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)專題?？汲Ｐ碌姆侄魏瘮?shù)備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)之高三復(fù)習(xí)大一輪熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題07 常考常新的分段函數(shù) 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 分段函數(shù)是函數(shù)中比較復(fù)雜的一種函數(shù)，其要點(diǎn)在于自變量取不同范圍的值時所使用的解析式不同，所以在解決分段函數(shù)的問題時要時刻盯著自變量的范圍是否在發(fā)生變化.即“分段函數(shù)——分段看”.高考關(guān)于分段函數(shù)的考查，往往與函數(shù)的圖象和性質(zhì)相結(jié)合，有時以小題的面目出現(xiàn)，有時滲透于解答題之中.分段函數(shù)表示一個函數(shù)，不是幾個函數(shù)，從近幾年高考命題看，考查力度有加大趨勢，與之相關(guān)的題目，往往有一定的難度，關(guān)鍵是與基本初等函數(shù)結(jié)合，要求不但要理解分段函數(shù)的概念，更要掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)． 1、分段函數(shù)的定義域與值域——各段的并集. 2、分段函數(shù)單

2、調(diào)性的判斷：先判斷每段的單調(diào)性，如果單調(diào)性相同，則需判斷函數(shù)是連續(xù)的還是斷開的，如果函數(shù)連續(xù)，則單調(diào)區(qū)間可以合在一起，如果函數(shù)不連續(xù)，則要根據(jù)函數(shù)在兩段分界點(diǎn)出的函數(shù)值（和臨界值）的大小確定能否將單調(diào)區(qū)間并在一起. 3、分段函數(shù)對稱性的判斷：如果能夠?qū)⒚慷蔚膱D像作出，則優(yōu)先采用圖像法，通過觀察圖像判斷分段函數(shù)奇偶性。如果不便作出，則只能通過代數(shù)方法比較的關(guān)系，要注意的范圍以代入到正確的解析式. 4、分段函數(shù)分析要注意的幾個問題 （1）分段函數(shù)在圖像上分為兩類，連續(xù)型與斷開型，判斷的方法為將邊界值代入每一段函數(shù)（其中一段是函數(shù)值，另外一段是臨界值），若兩個值相等，那么分段函數(shù)是連續(xù)的.否則

3、是斷開的.例如：，將代入兩段解析式，計算結(jié)果相同，那么此分段函數(shù)圖像即為一條連續(xù)的曲線，其性質(zhì)便于分析.再比如 中，兩段解析式結(jié)果不同，進(jìn)而分段函數(shù)的圖像是斷開的兩段. （2）每一個含絕對值的函數(shù)，都可以通過絕對值內(nèi)部的符號討論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù).例如：，可轉(zhuǎn)化為： 5、遇到分段函數(shù)要時刻盯住變量的范圍，并根據(jù)變量的范圍選擇合適的解析式代入，若變量的范圍并不完全在某一段中，要注意進(jìn)行分類討論. 6、如果分段函數(shù)每一段的解析式便于作圖，則在解題時建議將分段函數(shù)的圖像作出，以便必要時進(jìn)行數(shù)形結(jié)合. 【經(jīng)典例題】 例1【2017山東，文9】設(shè),若,則（ ） A. 2

4、 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【名師點(diǎn)睛】求分段函數(shù)的函數(shù)值,首先要確定自變量的范圍,然后選定相應(yīng)關(guān)系式代入求解；當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時,應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解,但要注意檢驗所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍． 例2【2017天津，文8】已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】 【解析】 【名師點(diǎn)睛】一般不等式恒成立求參數(shù)1.可以選擇參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問

5、題；2.也可以畫出兩邊的函數(shù)圖象，根據(jù)臨界值求參數(shù)取值范圍；3.也可轉(zhuǎn)化為的問題，轉(zhuǎn)化討論求函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍. 例3.已知，則下列選項錯誤的是（ ） A. ①是的圖像 B. ②是的圖像 C. ③是的圖像 D. ④是的圖像 【答案】D 例4.函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 函數(shù)在上為增函數(shù) B. 函數(shù)的最小正周期為4 C. 函數(shù)是奇函數(shù) D. 函數(shù)無最小值 【答案】A

6、【名師點(diǎn)睛】（1）本題利用數(shù)形結(jié)合是最為簡便的方法，一方面是因為本身便于作圖，另一方面四個選項在圖上也有具體的含義. （2）分段函數(shù)作圖過程中，尤其在函數(shù)圖象斷開時，一定要注意端點(diǎn)處屬于哪個解析式.本題中就屬于部分，所以才存在最小值. 例5【2017課標(biāo)3，文理】設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是_________. 【答案】 寫成分段函數(shù)的形式：， 函數(shù) 在區(qū)間 三段區(qū)間內(nèi)均單調(diào)遞增， 且： ， 據(jù)此x的取值范圍是： . 【名師點(diǎn)睛】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值. (

7、2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍. 例6【2018屆河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考評】已知函數(shù)（且），若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 故選. 例7【2018屆四川省廣元市高高三第二次統(tǒng)考】已知函數(shù)，方程有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合，若函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】畫出圖象如下

8、圖所示,由圖可知,,令得,即與有交點(diǎn),當(dāng)過時斜率最小,為,當(dāng)與相切時,斜率最大.設(shè)切點(diǎn)為,,故斜率為,故有斜率為.故選. 【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題,考查求函數(shù)的切線方程的方法.分段函數(shù)的圖象需要分成兩段來畫出,有四個零點(diǎn)等價于和有四個不同的交點(diǎn).在利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時,要注意已知點(diǎn)是切點(diǎn)還是曲線外一點(diǎn). 例8【2018屆廣西高三下學(xué)期第二次模擬】若函數(shù)是在上的減函數(shù)，則的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】由題意可得，則. 例9【2018屆北京市朝陽區(qū)高三3月一?！恳阎?，函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)的最大

9、值是_____；若函數(shù)的圖象上有且只有兩對點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是______． 【答案】 點(diǎn)，即方程有兩個正根，即函數(shù)有兩個零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像的走向，從而確定出所求的參數(shù)的取值范圍是. 例10【2018屆北京市匯文實(shí)驗中學(xué)高三九月月考】已知函數(shù),若函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn),則___________;若函數(shù)滿足對任意,都有成立,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是___________. 【答案】 【解析】函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)， ，則，解得 函數(shù)滿足對任意,都有成立 為減函數(shù) 時，為減函數(shù)，則，且 時，為減函數(shù)， 故，， 且時，，則 綜上所述可得實(shí)數(shù)的取值范圍是 【名師點(diǎn)睛

10、】本題主要考查的是函數(shù)的連續(xù)性以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，還考查了分段函數(shù)的解析式的求法及其圖象的作法。對于函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且，即可求得；對于，根據(jù)所給條件可得為減函數(shù)，只要考慮時的單調(diào)性即可。 【精選精練】 1【2018屆河南省南陽市第一中學(xué)高三第十二次考】設(shè)函數(shù)若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 2【2018屆河北省邯鄲市高三一?！咳艉瘮?shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意得 ，選A. 3．函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)的充分不必要條件是 A

11、. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】函數(shù)，當(dāng)時，由，得，解得. 由題意可知，當(dāng)時，無解，即無解，因為,所以或. 所以是或的充分不必要條件. 故選A. 4【2018年山西省高考測試】定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 將代入可得： 解得： 則實(shí)數(shù)的最大值是 故選 點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)主要是分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)。分析當(dāng)時，當(dāng)時，可得函數(shù)的單調(diào)性，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和不等式恒成立思想，解不等式

12、即可得到所求最大值。 5【2018屆江西省高三六校聯(lián)考】已知則=__________. 【答案】2 【解析】∵=，∴ 故答案為：2. 【名師點(diǎn)睛】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值． (2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍． 6【2018年陜西省高三檢測（二）】設(shè)函數(shù)則的值為__________． 【答案】 7．【2018屆陜西省咸陽市高三二?！?/p>

13、已知函數(shù)，則__________． 【答案】 【解析】由函數(shù)，得. 又，所以. 所以. 故答案為：4. 8【2018屆吉林省長春市普通高中高三質(zhì)量監(jiān)測（三）】已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________. 【答案】 9【2018屆陜西省西安市八校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】①當(dāng)時，則. ∴，即，此時無解 ②當(dāng)，則. ∴ ∵ ∴此時恒成立 ③當(dāng)時，則. ∴ ∵ ∴此時恒成立 綜上所示，滿足的的取值范圍是. 故答案為. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解，結(jié)合分段函數(shù)的不等式

14、，解答本題的的關(guān)鍵是利用分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行求解，將分， ，三種討論，再結(jié)合初等函數(shù)的單調(diào)性解答． 10【2018屆江蘇省徐州市高三第一次質(zhì)量檢測】已知函數(shù)，函數(shù)，則不等式的解集為__________． 【答案】 【解析】函數(shù)f（x）=， 由g（x）≤2，解得﹣2≤x＜﹣1； ③當(dāng)﹣1≤x≤1時，﹣1≤﹣x≤1， 可得g（x）=1﹣x+1+x=2， 由g（x）≤2，解得﹣1≤x≤1， 綜上可得，原不等式的解集為[﹣2，2]． 故答案為：[﹣2，2]． 11【2018屆山西省榆社中學(xué)高三診斷性模擬】設(shè)函數(shù)，若，則的最大值為_______. 【答案】8 【解析】由題意，因為，所以，則，若時，有，則，此時的最大值為8，從而問題可得解. 12.已知函數(shù)若直線與函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________. 【答案】或 【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象如圖, 內(nèi)容總結(jié)