《高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 蘇教版選修2-2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 蘇教版選修2-2.doc（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2.3　數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點(diǎn)難點(diǎn) 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理． 2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題. 重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理． 難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用. 數(shù)學(xué)歸納法 一般地，對于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們有__________公理： 如果(1)當(dāng)n取第一個值__________時結(jié)論正確； (2)假設(shè)當(dāng)________(k∈N*，且k≥n0)時__________，證明當(dāng)__________時結(jié)論也正確． 那么，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立． 預(yù)習(xí)交流1 做一做：用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n＝(n∈N*)，從k到k＋1時，左端增加的式子為________． 預(yù)習(xí)交流2 用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意哪些步驟？ 在預(yù)習(xí)中還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注？請在下列表格中做個備忘吧！ 我的學(xué)困點(diǎn) 我的學(xué)疑點(diǎn) 答案： 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 數(shù)學(xué)歸納法　(1)n0(例如n0＝1,2等)　(2)n＝k 結(jié)論正確　n＝k＋1 預(yù)習(xí)交流1：提示：k＋1 預(yù)習(xí)交流2：提示：兩個步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)，就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論．因?yàn)閱慰坎襟E(1)無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確，我們無法判定．同樣，只有步驟(2)而缺少步驟(1)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟(1)這個基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2)也就沒有意義了． 用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在于第二步，即n＝k＋1時為什么成立．n＝k＋1時成立是利用假設(shè)n＝k時成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出n＝k＋1時成立，而不是直接代入，否則n＝k＋1時也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明． 用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都可用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時要具體問題具體分析． 一、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式或不等式 證明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． 思路分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時要注意等式兩邊的項數(shù)隨n怎樣變化，即由n＝k到n＝k＋1時，左右兩邊各增添哪些項． 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋＝＋＋…＋. 可用數(shù)學(xué)歸納法來證明關(guān)于自然數(shù)n的恒等式，證明時兩步缺一不可，第一步必須驗(yàn)證，證明n＝k＋1時成立，必須用到假設(shè)n＝k成立的結(jié)論． 二、用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個圓把平面分成f(n)＝n2－n＋2個部分． 思路分析：由k到k＋1時，研究第k＋1個圓與其他k個圓的交點(diǎn)個數(shù)問題． 證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)f(n)＝n(n－3)(n≥4)． (1)幾何問題常常是先探索出滿足條件的公式，然后加以證明，探索的方法是由特殊猜出一般結(jié)論． (2)關(guān)鍵步驟的證明可以先用f(k＋1)－f(k)得出結(jié)果，再結(jié)合圖形給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f明． (3)幾何問題的證明一要注意數(shù)形結(jié)合，二要注意要有必要的文字說明． 三、歸納—猜想—證明 已知等差數(shù)列{an}，等比數(shù)列{bn}，且a1＝b1，a2＝b2(a1≠a2)，an＞0(n∈N*)． (1)比較a3與b3，a4與b4的大小，并猜想an與bn(n≥3)的大小關(guān)系； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性． 思路分析：數(shù)列的通項公式應(yīng)注意由n＝k到n＝k＋1時的變化情況，增加哪些項是難點(diǎn)，注意觀察尋找規(guī)律． 數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an，n∈N*. (1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想． 觀察、歸納、猜想、證明是一個完整的思維過程，既需要探求和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又需要證明所得結(jié)論的正確性，是一種十分重要的思維方法．觀察特殊事例時要細(xì)，要注意所研討特殊事例的特征及相互關(guān)系，關(guān)系不明時應(yīng)適當(dāng)變形，由觀察、歸納、猜想得到的結(jié)論，可能是正確的也可能是錯誤的，需要由數(shù)學(xué)歸納法證明． 1．設(shè)f(n)＝1＋＋＋＋…＋，則f(k＋1)－f(k)＝________. 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在驗(yàn)證n＝1成立時，左邊所得的項為__________． 3．已知數(shù)列，，，…，，…的前n項和為Sn，計算得S1＝，S2＝，S3＝，…，由此可猜測Sn＝________. 4．平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個數(shù)為f(k)，則增加一條直線后，它們的交點(diǎn)個數(shù)最多為________． 5．求證：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)． 提示：用最精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來并進(jìn)行識記. 知識精華 技能要領(lǐng) 答案： 活動與探究1：證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝12－22＝－3， 右邊＝－1(21＋1)＝－3， ∴左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立， 即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立． 則當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2 ＝(k＋1)[2k＋1－4(k＋1)]＝(k＋1)(－2k－3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]＝右邊， ∴當(dāng)n＝k＋1時，等式成立． 由(1)(2)可知對于任意正整數(shù)n，等式都成立． 遷移與應(yīng)用： 證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝＝，右邊＝，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，等式成立，即＋＋…＋＝＋＋…＋， 則當(dāng)n＝k＋1時，＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋， 即當(dāng)n＝k＋1時，等式成立． 根據(jù)(1)(2)可知，對一切n∈N*，等式成立． 活動與探究2：證明：(1)當(dāng)n＝1時，即一個圓把平面分成2個部分f(1)＝2，又n＝1時，n2－n＋2＝2， ∴命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，命題成立，即k個圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個部分，那么設(shè)第k＋1個圓記作⊙O，由題意，它與k個圓中每個圓交于兩點(diǎn)，又無三圓交于同一點(diǎn)，于是它與其他k個圓相交于2k個點(diǎn)．把⊙O分成2k條弧，而每條弧把原區(qū)域分成2部分，因此這個平面的總區(qū)域增加2k個部分，即f(k＋1)＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.即n＝k＋1時命題成立． 由(1)(2)可知，對任何n∈N*命題均成立． 遷移與應(yīng)用： 證明：(1)當(dāng)n＝4時，f(4)＝4(4－3)＝2， 四邊形有兩條對角線，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時命題成立，即凸k邊形的對角線的條數(shù)f(k)＝k(k－3)(k≥4)， 當(dāng)n＝k＋1時，凸k＋1邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個頂點(diǎn)Ak＋1，增加的對角線是以頂點(diǎn)Ak＋1為一個端點(diǎn)的所有對角線，再加上原k邊形的一邊A1Ak，共增加的對角線條數(shù)(k＋1－3)＋1＝k－1. f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2) ＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]， 故當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立． 由(1)(2)可知，對于n≥4，n∈N*命題都成立． 活動與探究3：(1)解：設(shè)a1＝b1＝a，公差為d，公比為q，由a2＝b2，得a＋d＝aq.① ∵a1≠a2，an＞0，∴a＞0，d＞0. 由①，得d＝aq－a，q＝1＋＞1. ∴b3－a3＝aq2－(a＋2d)＝aq2－a－2a(q－1)＝a(q－1)2＞0. ∴b3＞a3. ∵b4－a4＝aq3－(a＋3d)＝a(q－1)(q2＋q－2)＝a(q－1)2(q＋2)＞0， ∴b4＞a4.猜想出bn＞an(n≥3，n∈N*)． (2)證明：①當(dāng)n＝3時，由(1)可知已證得b3＞a3， ∴n＝3時猜想成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(n∈N*，k≥3)時，bk＞ak成立． 則當(dāng)n＝k＋1時，∵bk＋1＝bkq，ak＋1＝ak＋d， ∴bk＋1－ak＋1＝bkq－ak－d＝bk－ak－d ＝(bk－ak)＋－d＝(bk－ak)＋. ∵q＝1＋＞1，且b1＝a＞0， ∴{bn}為遞增數(shù)列．∴bk＞a. ∴bk－a＞0.又bk－ak＞0， ∴(bk－ak)＋＞0. ∴bk＋1－ak＋1＞0.∴bk＋1＞ak＋1. ∴n＝k＋1時，猜想也成立． 由①和②可知，對于n∈N*，n≥3猜想成立． 遷移與應(yīng)用： (1)解：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1. 當(dāng)n＝2時，a1＋a2＝S2＝22－a2，∴a2＝. 當(dāng)n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝23－a3，∴a3＝. 當(dāng)n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝24－a4， ∴a4＝.由此猜想an＝(n∈N*)． (2)證明：當(dāng)n＝1時，a1＝1，結(jié)論成立． 假設(shè)n＝k時，結(jié)論成立，即ak＝，那么n＝k＋1時，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝＝＝. 這表明n＝k＋1時，結(jié)論成立，∴an＝. 當(dāng)堂檢測 1．＋　2．1＋a＋a2　3．　4.f(k)＋k 5．證明：(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝＋＋＋＞，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時命題成立，即 ＋＋…＋＞， 則當(dāng)n＝k＋1時，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＞＋＞＋＝，所以當(dāng)n＝k＋1時不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式對一切n≥2，n∈N*均成立．