九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 28.2.2 應(yīng)用舉例同步測(cè)試 (新版)新人教版
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應(yīng)用舉例 第1課時(shí) 仰角、俯角與圓弧問(wèn)題 [見(jiàn)B本P84] 1.身高相等的四名同學(xué)甲、乙、丙、丁參加放風(fēng)箏比賽,四人放出風(fēng)箏的線長(zhǎng)、線與地面的夾角如下表(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的),則四名同學(xué)所放的風(fēng)箏中最高的是( D ) 同學(xué) 甲 乙 丙 丁 放出風(fēng)箏線長(zhǎng) 140 m 100 m 95 m 90 m 線與地面夾角 30 45 45 60 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【解析】 設(shè)風(fēng)箏的線長(zhǎng)、風(fēng)箏高分別為l,h,線與地面的夾角為α,所以h=lsinα,代入計(jì)算,比較大小. 2.如圖28-2-9,為測(cè)量某物體AB的高度,在D點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30,朝物體AB方向前進(jìn)20米,到達(dá)點(diǎn)C,再次測(cè)得A點(diǎn)的仰角為60,則物體AB的高度為( A ) A.10米 B.10米 C.20米 D.米 圖28-2-9 3.如圖28-2-10,在兩建筑物正中間有一旗桿,高15米,從A點(diǎn)經(jīng)過(guò)旗桿頂點(diǎn)恰好看到矮建筑物的墻角C點(diǎn),且俯角α為60,又從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角β為30,若旗桿底G點(diǎn)為BC的中點(diǎn),則矮建筑物的高CD為( A ) A.20米 B.10米 C.15米 D.5米 圖28-2-10 4.如圖28-2-11,⊙O的半徑為4 cm,PA,PB是⊙O的兩條切線,∠APB=60,則AP=__4__cm__. 圖28-2-11 5.如圖28-2-12,在高度是21米的小山A處測(cè)得建筑物CD頂部C處的仰角為30,底部D處的俯角為45,則這個(gè)建筑物的高度CD=__7+21__米(結(jié)果可保留根號(hào)). 圖28-2-12 6.如圖28-2-13,為測(cè)量江兩岸碼頭B,D之間的距離,從山坡上高度為50米的點(diǎn)A處測(cè)得碼頭B的俯角∠EAB為15,碼頭D的俯角∠EAD為45,點(diǎn)C在線段BD的延長(zhǎng)線上,AC⊥BC,垂足為C,求碼頭B,D之間的距離(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin15≈0.26,cos15≈0.97,tan15≈0.27). 圖28-2-13 解:∵AE∥BC,∴∠ADC=∠EAD=45. 又∵AC⊥CD,∴CD=AC=50. ∵AE∥BC,∴∠ABC=∠EAB=15. 又∵tan∠ABC=,∴BC=≈185.2, ∴BD=BC-CD≈185.2-50≈135(米). 答:碼頭B,D之間的距離約為135米. 圖28-2-14 7. 天封塔歷史悠久,是寧波著名的文化古跡.如圖28-2-14,從位于天封塔的觀測(cè)點(diǎn)C測(cè)得兩建筑物底部A,B的俯角分別為45和60,若此觀測(cè)點(diǎn)離地面的高度為51米,A,B兩點(diǎn)在CD的兩側(cè),且點(diǎn)A,D,B在同一水平直線上,求A,B之間的距離(結(jié)果保留根號(hào)) 解:由題意得,∠ECA=45,∠FCB=60, ∵EF∥AB, ∴∠CAD=∠ECA=45,∠CBD=∠FCB=60, ∵∠ADC=∠CDB=90, 在Rt△CDB中,tan∠CBD=, ∴BD==17米, ∵AD=CD=51米, ∴AB=AD+BD=51+17. 答:A,B之間的距離為(51+17)米. 8.如圖28-2-15,甲樓AB的高度為123 m,自甲樓樓頂A處,測(cè)得乙樓頂端C處的仰角為45,測(cè)得乙樓底部D處的俯角為30,求乙樓CD的高度(結(jié)果精確到0.1 m,取1.73). 圖28-2-15 第8題答圖 解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E,根據(jù)題意,∠CAE=45,∠DAE=30. 在Rt△ADE中,DE=AB=123,∠DAE=30, ∴AE=DE=123. 在Rt△ACE中,由∠CAE=45,得CE=AE=123, ∴CD=CE+DE=123(+1)≈335.8(m). 答:乙樓CD的高度為335.8 m. 圖28-2-16 9. 如圖28-2-16,小明為了測(cè)量小山頂上的塔高,他在A處測(cè)得塔尖D的仰角為45,再沿AC方向前進(jìn)73.2米到達(dá)山腳B處,測(cè)得塔尖D的仰角為60,塔底E的仰角為30,求塔高。(精確到0.1米,≈1.732) 解:∵ 在山腳B處測(cè)得塔尖D的仰角為60,塔底E的仰角為30。 ∴ ∠DBC = 60,∠EBC= 30 ∴ ∠DBE = ∠DBC-∠EBC=60-30= 30 又∵ ∠BCD=90 ∴ ∠BDC = 90-∠DBC = 90-60= 30 即 ∠BDE = 30 ∴ ∠BDE =∠DBE,BE=DE. 設(shè)EC=x,則BE=2EC=2x,BC===x DE=BE=2x,DC=EC+DE=x+2x=3x 又∵ 在A處測(cè)得塔尖D的仰角為45,AB=73.2 ∴ △ACD為等腰直角三角形,即AC=DC=3x,BC=AC-AB=3x-73.2 ∴ x=3x-73.2,即1.732x=3x-73.2,2.268x=73.2,x≈32.3(米) 故塔高約為64.6米. 10.校車安全是近幾年社會(huì)關(guān)注的重大問(wèn)題,安全隱患主要是超速和超載.某中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組設(shè)計(jì)了如下檢測(cè)公路上行駛的汽車速度的實(shí)驗(yàn)(如圖28-2-17):先在公路旁邊選取一點(diǎn)C,再在筆直的車道l上確定點(diǎn)D,使CD與l垂直,測(cè)得CD的長(zhǎng)等于21米,在l上點(diǎn)D的同側(cè)取點(diǎn)A,B,使∠CAD=30,∠CBD=60. (1)求AB的長(zhǎng)(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):≈1.73,≈1.41); (2)已知本路段對(duì)校車限速為40千米/時(shí),若測(cè)得某輛校車從A到B用時(shí)2秒,這輛校車是否超速?說(shuō)明理由. 圖28-2-17 解:(1)由題意得:在Rt△ADC中, AD===21≈36.33. 在Rt△BDC中,BD===7≈12.11, 所以AB=AD-BD≈36.33-12.11=24.22≈24.2(米). (2)校車從A到B用時(shí)2秒, 所以該車速度約為24.22=12.1(米/秒). 因?yàn)?2.13 600=43 560, 所以該車速度約為43.56千米/時(shí),大于40千米/時(shí), 所以此校車在AB路段超速. 圖28-2-18 11. 如圖28-2-18,在Rt△ABC中,∠ACB=90,點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn),以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E,連接DE并延長(zhǎng)DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. (1)求證:BD=BF; (2)若CF=1,cosB=,求⊙O的半徑. 解:(1)證明:連接OE.∵AC與⊙O相切于點(diǎn)E, ∴OE⊥AC.∴∠OEA=90. ∵∠ACB=90,∴∠OEA=∠ACB,∴OE∥BC.∴∠OED=∠F. ∵OE=OD,∴∠OED=∠ODE,∴∠F=∠ODE,∴BD=BF. (2)設(shè)BC=3x,則AB=5x,又CF=1, ∴BF=3x+1, 由(1)知BD=BF,∴BD=3x+1,∴OE=,AO=5x-=. ∵OE∥BF.∴∠AOE=∠B,∴=, 即=,解之,得:x=. ∴⊙O的半徑為=. 第2課時(shí) 方位角與坡度問(wèn)題 [見(jiàn)A本P86] 1.如圖28-2-19,某游樂(lè)場(chǎng)一山頂滑梯的高為h,滑梯的坡角為α,那么滑梯長(zhǎng)l為( A ) A. B. C. D.hsinα 【解析】 ∵sinα=,∴l(xiāng)=. 圖28-2-19 圖28-2-20 2.河堤橫斷面如圖28-2-20所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比為1∶,則AB的長(zhǎng)為( A ). A.12米 B.4米 C.5米 D.6米 圖28-2-21 3.如圖28-2-21是某水庫(kù)大壩橫斷面示意圖.其中AB,CD分別表示水庫(kù)上下底面的水平線,∠ABC=120,BC的長(zhǎng)是50 m,則水庫(kù)大壩的高度h是( A ) A. 25 m B.25 m C. 25 m D. m 4.如圖28-2-22,小明同學(xué)在東西方向的沿江大道A處,測(cè)得江中燈塔P在北偏東60方向上,在A處正東400米的B處,測(cè)得江中燈塔在北偏東30方向上,則燈塔P到沿江大道的距離為__200__米. 【解析】 過(guò)P作PD⊥AB于D,在Rt△APD中, PD=ADtan30,在Rt△BPD中, PD=BDtan60, ∴(400+BD)=BD, ∴BD=200米, ∴PD=BD=200米. 圖28-2-22 5.某水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形,壩內(nèi)斜坡的坡度i=1∶,壩外斜坡的坡度i=1∶1,則兩個(gè)坡角的和為__75__.xx 【解析】 設(shè)兩個(gè)坡角分別為α、β,壩內(nèi)斜坡的坡度i=1∶,即tanα==,α=30;壩外斜坡的坡度i=1∶1,即tanβ==1,β=45,α+β=30+45=75. 圖28-2-23 6.一個(gè)長(zhǎng)方體木箱沿斜面下滑,當(dāng)木箱滑至如圖28-2-23位置時(shí),AB=3 m.已知木箱高BE= m,斜面坡角為30,求木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度EF. 解:連結(jié)AE,在Rt△ABE中,已知AB=3,BE=, ∴AE==2 又∵tan∠EAB==, ∴∠EAB=30 在Rt△AEF中,∠EAF=∠EAB+∠BAC=60, ∴EF=AE sin∠EAF=2sin60=2=3 答:木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度是3 m. 圖28-2-24 7.某海濱浴場(chǎng)東西走向的海岸線可近似看作直線l(如圖28-2-24).救生員甲在A處的瞭望臺(tái)上觀察海面情況,發(fā)現(xiàn)其正北方向的B處有人發(fā)出求救信號(hào).他立即沿AB方向徑直前往救援,同時(shí)通知正在海岸線上巡邏的救生員乙.乙馬上從C處入海,徑直向B處游去.甲在乙入海10秒后趕到海岸線上的D處,再向B處游去,若CD=40米,B處在C處的北偏東35方向,甲、乙的游泳速度都是2米/秒,那么誰(shuí)先到達(dá)B處?請(qǐng)說(shuō)明理由(參考數(shù)據(jù):sin55≈0.82,cos55≈0.57,tan55≈1.43). 【解析】 在直角△CDB中,利用三角函數(shù)即可求得BC,BD的長(zhǎng),則可求得甲、乙到達(dá)B處所需的時(shí)間,比較二者之間的大小即可. 解:由題意得 ∠BCD=55,∠BDC=90, ∵tan∠BCD=, ∴BD=CDtan∠BCD=40tan55≈57.2(米). ∵cos∠BCD=, ∴BC==≈70.2(米). ∴t甲=+10=38.6(秒),t乙==35.1(秒). ∴t甲>t乙. 答:乙先到達(dá)B處. 8.如圖28-2-25,學(xué)校校園內(nèi)有一小山坡AB,經(jīng)測(cè)量,坡角∠ABC=30,斜坡AB長(zhǎng)為12米,為方便學(xué)生行走,決定開挖小山坡,使斜坡BD的坡比改為1∶3(即CD與BC的長(zhǎng)度之比),A,D兩點(diǎn)處于同一鉛垂線上,求開挖后小山坡下降的高度AD. 圖28-2-25 【解析】 在Rt△ABC中,利用三角函數(shù)即可求得BC,AC的長(zhǎng),然后在Rt△BCD中,利用坡比的定義求得CD的長(zhǎng),根據(jù)AD=AC-CD即可求解. 解:在Rt△ABC中,∠ABC=30, ∴AC=AB=6,BC=ABcos∠ABC=12=6. ∵斜坡BD的坡比是1∶3, ∴CD=BC=2,∴AD=AC-CD=6-2. 答:開挖后小山坡下降的高度AD為(6-2)米. 9.如圖28-2-26,一段河壩的橫斷面為梯形ABCD,試根據(jù)圖中的數(shù)據(jù),求出壩底寬AD.(i=CE∶ED,單位:m) 圖28-2-26 【解析】 作BF⊥AD于點(diǎn)F,在Rt△ABF中利用勾股定理即可求得AF的長(zhǎng),在Rt△CED中,利用坡比的定義即可求得ED的長(zhǎng),進(jìn)而即可求得AD的長(zhǎng). 解:如圖所示,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F,可得矩形BCEF, ∴EF=BC=4,BF=CE=4. 在Rt△ABF中,∠AFB=90,AB=5,BF=4, 由勾股定理可得AF===3. 又∵在Rt△CED中,i==, ∴ED=2CE=24=8. ∴AD=AF+FE+ED=3+4+8=15(m). 圖28-2-27 10.如圖28-2-27,C島位于我國(guó)南海A港口北偏東60方向,距A港口60海里處.我海監(jiān)船從A港口出發(fā),自西向東航行至B處時(shí),接上級(jí)命令趕赴C島執(zhí)行任務(wù),此時(shí)C島在B處北偏西45的方向上,海監(jiān)船立刻改變航向以每小時(shí)60海里的速度沿BC行進(jìn),則從B處到達(dá)C島需要多少小時(shí)? 解:過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,由題意,得∠CAD=30,∠CBD= 45,∴CD=ACsin∠CAD=60=30,∴BC==60,∴t=6060=1(h) 答:從B處到達(dá)C島需要1小時(shí). 圖28-2-28 11.釣魚島自古以來(lái)就是我國(guó)的神圣領(lǐng)土,為維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)利,我國(guó)海監(jiān)和漁政部門對(duì)釣魚島海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理。如圖28-2-28,某日在我國(guó)釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A,B,B船在A船的正東方向,且兩船保持20海里的距離,某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測(cè)得在A的東北方向,B的北偏東15方向有一我國(guó)漁政執(zhí)法船C,求此時(shí)船C與船B的距離是多少.(結(jié)果保留根號(hào)) 解:作BD⊥AC于點(diǎn)D, 由題意可知,∠BAC=45,∠ABC=105, ∴∠ACB=180-∠BAC-∠ABC= 30, 在Rt△ABD中, BD=ABsin∠BAD=20=10(海里), 在Rt△BCD中,BC=== 20(海里). 答:此時(shí)船C與船B的距離是20海里. 12.如圖28-2-29,某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)江邊一處長(zhǎng)600米,高10米,背水坡的坡角為45的防洪大堤(橫斷面為梯形ABCD)急需加固.經(jīng)調(diào)查論證,防洪指揮部專家組制定的加固方案是:沿背水坡面用土石進(jìn)行加固,并使上底加寬2米,加固后背水坡EF的坡比i=1∶. ①求加固后壩底增加的寬度AF;(結(jié)果保留根號(hào)) ②求完成這項(xiàng)工程需要土石多少立方米?(≈1.732) 圖28-2-29 解:①過(guò)E作EM⊥BF于M,過(guò)D作DN⊥BF于N,則MN= DE=2米,EM=DN=10米, 在Rt△AND中AN==10米 ∵i==,∴FM=10米 ∴AF=FM+MN—AN=(10—8)米 ②∵S梯形ADEF==(50—30)米2 ∴完成這項(xiàng)工程需要土石為(50—30)600≈ 33 960米3.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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