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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.4中國(guó)剩余定理同步精練 北師大版選修3-1 1．歐洲最早接觸一次同余方程組問(wèn)題的是意大利數(shù)學(xué)家(　　) A．斐波那契 B．斐拉里 C．馬蒂生 D．高斯 2．利用“大衍求一術(shù)”給出問(wèn)題“物不知數(shù)”一般解法的數(shù)學(xué)家是(　　) A．劉徽 B．楊輝 C．賈憲 D．秦九韶 3．“大衍求一術(shù)”失傳了500多年，重新出現(xiàn)在世人面前是在(　　) A．明朝 B．元朝 C．清朝 D．民國(guó) 4．“圓，一中同長(zhǎng)也．”出自(　　) A．《墨經(jīng)》 B．《老子》 C．《孫子算經(jīng)》 D．《周易》 5．秦九韶，我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家，字道古，四川安岳人，他本人自稱(　　) A．“四川人” B．“岳陽(yáng)人” C．“冀州人” D．“魯郡人” 6．中國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)家劉徽的貢獻(xiàn)不包括(　　) A．創(chuàng)造了割圓術(shù) B．建立了重差術(shù) C．重視邏輯推理，同時(shí)又注意幾何直觀的作用 D．開(kāi)創(chuàng)了“中國(guó)剩余定理” 7．宋代周密詩(shī)：“三歲孩兒七十稀，五留廿一事尤其．七度上元重相會(huì)，寒食清明便得知．”語(yǔ)句的最后一句暗示數(shù)字________． 8．明代，將“物不知數(shù)”的解法在《算法統(tǒng)宗》中編成口訣：“三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝．七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知．”這位數(shù)學(xué)家是________． 9．古寺幾僧？ 巍峨古寺在山中，不知寺內(nèi)幾多僧． 三百六十四只碗，恰巧用盡不差爭(zhēng)． 三人共餐一碗飯，四人共喝一碗湯． 請(qǐng)問(wèn)先生能算者，山中寺內(nèi)幾多僧． 10．相傳韓信投奔劉邦以后，與蕭何結(jié)識(shí)，蕭何認(rèn)為韓信是個(gè)大將之才，就向劉邦鼎力推薦，劉邦不知韓信究竟有沒(méi)有真本事，就想試一試他．一天傍晚，劉邦帶韓信去軍營(yíng)．二人坐在點(diǎn)將臺(tái)上，只見(jiàn)臺(tái)下兵丁不計(jì)其數(shù)，旌旗招展，士氣高昂．劉邦調(diào)來(lái)一隊(duì)將士，對(duì)韓信說(shuō)：“請(qǐng)汝為吾清點(diǎn)一下！”韓信答應(yīng)，站起身來(lái)，對(duì)臺(tái)下將士說(shuō)道：“全隊(duì)將士聽(tīng)令，每三人結(jié)成一組，請(qǐng)報(bào)告余數(shù)．”將士們報(bào)告余數(shù)為1，韓信再次命令：“每五人結(jié)成一組，請(qǐng)報(bào)告余數(shù)．”將士們報(bào)告余數(shù)為3，韓信第三次命令：“每七人結(jié)成一組，請(qǐng)報(bào)告余數(shù)．”將士們報(bào)告余數(shù)為4.韓信掃視了這一隊(duì)將士，估計(jì)約有三百人． 于是韓信立刻向劉邦報(bào)告：“這一隊(duì)將士共有二百九十八人．”劉邦一聽(tīng)，正好對(duì)數(shù)，心中納悶兒，怪了，這是什么點(diǎn)兵法呢？便驚奇地問(wèn)：“此是何法點(diǎn)兵？”韓信答道：“此乃亂點(diǎn)兵．”“有何妙訣？”劉邦問(wèn)道．韓信笑笑說(shuō)：“沒(méi)啥妙訣，就是：三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝．七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知．” 韓信的亂點(diǎn)兵法征服了劉邦，劉邦暗自佩服韓信才智過(guò)人，終于放心地拜韓信為大將．后來(lái)，韓信為劉邦平定天下、建立漢王朝立下了汗馬功勞．韓信的這種巧妙算法，人們稱為鬼谷算，也叫隔墻算，或稱為韓信點(diǎn)兵，外國(guó)人還稱它為“中國(guó)剩余定理”． 請(qǐng)你解釋韓信是如何算得這一隊(duì)將士共有二百九十八人的？ 11．上網(wǎng)搜索秦九韶的資料，并整理． 12．大衍求一術(shù)的應(yīng)用 秦九韶在其名著《數(shù)書(shū)九章》中提出一則歷史名題，史稱“三賊盜米問(wèn)題”： 問(wèn)有米鋪，訴被盜去米一般三籮，皆適滿，不記細(xì)數(shù)．今左壁籮剩一合，中壁籮剩一升四合，右壁籮剩一合，后獲賊，系甲、乙、丙三名．甲稱當(dāng)夜摸的馬杓，在左壁籮舀入袋；乙稱踢著木履，在中壁籮舀入袋；丙稱摸得漆碗，在右壁籮舀入袋．將歸食用，日久不知數(shù)．索得三器，馬杓滿容一升九合，木履容一升七合，漆碗容一升二合．欲知所失米數(shù)，計(jì)贓結(jié)斷三盜各幾何？(注：“合”是容量單位，10 合是一升) 參考答案 1．答案：A 2．答案：D 3．答案：C 4．答案：A 5．答案：D 6．答案：D 7．答案：105　解析：“寒食”“清明”大約在冬至后三個(gè)半月，暗示數(shù)字105. 8．答案：程大位 9．答案：624 人 10．解：5和7的公倍數(shù)有35,70…其中除以3余1的最小數(shù)是70；3和7的公倍數(shù)有21,42…其中除以5余3的最小數(shù)是63；3和5的公倍數(shù)有15,30,45…其中除以7余4的是60.70＋63＋60＝193.∵概數(shù)是300，且3,5,7的最小公倍數(shù)為105. ∴共有193＋10＝298(人)，即這隊(duì)將士實(shí)有298人． 11．答：秦九韶(1202—1261)，字道古，安岳人．其父秦季棲，進(jìn)士出身，官至上部郎中、秘書(shū)少監(jiān)．秦九韶聰敏勤學(xué)．宋紹定四年(1231)，秦九韶考中進(jìn)士，先后擔(dān)任縣尉、通判、參議官、州守、同農(nóng)、寺丞等職．先后在湖北、安徽、江蘇、浙江等地做官，1261 年左右被貶至梅州(今廣東梅縣)，不久死于任所．他在政務(wù)之余，對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行虔心鉆研，并廣泛搜集歷學(xué)、數(shù)學(xué)、星象、音律、營(yíng)造等資料，進(jìn)行分析、研究． 宋淳祜四至七年(1244～1247)，他在為母親守孝時(shí)，把長(zhǎng)期積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和研究所得加以編輯，寫(xiě)成了聞名的巨著《數(shù)書(shū)九章》，并創(chuàng)造了“大衍求一術(shù)”．這不僅在當(dāng)時(shí)處于世界領(lǐng)先地位，在近代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代電子計(jì)算設(shè)計(jì)中，也起到了重要作用，被稱為“中國(guó)剩余定理”．他所論的“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”，被稱為“秦九韶程序”．現(xiàn)在，世界各國(guó)從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)課程，幾乎都接觸到他的定理、定律和解題原則．秦九韶在數(shù)學(xué)方面的研究成果，比英國(guó)數(shù)學(xué)家取得的成果要早800 多年． 12．分析：秦九韶把“物不知數(shù)”的解法加以推廣，用現(xiàn)代記號(hào)分析如下：如果記除數(shù)分別為m1＝3，m2＝5，m3＝7，它們兩兩互素，70＝(57)2＝m2m32， 70 能被m2，m3除盡，而被m1＝3除余1； 21＝(m1m3)1,21 被m2除余1,21 能被m1，m3除盡；15＝(m1m2)1,15 被m3除余1,15 能被m1，m2除盡．把上述分析推廣到一般情形，秦九韶給出了“大衍求一術(shù)”： 若一自然數(shù)被m1除余r1，被m2除余r2，…，被mk除余rk，且mi與mj是互素的自然數(shù)，i＜j，i，j＝1，2，…，k.令m＝m1m2…mk＝miMi，i＝1,2，…，k，且M′i滿足MiM′i被mi除余1，則未知的自然數(shù)為N＝M1M′1r1＋M2M′2r2＋…＋MkM′krk－km， 其中k是整數(shù)，N＞0. 解：m1＝19，m2＝17，m3＝12，r1＝1，r2＝14，r3＝1， 于是m＝m1m2m3＝191712＝3876， M1＝m2m3＝204，M2＝m1m3＝228， M3＝m1m2＝323， M′1＝15，M′2＝5，M′3＝11，于是每籮原有米數(shù)為 N＝204151＋228514＋323111－3 876k ＝22 573－3 876k. 取k＝5，得N＝3 193(合)． 甲偷走3 192 合，乙偷走3 179 合，丙偷走3 192 合．