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第一節(jié) 圓的基本性質(zhì)
考點(diǎn)1 圓周角定理及其推論
1.[xx山東聊城]如圖,☉O中,弦BC與半徑OA相交于點(diǎn)D,連接AB,OC.若∠A=60,∠ADC=85,則∠C的度數(shù)是( )
A.25 B.27.5 C.30 D.35
(第1題) (第2題)
2.[xx陜西]如圖,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,AB=AC,∠BCA=65,作CD∥AB,并與☉O相交于點(diǎn)D,連接BD,則∠DBC的大小為( )
A.15 B.35 C.25 D.45
3.[xx廣東廣州]如圖,在☉O中,AB是直徑,CD是弦,AB⊥CD,垂足為點(diǎn)E,連接CO,AD,∠BAD=20,則下列
說法中正確的是( )
A.AD=2OB
B.CE=EO
C.∠OCE=40
D.∠BOC=2∠BAD
4.(9分)[xx湖北宜昌中考改編]如圖,在△ABC中,AB=AC. 以AB為直徑的半圓交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.延長AE至點(diǎn)F,使EF=AE,連接FB,FC.
(1)求證:四邊形ABFC是菱形;
(2)若AD=7,BE=2,求cos∠BAD的值.
考點(diǎn)2 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
5.[xx江蘇蘇州]如圖,AB是半圓的直徑,O為圓心,C是半圓上的點(diǎn),D是AC上的點(diǎn),若∠BOC=40,則∠D的度數(shù)為( )
A.100 B.110 C.120 D.130
(第5題) (第6題)
6.[xx湖北黃石]如圖,已知☉O為四邊形ABCD的外接圓,O為圓心,若∠BCD=120,AB=AD=2,則☉O的半徑長為( )
A.322 B.62 C.32 D.233
7.[xx江蘇揚(yáng)州]如圖,已知☉O的半徑為2,△ABC內(nèi)接于☉O,∠ACB=135,則AB= .
(第7題) (第8題)
8.[xx湖南永州]如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),點(diǎn)E是BC上的一點(diǎn),若∠CED=40,則∠ADC= .
9.(9分)[xx江蘇無錫]如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90,cos B=35,求AD的長.
1.[xx平頂山一模]如圖,已知AB是☉O的直徑,BC是弦,∠ABC=40,過圓心O作OD⊥BC交弧BC于點(diǎn)D,連接DC,則∠DCB為( )
A.20 B.25
C.30 D.35
2.[xx南陽地區(qū)模擬]如圖,在☉O中,∠AOB的度數(shù)為160,C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn),D,E是AB上不同的兩點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),則∠D+∠E的度數(shù)為( )
A.160 B.140
C.100 D.80
(第2題) (第3題)
3.[xx南陽地區(qū)模擬]如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,F是CD上一點(diǎn),且DF=BC,連接CF并延長交AD的延長線于點(diǎn)E,連接AC,若∠ABC=105,∠BAC=25,則∠E的度數(shù)為( )
A.45 B.50 C.55 D.60
4.[xx浙江金華一模]如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C在半圓O上,把半圓沿弦AC折疊,AC恰好經(jīng)過點(diǎn)O,則BC與AC的關(guān)系是( )
A.BC=12AC B.BC=13AC
C.BC=AC D.不能確定
(第4題) (第5題)
5.[xx洛陽三模]如圖,以△ABC的邊BC為直徑的☉O交AB,AC于點(diǎn)D,E,連接OD,OE,若∠DOE=40,則∠A的度數(shù)為 .
6.(9分)[xx合肥瑤海區(qū)一模]如圖,在半徑為4的☉O中,AB,CD是兩條直徑,M為OB的中點(diǎn),CM的延長線交☉O于點(diǎn)E,且EM>MC.連接DE,DE=15.
(1)求證:AMMB=EMMC;
(2)求EM的長.
7.(9分)[xx焦作一模]如圖,在△ABC中,以AB為直徑的☉O交AC,BC于點(diǎn)D,E.連接ED,若ED=EC.
(1)求證:AB=AC;
(2)填空:①若AB=6,CD=4,則BC= ;
②連接OD,當(dāng)∠A= 時(shí),四邊形ODEB是菱形.
8.(9分)[xx三門峽二模改編]如圖,在△ABC中,AB=102,∠BAC=60,∠B=45,點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,以AD為直徑作☉O,☉O交邊AB,AC于點(diǎn)E,F,連接OE,OF,DE,DF,EF.
(1)求EFOE的值;
(2)當(dāng)∠BAD= 時(shí),四邊形OEDF正好是菱形,請(qǐng)說明理由;
(3)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中,線段EF的最小值為 (直接寫出結(jié)果).
第二節(jié) 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
考點(diǎn)1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
1.[xx山東棗莊]如圖,在網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長均為1)中選取9個(gè)格點(diǎn)(格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)),若以A為圓心,r為半徑畫圓,選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi),則r的取值范圍為( )
A.22
0)個(gè)單位,若平移后得到的直線與半徑為6的☉O相交(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則m的取值范圍為 .
6.(9分)[xx湖北仙桃]如圖,在☉O中,AB為直徑,AC為弦.過BC延長線上一點(diǎn)G,作GD⊥AO于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,交☉O于點(diǎn)F,M是GE的中點(diǎn),連接CF,CM.
(1)判斷CM與☉O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求MF的長.
考點(diǎn)3 切線的性質(zhì)
7.[xx黑龍江哈爾濱]如圖,點(diǎn)P為☉O外一點(diǎn),PA為☉O的切線,A為切點(diǎn),PO交☉O于點(diǎn)B,∠P=30,OB=3,則線段BP的長為( )
A.3 B.33 C.6 D.9
(第7題) (第8題)
8.[xx山東泰安]如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB過圓心O,過點(diǎn)C的切線與邊AD所在直線垂直于點(diǎn)M,若∠ABC=55,則∠ACD等于( )
A.20 B.35 C.40 D.55
9.[xx江蘇連云港]如圖,AB是☉O的弦,點(diǎn)C在過點(diǎn)B的切線上,且OC⊥OA,OC交AB于點(diǎn)P,已知∠OAB=22,則∠OCB= .
(第9題) (第10題)
10.[xx浙江寧波]如圖,正方形ABCD的邊長為8,M是AB的中點(diǎn),P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),連接PM,以點(diǎn)P為圓心、PM的長為半徑作☉P.當(dāng)☉P與正方形ABCD的邊相切時(shí),BP的長為 .
11.(9分)[xx北京]如圖,AB是☉O的直徑,過☉O外一點(diǎn)P作☉O的兩條切線PC,PD,切點(diǎn)分別為C,D,連接OP,CD.
(1)求證:OP⊥CD;
(2)連接AD,BC.若∠DAB=50,∠CBA=70,OA=2,求OP的長.
12.(9分)[xx湖北隨州]如圖,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C為☉O上一點(diǎn),CN為☉O的切線,連接AC,BC,過點(diǎn)O作OM⊥AB,分別交AC,CN于D,M兩點(diǎn).
(1)求證:MD=MC;
(2)若☉O的半徑為5,AC=45,求MC的長.
考點(diǎn)4 切線的判定
13.(9分)[xx湖北黃石]如圖,已知A,B,C,D,E是☉O上五點(diǎn),☉O的直徑BE=23,∠BCD=120,A為BE的中點(diǎn),延長BA到點(diǎn)P,使BA=AP,連接PE.
(1)求線段BD的長;
(2)求證:直線PE是☉O的切線.
14.(9分)[xx江西]如圖,在△ABC中,O為AC上一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心、OC的長為半徑作圓,與BC相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD⊥BO,交BO的延長線于點(diǎn)D,且∠AOD=∠BAD.
(1)求證:AB為☉O的切線;
(2)若BC=6,tan∠ABC=43,求AD的長.
考點(diǎn)5 三角形的內(nèi)切圓和外接圓
15.[xx廣東廣州]如圖,☉O是△ABC的內(nèi)切圓,則點(diǎn)O是△ABC的( )
A.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
B.三條角平分線的交點(diǎn)
C.三條中線的交點(diǎn)
D.三條高的交點(diǎn)
16.[xx湖北武漢]已知一個(gè)三角形的三邊長分別為5,7,8,則其內(nèi)切圓的半徑為( )
A.32 B.32 C.3 D.23
17.[xx河北]如圖,點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心,AB=4,AC=3,BC=2.將∠ACB平移,使其頂點(diǎn)與點(diǎn)I重合,則圖中陰影部分的周長為( )
A.4.5 B.4
C.3 D.2
18.[xx山東臨沂]如圖,在△ABC中,∠A=60,BC=5 cm.能夠?qū)ⅰ鰽BC完全覆蓋的最小圓形紙片的直徑是 cm.
(第18題) (第19題)
19.[xx江蘇泰州]如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,B,P的坐標(biāo)分別為(1,0),(2,5),(4,2).若點(diǎn)C在第一象限內(nèi),且橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù),P是△ABC的外心,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .
20.(9分)[xx浙江溫州]如圖,D是△ABC的BC邊上一點(diǎn),連接AD,作△ABD的外接圓,將△ADC沿直線AD折疊,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在BD上.
(1)求證:AE=AB;
(2)若∠CAB=90,cos∠ADB=13,BE=2,求BC的長.
21.(9分)[xx江蘇南京]結(jié)果如此巧合!
下框中是小穎對(duì)一道題目的解答.
題目:如圖,Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積.
解:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC,BC相切于點(diǎn)E,F,CE的長為x,
根據(jù)切線長定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x,
根據(jù)勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2,
整理,得x2+7x=12,
所以S△ABC=12ACBC
=12(x+3)(x+4)
=12(x2+7x+12)
=12(12+12)
=12.
小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是34,即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎?
請(qǐng)你幫她完成下面的探索.
已知:△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D,AD=m,BD=n.
可以一般化嗎?
(1)若∠C=90,求證:△ABC的面積等于mn.
倒過來思考呢?
(2)若ACBC=2mn,求證:∠C=90.
改變一下條件……
(3)若∠C=60,用m,n表示△ABC的面積.
考點(diǎn)6 正多邊形和圓
22.[xx四川達(dá)州]以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形,則該三角形的面積是( )
A.22 B.32 C.2 D.3
23.[xx湖南株洲]如圖,正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是☉O的內(nèi)接多邊形,則∠BOM= .
24.[xx四川宜賓]劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一,他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”,即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計(jì)算圓的面積,設(shè)☉O的半徑為1,若用☉O的外切正六邊形的面積S來近似估計(jì)☉O的面積,則S= .(結(jié)果保留根號(hào))
1.[xx鄭州外國語模擬改編]如圖,☉O是△ABC的外接圓,弦AC的長為2,sin B=23,則☉O的直徑為( )
A.4 B.3 C.2 D.1
(第1題) (第2題)
2.[xx南陽地區(qū)模擬]如圖,☉O的半徑為2,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,連接OB,OC.若∠BAC與∠BOC互補(bǔ),則弦BC的長為( )
A.43 B.33 C.23 D.3
3.[xx江蘇泰州姜堰區(qū)二模改編]如圖,☉C經(jīng)過正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A,E,點(diǎn)P是優(yōu)弧AE上一點(diǎn),則∠APE= .
4.(9分)[xx洛陽二模]如圖,AB為☉O的直徑,CD切☉O于點(diǎn)D,AC⊥CD于點(diǎn)C,交☉O于點(diǎn)E,連接AD,BD,ED.
(1)求證:BD=ED;
(2)若CE=3,CD=4,求AB的長.
5.(9分)[xx平頂山二模]如圖,AB是☉O的直徑,且AB=6,點(diǎn)M為☉O外一點(diǎn),且MA,MC分別切☉O于點(diǎn)A,C.點(diǎn)D是直線BC與AM延長線的交點(diǎn).
(1)求證:DM=AM;
(2)填空:
①當(dāng)CM= 時(shí),四邊形AOCM是正方形;
②當(dāng)CM= 時(shí),△CDM為等邊三角形.
6.(9分)[xx安陽二模]如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)P是半圓上不與點(diǎn)A,B重合的動(dòng)點(diǎn),PC∥AB,點(diǎn)M是OP的中點(diǎn),連接AM并延長,交PC于點(diǎn)C,連接OC,BC,AP.
(1)求證:四邊形OBCP是平行四邊形;
(2)填空:
①當(dāng)∠BOP= 時(shí),四邊形AOCP是菱形;
②連接BP,當(dāng)∠ABP= 時(shí),PC是☉O的切線.
第三節(jié) 與圓有關(guān)的計(jì)算
考點(diǎn)1 弧長的計(jì)算
1.[xx湖北咸寧]如圖,☉O的半徑為3,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,連接OB,OD,若∠BOD=∠BCD,則BD的長為( )
A.π B.32π C.2π D.3π
(第1題) (第2題)
2.[xx山東煙臺(tái)]如圖,?ABCD中,∠B=70,BC=6,以AD為直徑的☉O交CD于點(diǎn)E,則DE的長為( )
A.13π B.23π C.76π D.43π
3.[xx甘肅蘭州A]如圖,△ABC的外接圓O的半徑為3,∠C=55,則劣弧AB的長是 .(結(jié)果保留π)
(第3題) (第4題)
4.[xx山東濰坊]如圖,點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2,0),過點(diǎn)A1作x軸的垂線,交直線l:y=3x于點(diǎn)B1,以原點(diǎn)O為圓心、OB1的長為半徑畫弧,交x軸的正半軸于點(diǎn)A2;再過點(diǎn)A2作x軸的垂線,交直線l于點(diǎn)B2,以原點(diǎn)O為圓心、OB2的長為半徑畫弧,交x軸的正半軸于點(diǎn)A3……按此作法進(jìn)行下去,則A2019B2018的長是 .
5.(9分)[xx湖北荊州]問題:已知α,β均為銳角,tan α=12,tan β=13,求α+β的度數(shù).
探究:
(1)用6個(gè)小正方形構(gòu)造如圖所示的網(wǎng)格圖(每個(gè)小正方形的邊長均為1),請(qǐng)借助這個(gè)網(wǎng)格圖求出α+β的度數(shù).
延伸:
(2)設(shè)經(jīng)過圖中M,P,H三點(diǎn)的圓弧與AH交于R,求MR的長度.
考點(diǎn)2 扇形面積的計(jì)算
6.[xx黑龍江哈爾濱]一個(gè)扇形的圓心角為 135,弧長為3π cm,則此扇形的面積是 cm2.
7.[xx山東日照]如圖,四邊形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以點(diǎn)B為圓心、BA為半徑的圓弧與BC交于點(diǎn)E,四邊形AECD是平行四邊形,AB=6,則圖中扇形的面積是 .
考點(diǎn)3 陰影部分面積的計(jì)算
8.[xx山西]如圖,正方形ABCD內(nèi)接于☉O,☉O的半徑為2,以點(diǎn)A為圓心,AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點(diǎn)E,交AD的延長線于點(diǎn)F,則圖中陰影部分的面積是( )
A.4π-4 B.4π-8
C.8π-4 D.8π-8
9.[xx山東萊蕪]如圖,在Rt△ABC中,∠BCA=90,∠BAC=30,BC=2,將Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到Rt△ADE,則BC掃過部分的面積為( )
A.π2 B.(2-3)π
C.2-32π D.π
10.[xx遼寧營口]如圖,將矩形ABCD繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90到矩形ABCD的位置,AB=2,AD=4,則陰影部分的面積為 .
(第10題) (第11題)
11.[xx湖北荊門]已知:如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,且半徑OC⊥AB,點(diǎn)D在半徑OB的延長線上,且∠A=∠BCD=30,AC=2,則陰影部分的面積為 .
12.[xx四川樂山]如圖,△OAC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),OA邊在x軸上,OA=2,AC=1,把△OAC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△OAC,使得點(diǎn)O的坐標(biāo)是(1,3),則在旋轉(zhuǎn)過程中線段OC掃過部分(陰影部分)的面積為 .
1.[xx南陽一模]如圖,在扇形AOB中,∠AOB=90,正方形OCED的頂點(diǎn)C,D分別在半徑OA,OB上,頂點(diǎn)E在AB上,以點(diǎn)O為圓心、OC的長為半徑作CD.若OA=2,則陰影部分的面積為( )
A.π B.π2 C.2 D.1
(第1題) (第2題)
2.[xx許昌二模]如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,將矩形ABCD繞頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到矩形ABCD,點(diǎn)A恰好落在矩形ABCD的邊CD上,則AD掃過的部分(即陰影部分)的面積為( )
A.π8 B.22-π2
C.2-π3 D.π6
3.[xx信陽二模改編]如圖,半徑為5的半圓的初始狀態(tài)是直徑平行于桌面上的直線b,然后半圓沿直線b進(jìn)行無滑動(dòng)滾動(dòng),使半圓的直徑與直線b重合,則圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的長度等于 .
4.[xx漯河二模]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=43,以點(diǎn)C為圓心,CB的長為半徑畫弧,與AB邊交于點(diǎn)D,將BD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180后點(diǎn)B與點(diǎn)A恰好重合,則圖中陰影部分的面積為 .
(第4題) (第5題)
5.[xx焦作一模]如圖,在圓心角為90的扇形AOB中,半徑OA=3,OC=AC,OD=12BD,F是弧AB的中點(diǎn).將△OCD沿CD折疊,點(diǎn)O落在點(diǎn)E處,則圖中陰影部分的面積為 .
6.[xx濰坊二模改編]如圖所示的圖形是由若干條圓心相同的圓弧組成,其圓心角為90,最小的扇形半徑為1.若每兩個(gè)相鄰圓弧的半徑之差為1,由里往外的陰影部分的面積依次記為S1,S2,S3,…,S20,則S1+S2+S3+…+S20= .
(第6題) (第7題)
7.[xx洛陽一模]如圖,在圓心角為90的扇形OAB中,半徑OA=2 cm,C為弧AB的中點(diǎn),D是OA的中點(diǎn),則圖中陰影部分的面積為 cm2.
8.[xx南陽宛城區(qū)二模]如圖,AC是半圓O的一條弦,將弧AC沿AC折疊后恰好過圓心O,☉O的半徑為2,則圖中陰影部分的面積為 .
(第8題) (第9題)
9.[xx平頂山三模]如圖,在△ABC中,∠C=90,AC=BC=8,點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn).以點(diǎn)B為圓心、BD的長為半徑作弧,交BC于點(diǎn)E;以點(diǎn)C為圓心、CD的長為半徑作弧,交AC于點(diǎn)F,則圖中陰影部分的面積為 .
10.[xx開封二模]運(yùn)用圖形變化的方法研究下列問題:如圖,EF是☉O的直徑,CD,AB是☉O的弦,且AB∥CD∥EF,EF=20,CD=16,AB=12.則圖中陰影部分的面積是 .
(第10題) (第11題)
11.[xx鄭州地區(qū)模擬]如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90,OA=3,OB=2,將Rt△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得Rt△FOE,將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得線段ED,連接AD,則圖中陰影部分面積是 .
參考答案
第一節(jié) 圓的基本性質(zhì)
AC,∴∠ABC=∠BCA=65,∴∠A=180-∠ABC-∠ACB=50,∴∠BDC=∠BAC=50.∵CD∥AB,∴∠ABD=∠BDC=50,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65-50=15.故選A.
3.D ∵2OB=AB≠AD,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;由垂徑定理可知,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),由圓周角定理及其推論可知,∠COB=2∠BAD=40,∴∠OCE=50,∴CE≠EO,故選項(xiàng)B,C錯(cuò)誤,選項(xiàng)D正確.
∴∠AEB=90.
∵AB=AC,
∴CE=BE.
又∵EF=AE,
∴四邊形ABFC是菱形.(3分)
(2)設(shè)CD=x,則AB=AC=7+x.
連接BD,
∵AB為半圓的直徑,
∴∠ADB=90,
∴AB2-AD2=CB2-CD2,
即(7+x)2-72=42-x2,
解得x1=1,x2=-8(舍去),(6分)
∴AB=7+x=7+1=8,
∴cos∠BAD=ADAB=78.(9分)
5.B ∵∠BOC=40,OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=12(180-40)=70,∴∠D=180-∠OBC=110.故選B.
6.D 如圖,作直徑BM,連接DM,BD,則∠BDM=90.∵∠BCD=120,∴∠A=60,∴∠M=60.又AB=AD=2,∴BD=2 .在Rt△BDM中,sin M=BDBM=2BM=32,∴BM=433,∴OB=12BM=233,故☉O的半徑長為233.故選D.
7.22 如圖,連接OA,OB,在優(yōu)弧AB上任取一點(diǎn)D,連接AD,BD.∵∠ACB=135,∴∠ADB=45,∴∠AOB=2∠ADB=90.∵OA=OB=2,∴AB=22.
8.100 連接AE.∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),∴∠AED=∠CED=40,∴∠AEC=80.∵四邊形ADCE是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠ADC+∠AEC=180,∴∠ADC=180-∠AEC=100.
9.如圖,連接BD,分別延長AD,BC交于點(diǎn)E.(1分)
∵∠A=90,∴BD是☉O的直徑,
∴∠ECD=∠BCD=90.
∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,
∴∠ABC+∠ADC=180.
∵∠ADC+∠EDC=180,
∴∠EDC=∠ABC,(3分)
∴cos∠EDC=cos∠ABC=35,
∴CDED=35,即10ED=35,
解得ED=503.(4分)
在Rt△EDC中,由勾股定理,得EC=ED2-CD2=403.(6分)
易得△ECD∽△EAB,
∴CDAB=ECEA,即1017=403EA,
解得EA=683,
∴AD=EA-ED=683-503=6.(9分)
模擬提升練
1.B 設(shè)OD交BC于點(diǎn)E.∵OD⊥BC,∴∠OEB=90,∵∠ABC=40,∴∠BOD=50,∴∠DCB=12∠BOD=25.故選B.
2.C 如圖,連接OC.∵∠AOB=160,∴∠AOC+∠BOC=360-∠AOB=200.∵∠D=12∠AOC,∠E=12∠BOC,∴∠D+∠E=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=100.故選C.
3.B ∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∠ABC=105,∴∠ADC=180-∠ABC=180-105=75.∵DF=BC,∠BAC=25,∴∠DCE=∠BAC=25,∴∠E=∠ADC-∠DCE=75-25=50.故選B.
4.A 如圖,連接OC,BC,過O作OE⊥AC于點(diǎn)D,交半圓O于點(diǎn)E.由折疊可知OD=12OE.∵AB是半圓O的直徑,∴∠ACB=90,∴OD∥BC.∵OA=OB,∴OD=12BC,∴BC=OE=OB=OC,∴∠COB=60,∴∠AOC=120,∴BC=12AC.故選A.
5.70 連接BE.∵∠DOE=40,∴∠ABE=12∠DOE=20.∵BC為☉O的直徑,∴∠BEA=∠BEC=90,∴∠A=90-∠ABE=90-20=70.
6.(1)證明:連接AC,EB,
則∠CAM=∠BEM.
又∵∠AMC=∠EMB,
∴△AMC∽△EMB,
∴AMEM=MCMB,即AMMB=EMMC.(4分)
(2)∵DC為☉O的直徑,且DC=42=8,
∴∠DEC=90,EC=DC2-DE2=82-(15)2=7.
∵OA=OB=4,M為OB的中點(diǎn),
∴AM=6,BM=2.
設(shè)EM=x,則CM=7-x.
由(1)知AMMB=EMMC,得62=x(7-x).
解得x1=3,x2=4.
∵EM>MC,
∴EM=4.(9分)
7.(1)證明:∵ED=EC,∴∠EDC=∠C.
∵四邊形ABED是☉O的內(nèi)接四邊形,
∴∠EDC=∠B,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.(3分)
(2)①43(7分)
②60(9分)
解法提示:①連接AE,∵AB為☉O的直徑,
∴AE⊥BC,
又∵AB=AC,
∴BE=EC.
∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,
∴△CDE∽△CBA,
∴CDCB=CEAC,即4BC=12BC6,
∴BC=43.
②∵四邊形ODEB是菱形,
∴OB=BE=OD=ED=OE,
∴∠BOE=∠EOD=60,
∴∠BOD=120,
∴∠A=60.
8.(1)∵∠BAC=60,
∴∠EOF=120.
過點(diǎn)O作OH⊥EF于點(diǎn)H,則EH=FH.
設(shè)OE=x,則OF=x,FH=EH=32x,
∴EF=3x,
∴EFOE=3.(3分)
(2)30(4分)
理由:∵四邊形OEDF是菱形,
∴OE=ED=DF=FO.
又∵OE=OD=OF,
∴OE=ED=DF=FO=OD,
∴∠OED=∠EOD=∠DOF=∠DFO=60.
∵AD是☉O的直徑,
∴∠DEA=∠DFA=90,
∴∠AEO=∠OFA=30,
又∵OE=OA=OF,
∴∠EAO=∠OAF=30.(7分)
(3)53(9分)
解法提示:由(1)可知EF=3OE=32AD,
故當(dāng)AD最短,即AD⊥BC時(shí),EF有最小值.
∵AB=102,∠B=45,AD⊥BC,
∴AD=1022=10,
∴EF的最小值為1032=53.
第二節(jié) 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
真題分點(diǎn)練
1.B 給各點(diǎn)標(biāo)上字母,如圖所示,則AB=22+22=22,AC=AD=42+12=17,AE=32+32=32,AF=52+22=29,AG=AM=AN=42+32=5,∴當(dāng)175,∴直線和圓相離.故選C.
5.00)個(gè)單位后得到的直線l所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-512x+m(m>0),設(shè)直線l與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,則A(125m,0),B(0,m),即OA=125m,OB=m.在Rt△OAB中,AB=OA2+OB2=14425m2+m2=135m,過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,∵S△ABO=12ODAB=12OAOB,∴12OD135m=12125m2,解得OD=1213m.由直線l與☉O相交可知1213m<6,解得m<132,即m的取值范圍為0
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河南省2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)
第六章
圓作業(yè)幫
河南省
2019
年中
數(shù)學(xué)
復(fù)習(xí)
第六
作業(yè)
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