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1、教材：《數(shù)學》選修2-1（人教板） 2.1.1 橢圓及其標準方程 第2課時教學設(shè)計 教材：《數(shù)學》選修2-1（人教板） 授課教師：東廈中學 吳毅銘 教材分析 本節(jié)課是“橢圓及其標準方程”是高中《數(shù)學》必修2.1.1第2節(jié)的內(nèi)容。承接上一節(jié)橢圓的定義與標準方程，學生已經(jīng)理解橢圓的定義與標準方程，但在運用上經(jīng)驗不足。 本節(jié)在對前面所學的內(nèi)容的鞏固的基礎(chǔ)上通過求動點軌跡進一步研究橢圓，同時鞏固了定義法并且介紹了求軌跡方程的另一種方法：直接法。也為進一步研究雙曲線、拋物線提供了一些探求模式。. 教學目標 知識技能 1．鞏固用定義法求動點軌跡方程，及其運用環(huán)境。 2．掌

2、握用直接法求動點軌跡過程，及其運用環(huán)境。 3．培養(yǎng)學生運用運動的觀點去解決數(shù)學的有關(guān)問題。 過程和方法 通過引導學生動點軌跡性質(zhì)的探究，尋找出解決問題的方法，并利用對現(xiàn)代化的媒體技術(shù)展示結(jié)果。 情感,態(tài)度與價值觀 通過教學初步培養(yǎng)學生分析問題，解決實際問題的能力，進一步增強學生數(shù)型結(jié)合的思想。以及通過師生雙邊活動，初步培養(yǎng)學生運用知識，加強理論聯(lián)系實際的能力，探索精神與扎實嚴謹?shù)目茖W作風.。 教學重點 掌握用定義法，直接法求動點軌跡過程，及其運用環(huán)境。以及它們的綜合運用。 教學難點 理解定義法，直接法求動點軌跡的運用環(huán)境，掌握幾何關(guān)系坐標化的過程。 學情分析 本節(jié)

3、課的學生已經(jīng)對曲線和方程的概念有了一些了解與運用的經(jīng)驗，對用坐標法研究幾何問題也有了初步的認識。但從對求軌跡方程的方法上，學生思維上會存在障礙。 教 學 過 程 流程 教師活動 學生行為 設(shè)計意圖 知識回顧 §教師利用多媒體演示的同時對學生的回答作作必要的補充、糾正。 【定義】 平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)(大于| F1F2|)的點的軌跡是橢圓。兩定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫橢圓的焦距。 橢圓的標準方程為：（注意焦點位置） 焦點在x軸上： 焦點在y軸上： 其中 §教師引導學生時要注意提醒學生當題目沒有交代清楚焦點位置所在時一定要分情

4、況討論。 學生集體回答 讓學生對所學的知識的進一步鞏固并為下面內(nèi)容作鋪墊。 復習鞏固 §教師利用多媒體演示題目 【復習鞏固1】 周長為16的三角形ABC，三條邊分別是AB，AC，BC,其中A點坐標為(0,3),B點坐標為(0,-3)。求則C點的軌跡方程。 §教師利用多媒體演示題目教師引導學生透過條件尋找到軌跡的相應模型并請一名學生口述解題過程。 解：周長為16的三角形中|AB|=6， |AC|+|BC|=10 C點軌跡在以A、B為焦點的橢圓上 §逐步演示，必要是給予幫助。 其方程可設(shè)為 其中a=5,c=3，則b=4， 依據(jù)題意c點不可以在y

5、軸上 所以c點軌跡方程為： §教師強調(diào)求軌跡方程后一定要記住檢驗特殊情形，并再次強調(diào)曲線與方程的關(guān)系。 §帶領(lǐng)學生回顧解題步驟并予以總結(jié)。 【小結(jié)1】 定義法 —— 處理“有形可尋”的軌跡 若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)，可用定義直接探求（具體方法是：1.判定曲線，2.設(shè)方程，3.求參數(shù)，4.檢驗） 集體活動：學生在教師引導下發(fā)現(xiàn)C點的軌跡 被提問的學生在教師的引導下口述解題過程 大部分學生在求解過程中會忘記檢驗方程的所有解是否都會滿足題目的要求，教師要及時作必要的補充、糾正。 對定義法的

6、再一次鞏固，明確使用定義法求軌跡方程用環(huán)境，透過對軌跡上特殊點的檢驗，強調(diào)方程與曲線的關(guān)系。 透過例題總結(jié)定義法的解題步驟。 流程 教師活動 學生行為 設(shè)計意圖 新課講解 §師：剛才我們利用“定義法”輕松地解決了一道與軌跡方程有關(guān)的題目，了解了“定義法”的運用環(huán)境，但是并不是所有的求軌跡方程的題目都適合用“定義法”來解決。引出例1，并用多媒體演示。 【例１】 如圖，A、B的坐標分別為（-5，0），（5，0）。直線AM與BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程。 §提出問題“如果不能很快找到軌跡相

7、應的模型時要怎么辦？引起學生好奇心。告訴學生當找不到相應軌跡模型時可以從其它方面尋找解決問題的切入點。 §關(guān)鍵是引導學生尋找?guī)缀侮P(guān)系（垂直，平行，距離等），通過利用坐標和方程把相應的幾何對象和幾何關(guān)系表示出來，然后對坐標和方程進行代數(shù)討論。逐步顯示過程。 解：設(shè)點M的坐標為（x,y），因為A的坐標為（-5，0）， 所以直線AM的斜率是， 同理可得BM的斜率是. 由已知有 化簡得 §在對方程的檢驗的同時再次強調(diào)曲線與方程的關(guān)系。用幾何畫板顯示結(jié)果。 §回顧例1的解答過程提取出解題方法并予以總結(jié)。 【小結(jié)2】 直接法 ——處理“無形有關(guān)系”的一類軌跡 若動

8、點軌跡的幾何特征，可直接通過動點的坐標間的代數(shù)關(guān)系表示出來，這類軌跡的方程可用直接法求解。（直接法求軌跡方程的一般步驟為：（1）建系（2）設(shè)點（3）列方程（4）化簡（5）檢驗） 【探究2】 如果把例1中“直線AM與BM斜率之積是”改成“斜率之積是m (m<0)時，當m變化時點M的軌跡有什么變化” §分組探究，教師可以提供m的若干個數(shù)據(jù)如：m = -0. 5，m = -1，m = -2等，由學生合作討論，并把得到的結(jié)果匯集，進一步引導學生發(fā)現(xiàn)“斜率之積”變化時對軌跡的影響，同時引導學生猜想出結(jié)論。 解：斜率之積 -0.5時 點M的軌跡為 斜率之積 -1時 點M的軌跡為

9、 斜率之積 -2時 點M的軌跡為 §利用幾何畫板把結(jié)果動態(tài)展現(xiàn)出來 （當“直線AM與BM斜率之積在（0，）時”點M的軌跡是焦點在x軸的橢圓；當“直線AM與BM斜率之積為-1時”點M的軌跡是圓，當“直線AM與BM斜率之積在（-1，）時”點M的軌跡是焦點在y軸的橢圓。） 【實踐】 §教師演示并說明鳥巢的某些支架結(jié)構(gòu)特征符合我們例題1的模型。 由于慣性思維的影響，學生讀完題目后會沿用“定義法”的思想嘗試尋找相應的軌跡模型。 在教師的引導下通過尋求另外的切入點：利用坐標和方程“翻譯” 幾何對象和幾何關(guān)系。

10、 分組探究，由學生合作討論，每個小組的一個學生完成一個相應的m值，分享結(jié)論并進一步猜想 “斜率之積”變化時對軌跡的影響效果。 承上啟下，引入新課。 透過例題讓學生體會直接法的解題過程。學習如何尋找?guī)缀侮P(guān)系，如何通過利用坐標和方程把相應的幾何對象和幾何關(guān)系表示出來，如何對得到的坐標和方程進行代數(shù)討論。明確直接法的解題環(huán)境。 以探究的形式激起學生的學習興趣 活動意義 (1)對直接法的鞏固訓

11、練。 (2)培養(yǎng)學生的團隊精神 (3)培養(yǎng)學生的數(shù)學探究能力 回歸現(xiàn)實，在生活中找到符合例題1的模型，讓學生體會到“數(shù)學是有用的” 流程 教師活動 學生行為 設(shè)計意圖 課堂練習 【練習1】 點A，B的坐標分別是（-1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之商是2，點M的軌跡是什么？為什么？ §提問一個學生回答，板書輔助求解過程要提示學生注意點的取舍。 所以點M的軌跡方程是 §教師予以解答結(jié)果的點評，回顧直接法的解題步驟，并再次強調(diào)求軌跡方程一定要注意檢驗。

12、 【練習2】 已知直線L過點A(4,0)且垂直于x軸，設(shè)動點M（x, y）到定點F(1,0)的距離和到直線L的距離的比是1/2. 問點M的軌跡是什么曲線？ §教師用多媒體平臺展示部分學生練習，并作出必要點評價，規(guī)范解題步驟。最后利用幾何畫板展示出動點軌跡。 解：設(shè)點M到直線L 的垂線段為 MH， 則∣MH∣=∣x-4∣，又 由題意即 所以 化簡得 故點M的軌跡是橢圓。 學生在教師引導下解題。 學生練習得出答案，進一步鞏固所學知識

13、。 得出結(jié)論后教師指雖然軌跡方程有時求出來的結(jié)論并不是我們想象中的那樣，但是我們要尊重邏輯推理的結(jié)果。此活動是對學生所學知識的進一步鞏固，并加深對軌跡方程的進一步認識。 鞏固所學知識。對學生的計算能力也是一種訓練。 體會橢圓的幾何特征有不同的表現(xiàn)形式。 流程 教師活動 學生行為 設(shè)計意圖 拓展延伸 【例2】 動圓P過定點A（-3，0），圓P在圓B內(nèi)部并且與圓B，內(nèi)切,求⊙P的圓心軌跡方程。 §引導學生尋找相應的幾何關(guān)系和幾何對象，利用所學知識建構(gòu)解決問題的途徑。 解1：由題意知圓B圓心在（3，0

14、），半徑為8，圓P上的點為 設(shè)圓P的方程為， 過定點A（-3，0）則 圓P在圓B內(nèi)部并且與圓B內(nèi)切 有 聯(lián)立兩式化簡得 §指出根據(jù)解題環(huán)境的不同，要選擇適當?shù)慕忸}工具。解析幾何本身就是一門幾何，引導學生從幾何關(guān)系中找到橢圓的定義并完成此道例題。幾何畫板展示出動點軌跡。注意提醒“兩定點和一動點”帶來的啟示。 解2：由題意知圓B圓心在（3，0），半徑R為8， |PA| = R |PB|= R - r |PA| + |PB|= R = 8 = 2a 設(shè)所求軌跡方程為 因為c=3可解得b2 = a2 - c2 =7

15、所以所求軌跡方程為 學生在引導下討論解決問題的方法。 學生在引導下再次挖掘幾何關(guān)系的深層含義，尋找新的切入點。 在解決問題的過程中指出直接法可以解決問題，但是計算量太大，應該更深刻地挖掘幾何關(guān)系尋找簡化問題方法的鑰匙。 體會定義法與直接法的各自使用特點。 流程 教師活動 學生行為 設(shè)計意圖 思考 【思考】 點A坐標為（-1，0），B坐標為（1，0），⊙A直徑為2 cm，⊙B直徑為6 cm，⊙P與⊙A外切，與⊙B內(nèi)切,求⊙P的圓心軌跡方程。

16、 本題作為課后延伸意在對學生水平的進一步提升，教師只作必要的點評和引導。 流程 教師活動 學生行為 設(shè)計意圖 課堂小結(jié) 定義法 n 若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 n 處理“有形可尋”的軌跡 n 判 設(shè) 求 檢 直接法 n 直接法 當動點所滿足的幾何關(guān)系已知或容易被找到時 ，將動點的坐標代入幾何關(guān)系（即將幾何關(guān)系坐標化），便可求出動點的軌跡方程。 n 處理“無形有關(guān)系”的軌跡 n 建系à設(shè)點à列方程à化簡à檢驗 對所學習知識的梳理和總結(jié)，鞏固所學知識。 課后作業(yè)

17、課本p50.2 p50.3 《教材訓練》橢圓部分b類題 便于及時了解學生學習效果，調(diào)整教學安排。 教案說明 本節(jié)課是“橢圓及其標準方程”是高中《數(shù)學》必修2.1.1第2課時的內(nèi)容。 教前準備為：ppt主講課件，幾何畫板輔助課件，多媒體展示臺，黑板。 計劃時間分配：本教案主要分為三大環(huán)節(jié)為：復習，新課，延伸。時間安排上計劃對應為：10分鐘，22分鐘，10分鐘以及3分鐘小結(jié)，共45分鐘。對大多數(shù)的面上中學的學生要留有足夠的時間讓學生演算，以提高其計算能力。 教學：教學過程中堅持“以學生為主體，以教師為主導”的原則，即“以學生活動為主，教師講述為輔，學生活動在前，教師點撥評價在后”的原則，根據(jù)學生的心理發(fā)展規(guī)律，聯(lián)系實際安排教學內(nèi)容，用探究以及多媒體的形式充分調(diào)動了學生的積極性，體現(xiàn)了以學生為主體的原則。而回歸現(xiàn)實，舉出奧運會運動場館“鳥巢”一例更體現(xiàn)了“數(shù)學是有用的”這句話。 筆者認為作為數(shù)學課，單純靠多媒體技術(shù)是不行的，在課堂教學中重要的推演還是要依賴傳統(tǒng)的教學工具：粉筆與黑板，因此在引導學生突破本節(jié)課的難點：如何把幾何關(guān)系坐標化以及辨認“定義法求軌跡方程”與“直接法求軌跡方程”的解題環(huán)境的時候用板演的形式代替多媒體教學，以期得到更好的效果。 2022年2月14日 第 8 頁 共 8頁