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2019-2020年高中物理 第1章 功和功率 第3節(jié) 功 率教學(xué)案 魯科版必修2 1．功率是標(biāo)量，反應(yīng)做功的快慢，可分為平均功率和瞬時(shí)功率。 2．平均功率表示力在一段時(shí)間內(nèi)做功的平均快慢程度，常用P＝進(jìn)行計(jì)算。若力F為恒力，也可用P＝Fcos α計(jì)算。 3．瞬時(shí)功率表示力在某一時(shí)刻做功的快慢程度，通常用P＝Fvcos α(α表示力F的方向與瞬時(shí)速度v的方向間的夾角)進(jìn)行計(jì)算。 4．在機(jī)車問題中，P＝Fv是指牽引力的功率，當(dāng)P一定時(shí)v與F成反比，當(dāng)v一定時(shí)P與F成正比。 一、功率的含義 1．定義 功W跟完成這些功所用時(shí)間t的比值。 2．定義式 P＝。 3．單位 在國(guó)際單位制中，功率的單位是瓦特，簡(jiǎn)稱瓦，用W表示。 4．物理意義 功率是標(biāo)量，它是表示物體做功快慢的物理量。 二、功率與力、速度的關(guān)系 1．關(guān)系式 2．平均功率和瞬時(shí)功率 定義 常用描述 平均功率 物體在一段時(shí)間內(nèi)做功的功率的平均值，它與某一段時(shí)間(或過程)有關(guān) P＝或P＝Fcos α(為t時(shí)間內(nèi)的平均速度) 瞬時(shí)功率 表示物體在某一時(shí)刻或某一狀態(tài)的功率。瞬時(shí)功率總與某一時(shí)刻或狀態(tài)相對(duì)應(yīng) P＝Fvcos_α(v為某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度) 3．額定功率和實(shí)際功率 (1)額定功率是機(jī)械可以長(zhǎng)時(shí)間工作的最大允許功率。一個(gè)機(jī)械的額定功率是一定的，機(jī)械工作時(shí)都要受額定功率的限制。 (2)實(shí)際功率是機(jī)械工作時(shí)實(shí)際輸出的功率，也就是發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的牽引力做功的功率，實(shí)際功率通常要小于或等于額定功率。 1．自主思考——判一判 (1)力越大，做功越快。() (2)功率越大表示做的功越多。() (3)功率表示做功的快慢。(√) (4)機(jī)械發(fā)動(dòng)機(jī)銘牌上的功率是指額定功率。(√) (5)額定功率一定大于實(shí)際功率。() 2．合作探究——議一議 (1)去過泰山的同學(xué)會(huì)遇到挑山工，假設(shè)挑山工和纜車將相同的貨物運(yùn)至山頂，兩者對(duì)貨物做的功相同嗎？做功的功率相同嗎？ 圖131 提示：兩者對(duì)貨物做的功都等于克服重力做的功，由于將相同的貨物運(yùn)往相同高度的山頂，兩者做相同的功，而用纜車運(yùn)送貨物所用時(shí)間遠(yuǎn)小于挑山工的用時(shí)，根據(jù)功率定義知纜車的做功功率遠(yuǎn)大于挑山工的做功功率。 (2)在越野比賽中，汽車爬坡時(shí)，常常換用低速擋，這是為什么？ 圖132 提示：由P＝Fv可知，汽車在上坡時(shí)需要更大的牽引力，而發(fā)動(dòng)機(jī)的額定功率是一定的，換用低速擋的目的是減小速度，進(jìn)而增大牽引力。 功率的理解與計(jì)算 公式P＝與P＝Fv的理解與應(yīng)用 定義式P＝ 計(jì)算式P＝Fv (1)P＝是功率的定義式，適用于任何情況下功率的計(jì)算，既適用于合力或某個(gè)力做功時(shí)功率的計(jì)算，也適用于恒力或變力做功時(shí)功率的計(jì)算 (2)P＝表示時(shí)間t內(nèi)的平均功率，只有當(dāng)物體做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，才等于瞬時(shí)功率 (1)P＝Fv是由W＝Fs及P＝聯(lián)立導(dǎo)出的，體現(xiàn)了P、F、v三個(gè)量的制約關(guān)系 (2)P＝Fv通常用來(lái)計(jì)算某一時(shí)刻或某一位置的瞬時(shí)功率，此時(shí)v是瞬時(shí)速度；若v是某段時(shí)間內(nèi)的平均速度，則計(jì)算的是該段時(shí)間內(nèi)的平均功率 (3)該式成立的條件是F、v同向，若不同向，應(yīng)用P＝Fvcos α進(jìn)行計(jì)算，其中α是F與v之間的夾角 [典例]　如圖133所示，在光滑的水平面上，質(zhì)量m＝3 kg的物體，在水平拉力F＝6 N的作用下，從靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過3 s運(yùn)動(dòng)了9 m。求： 圖133 (1)力F在3 s內(nèi)對(duì)物體所做的功； (2)力F在3 s內(nèi)對(duì)物體做功的平均功率； (3)在3 s末，力F對(duì)物體做功的瞬時(shí)功率。 [思路點(diǎn)撥]　解答本題可按以下思路分析： (1)確定力F作用下對(duì)應(yīng)的物體位移。 (2)求解3 s末物體的瞬時(shí)速度，由瞬時(shí)功率計(jì)算式求瞬時(shí)功率。 [解析]　(1)根據(jù)功的定義式W＝Fs得， 力F在3 s內(nèi)對(duì)物體做的功為W＝69 J＝54 J。 (2)由功率的定義式P＝得，力F在3 s內(nèi)對(duì)物體做功的平均功率為P＝ W＝18 W。 (3)在3 s末，物體的速度為v，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式s＝t可知，v＝＝6 m/s。因此，力F在3 s末對(duì)物體做功的瞬時(shí)功率為P＝Fv＝66 W＝36 W。 [答案]　(1)54 J　(2)18 W　(3)36 W 計(jì)算功率應(yīng)該注意的問題 (1)首先應(yīng)該明確所求的功率是平均功率還是瞬時(shí)功率，計(jì)算平均功率與瞬時(shí)功率選擇的公式不同。 (2)求平均功率時(shí)，尤其注意明確是哪一段時(shí)間內(nèi)的平均功率；求瞬時(shí)功率時(shí)，應(yīng)明確是哪一時(shí)刻的瞬時(shí)功率。 (3)應(yīng)該明確是哪一個(gè)力對(duì)物體做功的功率，是動(dòng)力還是阻力，是恒力還是變力等。不同情況的力，其做功情況會(huì)有所不同，功率的計(jì)算也會(huì)不同。 　　　　 1．質(zhì)量為m的物體從高處自由下落，經(jīng)時(shí)間t，重力對(duì)物體做功的平均功率為________，在t時(shí)刻重力對(duì)物體做功的瞬時(shí)功率為________。 解析：物體自由下落，t時(shí)刻速度為v＝gt，時(shí)間t內(nèi)物體的平均速度為＝＝gt，則在時(shí)間t內(nèi)重力對(duì)物體做功的平均功率＝mg＝mg2t，在t時(shí)刻重力做功的瞬時(shí)功率P＝mgv＝mg2t。 答案：mg2t　mg2t 2.如圖134所示，質(zhì)量m＝2 kg的物塊在傾角α＝37的光滑固定斜面頂端由靜止滑下，已知sin 37＝0.6，cos 37＝0.8，g取10 m/s2，求： 圖134 (1)前2 s內(nèi)重力做的功； (2)前2 s內(nèi)重力的平均功率； (3)2 s末重力的瞬時(shí)功率。 解析：(1)對(duì)物塊受力分析如圖所示，F(xiàn)合＝mgsin α， 由牛頓第二定律F＝ma得：a＝gsin α＝100.6 m/s2＝6 m/s2， 前2 s內(nèi)物塊的位移s＝at2＝622 m＝12 m， 前2 s內(nèi)重力做的功W＝mgssin α＝210120.6 J＝144 J。 (2)重力在前2 s內(nèi)的平均功率＝＝ W＝72 W。 (3)物塊2 s末的速度v＝at＝62 m/s＝12 m/s， 重力在2 s末的瞬時(shí)功率P＝mgvsin α＝210120.6 W＝144 W。 答案：(1)144 J　(2)72 W　(3)144 W 機(jī)車啟動(dòng)問題 1．機(jī)車以恒定功率啟動(dòng) 如圖135所示分別為機(jī)車以恒定功率啟動(dòng)過程中的速度、功率、牽引力隨時(shí)間變化的圖像。通過vt圖像可知，0～t1時(shí)間內(nèi)為變加速運(yùn)動(dòng)，t1時(shí)刻后為勻速運(yùn)動(dòng)。 圖135 2．機(jī)車以恒定加速度啟動(dòng) 如圖136所示分別為機(jī)車以恒定加速度啟動(dòng)過程中的速度、功率、牽引力隨時(shí)間變化的圖像。通過vt圖像可知，0～t1時(shí)間內(nèi)為勻加速運(yùn)動(dòng)，t1～t2時(shí)間內(nèi)為變加速運(yùn)動(dòng)，t2時(shí)刻后為勻速運(yùn)動(dòng)。 圖136 [典例]　某汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的額定功率為60 kW，汽車質(zhì)量為5 t，汽車在運(yùn)動(dòng)中所受阻力的大小恒為車重的0.1倍，g取10 m/s2。 (1)若汽車以額定功率啟動(dòng)，則汽車所能達(dá)到的最大速度是多少？當(dāng)汽車的速度為5 m/s時(shí)，其加速度是多少？ (2)若汽車以恒定的加速度0.5 m/s2啟動(dòng)，則這一過程能維持多長(zhǎng)時(shí)間？ [思路點(diǎn)撥]　解答有關(guān)機(jī)車的啟動(dòng)問題，關(guān)鍵是能夠正確理解機(jī)車啟動(dòng)過程中各個(gè)物理量的相互制約關(guān)系。 [解析]　(1)當(dāng)汽車的加速度為零時(shí)，汽車的速度v達(dá)到最大值vm，故最大速度為vm＝＝ m/s＝12 m/s 由P＝Fv，F(xiàn)－f＝ma可得速度v＝5 m/s時(shí)加速度為 a＝＝－＝m/s2 ＝1.4 m/s2。 (2)汽車以0.5 m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)所能達(dá)到的最大速度為 vm′＝＝＝ m/s＝8 m/s 由于這一過程中汽車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，滿足vm′＝v0＋a′t， 故這一過程能維持的時(shí)間為t＝＝ s＝16 s。 [答案]　(1)12 m/s　1.4 m/s2　(2)16 s 分析汽車啟動(dòng)類問題時(shí)，必須注意以下三點(diǎn)： (1)明確汽車的啟動(dòng)方式，是以恒定功率啟動(dòng)，還是以恒定加速度啟動(dòng)。 (2)抓住兩個(gè)基本公式：功率P＝Fv(P是汽車的實(shí)際功率，F(xiàn)是汽車的牽引力，v是汽車的速度)；根據(jù)牛頓第二定律有F－f＝ma(f是汽車受到的阻力)。 (3)正確分析汽車啟動(dòng)過程中各物理量在各個(gè)階段(如勻加速運(yùn)動(dòng)階段、變加速運(yùn)動(dòng)階段、勻速運(yùn)動(dòng)階段)的變化情況。 　　　　 1．假設(shè)摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。如果摩托艇發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出功率變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則摩托艇的最大速率變?yōu)樵瓉?lái)的(　　) A．4倍　　　　　　　　 　B．2倍 C. 倍 D. 倍 解析：選D　設(shè)f＝kv，當(dāng)阻力等于牽引力時(shí)，速度最大，輸出功率變化前，有P＝Fv＝fv＝kvv＝kv2，變化后有2P＝F′v′＝kv′v′＝kv′2，聯(lián)立解得v′＝v，D正確。 2．(多選)一輛小汽車在水平路面上由靜止啟動(dòng)，在前5 s內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，5 s末達(dá)到額定功率，之后保持額定功率運(yùn)動(dòng)，其vt圖像如圖137所示，已知汽車的質(zhì)量為m＝2103 kg，汽車受到地面的阻力為車重的0.1倍，g取10 m/s2，則(　　) 圖137 A．汽車在前5 s內(nèi)的牽引力為4103 N B．汽車在前5 s內(nèi)的牽引力為6103 N C．汽車的額定功率為60 kW D．汽車的最大速度為30 m/s 解析：選BCD　由vt圖像知，前5 s的加速度a＝＝2 m/s2，由牛頓第二定律知，前5 s的拉力F－kmg＝ma，得F＝(0.1210310＋21032)N＝6103 N，故B對(duì)、A錯(cuò)；又5 s末達(dá)到額定功率P＝Fv5＝610310 W＝6104 W＝60 kW，故C對(duì)；最大速度vmax＝＝ m/s＝30 m/s，故D對(duì)。 3．在水平路面上運(yùn)動(dòng)的汽車的額定功率為100 kW，質(zhì)量為10 t，設(shè)阻力恒定，且為車重的0.1倍，求：(g取10 m/s2) (1)汽車在運(yùn)動(dòng)過程中所能達(dá)到的最大速度。 (2)若汽車以0.5 m/s2的加速度從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，這一過程能維持多長(zhǎng)時(shí)間？ (3)若汽車以額定功率從靜止啟動(dòng)后，當(dāng)汽車的加速度為2 m/s2時(shí)，速度多大？ 解析：(1)當(dāng)汽車速度最大時(shí)，a1＝0，F(xiàn)1＝f，P＝P額，故vmax＝＝m/s＝10 m/s。 (2)汽車從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的過程中，a2不變，v變大，P也變大，當(dāng)P＝P額時(shí)，此過程結(jié)束。 F2＝f＋ma2＝(0.110410＋1040.5)N＝1.5104 N v2＝＝m/s≈6.7 m/s， 則t＝＝ s＝13.4 s。 (3)F3＝f＋ma3＝(0.110410＋1042)N＝3104 N v3＝＝m/s≈3.3 m/s。 答案：(1)10 m/s　(2)13.4 s　(3)3.3 m/s 1．關(guān)于功率，下列說法中正確的是(　　) A．功率是描述做功快慢的物理量，在國(guó)際單位制中，其單位是焦耳(J) B．功率是描述做功快慢的物理量，在國(guó)際單位制中，其單位是瓦特(W) C．功率是描述做功多少的物理量，在國(guó)際單位制中，其單位是焦耳(J) D．功率是描述做功多少的物理量，在國(guó)際單位制中，其單位是瓦特(W) 解析：選B　功率是表示做功快慢的物理量，功率越大，表示做功越快。功率的國(guó)際單位是瓦特，故B正確。 2．關(guān)于功率，下列說法中正確的是(　　) A．物體做功越快，其功率越大 B．物體做功越多，其功率越大 C．實(shí)際功率一定等于額定功率 D．由P＝可知，功率與時(shí)間成反比 解析：選A　功率是表示做功快慢的物理量，功率越大，做功越快，A對(duì)。物體做功多，用的時(shí)間很長(zhǎng)，功率也不大， B錯(cuò)。物體的實(shí)際功率可能小于或等于額定功率，也可能短時(shí)間內(nèi)大于額定功率，C錯(cuò)。由P＝可知，只有在做功一定的情況下，功率才與時(shí)間成反比，D錯(cuò)。 3．拖拉機(jī)耕地時(shí)一般比在道路上行駛時(shí)速度慢，這樣做的主要目的是(　　) A．節(jié)省燃料 B.提高拖拉機(jī)的功率 C．提高傳動(dòng)機(jī)械的效率 D.增大拖拉機(jī)的牽引力 解析：選D　拖拉機(jī)耕地時(shí)受到的阻力比在路面上行駛時(shí)大得多，根據(jù)P＝Fv，在功率一定的情況下，減小速度，可以獲得更大的牽引力，選項(xiàng)D正確。 4.在平直公路上以一定速率(約為5 m/s)行駛的自行車所受阻力為車和人總重量的0.02倍，如圖1所示，則騎車人的功率最接近于(車和人的總質(zhì)量約為100 kg)(　　) 圖1 A．0.1 kW B．1103 kW C．1 kW D．10 kW 解析：選A　因?yàn)檐囁賤＝5 m/s，騎車時(shí)的牽引力F＝f＝0.0210010 N＝20 N，所以功率P＝Fv＝205 W＝100 W，即0.1 kW，故A正確。 5．(多選)質(zhì)量為3 kg的物體，從高45 m處自由落下(g取10 m/s2)，那么在下落的過程中(　　) A．前2 s內(nèi)重力做功的功率為300 W B．前2 s內(nèi)重力做功的功率為675 W C．第2 s末重力做功的功率為600 W D．第2 s末重力做功的功率為900 W 解析：選AC　前2 s物體下落h＝ gt2＝20 m，重力做功的功率P1＝＝300 W，A對(duì)，B錯(cuò)；2 s末物體的速度v＝gt＝20 m/s，此時(shí)重力的功率P2＝mgv＝600 W，C對(duì)，D錯(cuò)。 6．某人用同一水平力F先后兩次拉同一物體，第一次使此物體沿光滑水平面前進(jìn)l距離，第二次使此物體沿粗糙水平面也前進(jìn)l距離，若先后兩次拉力做的功為W1和W2，拉力做功的功率是P1和P2，則(　　) A．W1＝W2，P1＝P2 B．W1＝W2，P1>P2 C．W1>W2，P1>P2 D．W1>W2，P1＝P2 解析：選B　由于拉力相同而又通過相同的位移，根據(jù)W＝Fl可知拉力對(duì)物體做的功一樣多，但由于沿光滑水平面前進(jìn)l距離所用時(shí)間短，所以P1>P2，故B正確。 7．關(guān)于功率公式P＝和P＝Fv的說法正確的是(　　) A．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意時(shí)刻的功率 B．由P＝Fv只能求某一時(shí)刻的瞬時(shí)功率 C．從P＝Fv知汽車的功率與它的速度成正比 D．從P＝Fv知當(dāng)汽車發(fā)動(dòng)機(jī)功率一定時(shí)，牽引力與速度成反比 解析：選D　公式P＝所計(jì)算的應(yīng)是時(shí)間t內(nèi)的平均功率，A錯(cuò)誤；在P＝Fv中，若v為平均速度，則P為平均功率，若v為瞬時(shí)速度，則P為瞬時(shí)功率，B錯(cuò)誤；公式P＝Fv涉及三個(gè)物理量之間的關(guān)系，因此必須在一個(gè)量確定不變時(shí)，才能判斷另外兩個(gè)物理量之間的關(guān)系，C錯(cuò)誤，D正確。 8．設(shè)飛機(jī)飛行中所受阻力與速率的平方成正比，如果飛機(jī)以速度v勻速飛行，其發(fā)動(dòng)機(jī)功率為P，則當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)功率為8P時(shí)，飛機(jī)飛行的速度為(　　) A．v B.2v C.4v D.8v 解析：選B　飛機(jī)勻速飛行時(shí)，應(yīng)有F＝F阻＝kv2，所以P＝Fv＝kv3，因此功率為8P時(shí)v′＝2v。B正確。 9．一小球以初速度v0水平拋出，不計(jì)空氣阻力，小球在空中運(yùn)動(dòng)的過程中重力做功的功率P隨時(shí)間t變化的圖像是(　　) 解析：選A　設(shè)經(jīng)過時(shí)間t速度大小為v，其方向與豎直方向(或重力方向)成θ角，由功率公式P＝Fvcos θ知，此時(shí)重力的功率P＝mgvcos θ＝mgvy＝mggt＝mg2t，所以A正確。 10. (多選)如圖2所示為一汽車在平直的公路上由靜止開始運(yùn)動(dòng)的速度圖像，汽車所受阻力恒定。圖中OA為一段直線，AB為一曲線，BC為一平行于時(shí)間軸的直線，則(　　) 圖2 A．OA段汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的功率是恒定的 B．OA段汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力恒定 C．AB段汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的功率可能是恒定的 D．BC段汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的功率是恒定的 解析：選BCD　OA為一段直線，說明OA段汽車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，牽引力不變，根據(jù)P＝Fv可知，速度增大，牽引力不變，功率增大，故A錯(cuò)誤，B正確；AB為一曲線，斜率逐漸減小，則加速度逐漸減小，牽引力減小，根據(jù)P＝Fv可知，牽引力減小，速度增大，功率可能不變，故C正確；BC為一平行于時(shí)間軸的直線，則汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，牽引力等于阻力，不變，速度也不變，根據(jù)P＝Fv可知，功率不變，故D正確。 11．一輛重5 t的汽車，發(fā)動(dòng)機(jī)的額定功率為80 kW。汽車從靜止開始以加速度a＝1 m/s2做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，車受的阻力為車重的0.06倍。(g取10 m/s2)求： (1)汽車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。 (2)汽車開始運(yùn)動(dòng)后5 s末和15 s末的瞬時(shí)功率。 解析：(1)設(shè)汽車做加速運(yùn)動(dòng)所能達(dá)到的最大速度為v，對(duì)汽車由牛頓第二定律得 F－f＝ma 即 －kmg＝ma，代入數(shù)據(jù)得v＝10 m/s 所以汽車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝＝10 s。 (2)由于10 s末汽車達(dá)到了額定功率，5 s末汽車還處于勻加速運(yùn)動(dòng)階段，瞬時(shí)功率為 P＝Fv＝(kmg＋ma)at＝(0.065 00010＋5 0001)15 W＝4104 W＝40 kW 15 s末汽車已經(jīng)達(dá)到了額定功率P額＝80 kW。 答案：(1)10 s　(2)40 kW　80 kW 12.近年來(lái)，被稱為“綠色環(huán)保車”的電動(dòng)車成了不少市民購(gòu)買的首選，電動(dòng)車在出廠時(shí)都要進(jìn)行檢測(cè)，在檢測(cè)某款電動(dòng)車性能的實(shí)驗(yàn)中，質(zhì)量為8102 kg的電動(dòng)車由靜止開始沿平直公路行駛，達(dá)到的最大速度為15 m/s，利用傳感器測(cè)得此過程中不同時(shí)刻電動(dòng)車的牽引力F與對(duì)應(yīng)的速度v，并描繪出F圖像，如圖3所示(圖中AB、BO均為直線)。假設(shè)電動(dòng)車行駛中所受阻力恒定，求此過程中： 圖3 (1)電動(dòng)車的額定功率； (2)電動(dòng)車由靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，速度達(dá)到2 m/s? 解析：由F圖像知，AB段對(duì)應(yīng)電動(dòng)車加速過程中保持牽引力F＝2 000 N恒定不變，即做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；BO段中直線的斜率k＝＝Fv保持恒定不變，對(duì)應(yīng)電動(dòng)車在這一階段以額定功率加速行駛。 (1)當(dāng)電動(dòng)車達(dá)到最大速度vmax＝15 m/s時(shí)，電動(dòng)車的牽引力F＝f＝400 N，其中f為地面對(duì)電動(dòng)車的阻力。 所以電動(dòng)車的額定功率 P＝fvmax＝40015 W＝6 000 W。 (2)電動(dòng)車勻加速行駛過程中的加速度 a＝＝ m/s2＝2 m/s2， 電動(dòng)車剛達(dá)到額定功率時(shí)其速度 v＝＝ m/s＝3 m/s， 之后它將做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)。 故當(dāng)電動(dòng)車的速度v′＝2 m/s時(shí)，正處于勻加速階段，則這一過程所用時(shí)間t＝＝ s＝1 s。 答案：(1)6 000 W　(2)1 s