《數(shù)學(xué)第七篇 立體幾何與空間向量 第7節(jié) 第一課時(shí) 證明平行和垂直 理 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第七篇 立體幾何與空間向量 第7節(jié) 第一課時(shí) 證明平行和垂直 理 新人教版（48頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第7 7節(jié)立體幾何中的向量方法節(jié)立體幾何中的向量方法考綱展示考綱展示1.1.理解直線的方向向量與理解直線的方向向量與平面的法向量平面的法向量. .2.2.能用向量語(yǔ)言表述線線、能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行和垂直線面、面面的平行和垂直關(guān)系關(guān)系, ,能用向量方法證明立能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理系的一些簡(jiǎn)單定理( (包括三包括三垂線定理垂線定理). ). 3.3.能用向量方法解決直線與直線、能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題的計(jì)算問(wèn)題, ,了解向量方法在研了解向量方法在研究立體

2、幾何中的應(yīng)用究立體幾何中的應(yīng)用. . 知識(shí)梳理自測(cè)知識(shí)梳理自測(cè)考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí) 知識(shí)梳理自測(cè)知識(shí)梳理自測(cè) 把散落的知識(shí)連起來(lái)把散落的知識(shí)連起來(lái)【教材導(dǎo)讀教材導(dǎo)讀】 1.1.直線的方向向量、平面的法向量都是唯一確定的嗎直線的方向向量、平面的法向量都是唯一確定的嗎? ?提示提示: :不是唯一確定不是唯一確定, ,一條直線的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè)一條直線的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè), ,平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè). .2.2.若空間向量若空間向量a a平行于平面平行于平面, ,則則a a所在直線與平面所在直線與平面平行嗎平行嗎? ?提示提示: :不一定不一定, ,也可能

3、在平面內(nèi)也可能在平面內(nèi), ,因?yàn)橄蛄渴亲杂上蛄恳驗(yàn)橄蛄渴亲杂上蛄? ,共線與平行是一種關(guān)共線與平行是一種關(guān)系系. .向量所在的直線可以在平面內(nèi)向量所在的直線可以在平面內(nèi), ,這樣的向量也是和平面平行的這樣的向量也是和平面平行的. .3.3.兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角嗎兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角嗎? ?提示提示: :不一定不一定, ,向量的夾角范圍為向量的夾角范圍為0,0,而兩直線的夾角為而兩直線的夾角為 0, 0, . .2知識(shí)梳理知識(shí)梳理 1.1.直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量和平面的法向量(1)(1)直線的方向向量直線的方向向量. .直線直線

4、l l上的向量上的向量e e或與或與e e共線的向量叫做直線共線的向量叫做直線l l的方向向量的方向向量, ,顯然一條直線的方向向量有顯然一條直線的方向向量有 個(gè)個(gè). .(2)(2)平面的法向量平面的法向量. .如果表示向量如果表示向量n n的有向線段所在直線垂直于平面的有向線段所在直線垂直于平面,則稱這則稱這個(gè)向量垂直于平面?zhèn)€向量垂直于平面,記作記作n n, ,此時(shí)向量此時(shí)向量n n叫做平面叫做平面的法向量的法向量. .顯然一個(gè)顯然一個(gè)平面的法向量有平面的法向量有 個(gè)個(gè), ,且它們是且它們是 向量向量. .2.2.直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法直線與平面、平面與平面的平行與垂直

5、的向量方法設(shè)直線設(shè)直線l l的方向向量為的方向向量為a a=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1).).平面平面,的法向量分別為的法向量分別為=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2),),v v=(a=(a3 3,b,b3 3,c,c3 3).).(1)(1)線面平行線面平行l(wèi)la aa a=0=0a a1 1a a2 2+b+b1 1b b2 2+c+c1 1c c2 2=0.=0.無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)共線共線(2)(2)線面垂直線面垂直lla aa a=k=ka a1 1=ka=ka2 2,b,b1 1=kb=kb2 2,c,c1 1=kc=kc2 2. .(3)(3)面面平行

6、面面平行v v=v va a2 2=a=a3 3,b,b2 2=b=b3 3,c,c2 2=c=c3 3. .(4)(4)面面垂直面面垂直v vv v=0=0a a2 2a a3 3+b+b2 2b b3 3+c+c2 2c c3 3=0.=0.a na n(3)(3)求二面角的大小求二面角的大小若若AB,CDAB,CD分別是二面角分別是二面角-l-l-的兩個(gè)面內(nèi)與棱的兩個(gè)面內(nèi)與棱l l垂直的異面直線垂直的異面直線, ,則二面則二面角的大小就是角的大小就是 的夾角的夾角( (如圖如圖(1).(1).設(shè)設(shè)n n1 1,n,n2 2分別是二面角分別是二面角- -l l- -的兩個(gè)面的兩個(gè)面,的法向

7、量的法向量, ,則向量則向量n n1 1與與n n2 2的夾的夾角角( (或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角) )的大小就是二面角的平面角的大小的大小就是二面角的平面角的大小( (如圖如圖(2)(3),(2)(3),其中圖其中圖(2)(2)中中向量夾角的大小即為二面角平面角向量夾角的大小即為二面角平面角, ,圖圖(3)(3)中則為其補(bǔ)角中則為其補(bǔ)角).).222121212()()()xxyyzz(3)(3)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距再用線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距再用(2)(2)中方法求解中方法求解. .AB nn 雙基自測(cè)雙基自測(cè) 1.1.若平面若平面的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為(1,2,0),(1,

8、2,0),平面平面的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為(2,-1,0),(2,-1,0),則平則平面面和平面和平面的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是( ( ) )(A)(A)平行平行(B)(B)相交但不垂直相交但不垂直(C)(C)垂直垂直(D)(D)重合重合C C解析解析: :由由(1,2,0)(1,2,0)(2,-1,0)=1(2,-1,0)=12+22+2(-1)+0(-1)+00=0,0=0,知兩平面的法向量互相知兩平面的法向量互相垂直垂直, ,所以兩平面互相垂直所以兩平面互相垂直. .2.2.已知平面已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)M(1,-1,2),M(1,-1,2),平面平面的一個(gè)法向量是的一個(gè)法向量是

9、n n=(6,-3,6),=(6,-3,6),則則下列點(diǎn)下列點(diǎn)P P在平面在平面內(nèi)的是內(nèi)的是( ( ) )(A)P(2,3,3)(A)P(2,3,3)(B)P(-2,0,1)(B)P(-2,0,1)(C)P(-4,4,0)(C)P(-4,4,0)(D)P(3,-3,4)(D)P(3,-3,4)A A3.3.如圖所示如圖所示, ,在正方體在正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,已知已知M,NM,N分別是分別是BDBD和和ADAD的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則則B B1 1M M與與D D1 1N N所成角的余弦值為所成角的余弦值為( ( ) )A A4.4.

10、導(dǎo)學(xué)號(hào)導(dǎo)學(xué)號(hào) 38486160 38486160 在正方體在正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E為為BBBB1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則平面則平面A A1 1EDED與平面與平面ABCDABCD所成的銳二面角的余弦值為所成的銳二面角的余弦值為( ( ) )B B5.5.在三棱錐在三棱錐P-ABCP-ABC中中,PA,PA平面平面ABC,BAC=90ABC,BAC=90,D,E,F,D,E,F分別是棱分別是棱AB,BC,CPAB,BC,CP的中的中點(diǎn)點(diǎn),AB=AC=1,PA=2,AB=AC=1,PA=2,則直線則直線PAPA與平面與平面D

11、EFDEF所成角的正弦值為所成角的正弦值為( ( ) )C C第一課時(shí)證明平行和垂直第一課時(shí)證明平行和垂直 考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí)在講練中理解知識(shí)考點(diǎn)一考點(diǎn)一 利用空間向量證明平行問(wèn)題利用空間向量證明平行問(wèn)題【例例1 1】 導(dǎo)學(xué)號(hào)導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702396 18702396 如圖所示如圖所示, ,在四棱錐在四棱錐P P- -ABCDABCD中中,PC,PC平面平面ABCD,PC=2,ABCD,PC=2,在四邊形在四邊形ABCDABCD中中,ABC=BCD=90,ABC=BCD=90,AB=4,CD=1,AB=4,CD=1,點(diǎn)點(diǎn)M M在在PBPB上上,PB=4PM,PB,PB=

12、4PM,PB與平面與平面ABCDABCD成成3030的角的角. .求證求證: :(1)CM(1)CM平面平面PAD;PAD;(2)(2)平面平面PABPAB平面平面PAD.PAD.反思?xì)w納反思?xì)w納 利用向量法證明平行問(wèn)題的三種方法利用向量法證明平行問(wèn)題的三種方法(1)(1)證明線線平行證明線線平行: :兩條直線的方向向量平行兩條直線的方向向量平行. .(2)(2)證明線面平行證明線面平行: :該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直; ;證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行; ;證明該直線的方向向量

13、可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示. .(3)(3)證明面面平行證明面面平行: :兩個(gè)平面的法向量平行兩個(gè)平面的法向量平行. .跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1:1:如圖所示如圖所示, ,在正方體在正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分別是分別是C C1 1C,BC,B1 1C C1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,求證求證:MN:MN平面平面A A1 1BD.BD.考點(diǎn)二考點(diǎn)二 利用空間向量證明垂直問(wèn)題利用空間向量證明垂直問(wèn)題【例例2 2】 導(dǎo)學(xué)號(hào)導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702397 18702397 如圖所

14、示如圖所示, ,在四棱錐在四棱錐P P- -ABCDABCD中中,PA,PA底面底面ABCD,ABABCD,ABAD,ACCD,ABC=60AD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E,PA=AB=BC,E是是PCPC的中點(diǎn)的中點(diǎn). .證明證明: :(1)AECD;(1)AECD;(2)PD(2)PD平面平面ABE.ABE.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2 2: :正三棱柱正三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1的所有棱長(zhǎng)都為的所有棱長(zhǎng)都為2,D2,D為為CCCC1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證求證:AB:AB1 1平平面面A A1 1BD.BD.證明證明: :如圖所示如圖所示, ,

15、取取BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn)O,O,連接連接AO.AO.因?yàn)橐驗(yàn)锳BCABC為正三角形為正三角形, ,所以所以AOBC.AOBC.因?yàn)樵谡庵驗(yàn)樵谡庵鵄BCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,平面平面ABCABC平面平面BCCBCC1 1B B1 1, ,所以所以AOAO平面平面BCCBCC1 1B B1 1. .考點(diǎn)三考點(diǎn)三 利用空間向量解決與垂直、平行有關(guān)的探索問(wèn)題利用空間向量解決與垂直、平行有關(guān)的探索問(wèn)題【例例3 3】 導(dǎo)學(xué)號(hào)導(dǎo)學(xué)號(hào) 38486162 (201638486162 (2016北京卷北京卷) )如圖如圖, ,在四棱錐在四棱錐P P- -ABCDABC

16、D中中, ,平面平面PADPAD平面平面ABCD,PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= .ABCD,PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= .(1)(1)求證求證:PD:PD平面平面PAB; PAB; 5(1)(1)證明證明: :因?yàn)槠矫嬉驗(yàn)槠矫鍼ADPAD平面平面ABCD,ABAD,ABCD,ABAD,所以所以ABAB平面平面PAD.PAD.所以所以ABPD.ABPD.又因?yàn)橛忠驗(yàn)镻APD,ABPA=A,PAPD,ABPA=A,所以所以PDPD平面平面PAB.PAB.(2)(2)解解: :取取ADAD的中點(diǎn)的中點(diǎn)O,O,連接連接PO,

17、CO.PO,CO.因?yàn)橐驗(yàn)镻A=PD,PA=PD,所以所以POAD.POAD.又因?yàn)橛忠驗(yàn)镻OPO平面平面PAD,PAD,平面平面PADPAD平面平面ABCD,ABCD,所以所以POPO平面平面ABCD.ABCD.因?yàn)橐驗(yàn)镃OCO平面平面ABCD,ABCD,所以所以POCO.POCO.因?yàn)橐驗(yàn)锳C=CD,AC=CD,所以所以COAD.COAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系如圖建立空間直角坐標(biāo)系O O- -xyz.xyz.由題意得由題意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0

18、),P(0,0,1).(2)(2)求直線求直線PBPB與平面與平面PCDPCD所成角的正弦值所成角的正弦值; ;(3)(3)在棱在棱PAPA上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)M,M,使得使得BMBM平面平面PCD?PCD?若存在若存在, ,求求 的值的值; ;若不存在若不存在, ,說(shuō)明理由說(shuō)明理由. .AMAP反思?xì)w納反思?xì)w納 立體幾何開(kāi)放性問(wèn)題求解方法有以下兩種立體幾何開(kāi)放性問(wèn)題求解方法有以下兩種(1)(1)根據(jù)條件做出判斷根據(jù)條件做出判斷, ,再進(jìn)一步論證再進(jìn)一步論證. .(2)(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在, ,并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件, ,根據(jù)題目進(jìn)行求解根據(jù)

19、題目進(jìn)行求解, ,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍, ,則存在則存在. .備選例題備選例題 【例例1 1】 如圖所示如圖所示, ,正方體正方體ABCDABCD- -ABCDABCD的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為1,E,F1,E,F分別是分別是BC,CDBC,CD上上的點(diǎn)的點(diǎn), ,且且BE=CF=a(0a1),BE=CF=a(0a1),則則DEDE與與BFBF的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是( () )(A)(A)平行平行(B)(B)垂直垂直(C)(C)相交相交(D)(D)與與a a值有關(guān)值有關(guān)【例例2 2】 如圖所示如圖所示,ABCD,ABCD是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為3 3的正方形的

20、正方形,DE,DE平面平面ABCD,AFDE,DE=3AF,ABCD,AFDE,DE=3AF,BEBE與平面與平面ABCDABCD所成角為所成角為6060. .(1)(1)求證求證:AC:AC平面平面BDE;BDE;(1)(1)證明證明: :因?yàn)橐驗(yàn)镈EDE平面平面ABCD,ABCD,所以所以DEAC.DEAC.因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蜛BCDABCD是正方形是正方形, ,所以所以ACBD.ACBD.又又BDDE=D,BDDE=D,從而從而ACAC平面平面BDE.BDE.(2)(2)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M M是線段是線段BDBD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn), ,試確定試確定M M的位置的位置, ,使得使得AMAM平面

21、平面BEF,BEF,并證明你的并證明你的結(jié)論結(jié)論. . 解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí) 把典型問(wèn)題的解決程序化把典型問(wèn)題的解決程序化審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)答題模板答題模板: :第一步第一步: :找到直線找到直線DHDH與平面與平面ABCDABCD內(nèi)的兩直線垂直內(nèi)的兩直線垂直; ;第二步第二步: :寫(xiě)出兩直線相交得出寫(xiě)出兩直線相交得出DHDH平面平面ABCD;ABCD;第三步第三步: :建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系, ,寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo); ;第四步第四步: :求出二面角兩半平面的法向量求出二面角兩半平面的法向量, ,求出兩法向量夾角的余弦值求出兩法向量夾角的余弦值; ;第五步第五步: :得出二面角的正弦值得出二面角的正弦值. .