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2019年高中數(shù)學(xué) 綜合檢測(cè) 新人教A版選修2-2
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．(xx山東魚臺(tái)一中高二期中)復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(2－i)2對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，
∴此復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(3，－4)，故選D.
2．曲線y＝4x－x3在點(diǎn)(－1，－3)處的切線方程是( )
A．y＝7x＋4 B．y＝x－4
C．y＝7x＋2 D．y＝x－2
[答案] D
[解析] y′|x＝－1＝(4－3x2)|x＝－1＝1，
∴切線方程為y＋3＝x＋1，即y＝x－2.
3．若函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)f ′(x)的圖象是( )
[答案] A
[解析] ∵f ′(x)＝2x＋b為增函數(shù)，∴排除B、D；
又f(x)的頂點(diǎn)在第四象限，
∴－>0，∴b<0，排除C，故選A.
4．(xx山東嘉祥一中高二期中)曲線y＝x3－3x和y＝x圍成圖形的面積為( )
A．4 B．8
C．10 D．9
[答案] B
[解析] 由解得或或
∵y＝x3－3x與y＝x都是奇函數(shù)，
∴圍成圖形的面積為
S＝2[x－(x3－3x)]dx＝2(4x－x3)dx＝|＝8，故選B.
5．(xx浙江余姚中學(xué)高二期中)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋ex＋xxx，令f1(x)＝f ′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1＝fn′(x)，則fxx(x)＝( )
A．sinx＋ex B．cosx＋ex
C．－sinx＋ex D．－cosx＋ex
[答案] C
[解析] f1(x)＝f ′(x)＝cosx＋ex＋xxx，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋xxxxx2011，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋xxxx2011xxx，……，∴fxx(x)＝－sinx＋ex.
6．(xx貴州湄潭中學(xué)高二期中)函數(shù)f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A. B．－1
C．0 D．1
[答案] D
[解析] 由f ′(x)＝3－12x2＝0得，x＝，∵x∈[0,1]，∴x＝，∵當(dāng)x∈[0，]，f ′(x)>0，當(dāng)x∈[，1]時(shí)，f ′(x)<0，∴f(x)在[0，]上單調(diào)遞增，在[，1]上單調(diào)遞減，故x＝時(shí)，f(x)取到極大值也是最大值，f()＝3－4()3＝1，故選D.
7．設(shè)x＝3＋4i，則復(fù)數(shù)z＝x－|x|－(1－i)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ∵x＝3＋4i，∴|x|＝＝5，
∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i
＝－3＋5i.
∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，故應(yīng)選B.
8．k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則k＋1棱柱的對(duì)角面?zhèn)€數(shù)f(k＋1)為( )
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
[答案] A
[解析] 增加的一條側(cè)棱與其不相鄰的k－2條側(cè)棱形成k－2個(gè)對(duì)角面，而過與其相鄰的兩條側(cè)棱的截面原來為側(cè)面，現(xiàn)在也成了一個(gè)對(duì)角面，故共增加了k－1個(gè)對(duì)角面，∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1.故選A.
9．(xx揭陽一中高二期中)函數(shù)y＝asinx＋sin3x在x＝處有極值，則a的值為( )
A．－6 B．6
C．－2 D．2
[答案] D
[解析] y′＝acosx＋cos3x，由條件知，acos＋cosπ＝0，∴a＝2，故選D.
10．(xx淄博市臨淄區(qū)檢測(cè))下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是( )
A．(2x)′＝x2x－1 B．(3ex)′＝3ex
C．(x2－)′＝2x－ D．()′＝
[答案] B
[解析] 對(duì)于A，(2x)′＝2xln2；對(duì)于B，(3ex)′＝3ex；對(duì)于C，(x2－)′＝2x＋；對(duì)于D，()′＝；綜上可知選B.
11．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…
0得，00，g(1)＝e－2a－b>0.
由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有
g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
解得e－20)，A3是線段A1A2的中點(diǎn)，A4是線段A2A3的中點(diǎn)，…An是線段An－2An－1的中點(diǎn)，….
(1)寫出xn與xn－1、xn－2之間的關(guān)系式(n≥3)；
(2)設(shè)an＝xn＋1－xn，計(jì)算a1、a2、a3，由此推測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并加以證明．
[解析] (1)由題意，當(dāng)n≥3時(shí)，xn＝(xn－1＋xn－2)
(2)x1＝0，x2＝a，x3＝(x2＋x1)＝，x4＝(x3＋x2)＝，
∴a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝－，a3＝x4－x3＝，
推測(cè)an＝.
方法一
證明：對(duì)于任意n∈N*，an＝xn＋1－xn，
an＋1＝xn＋2－xn＋1＝(xn＋1＋xn)－xn＋1＝－(xn＋1－xn)＝－an，
又∵a1＝a>0，∴{an}是以a為首項(xiàng)，以－為公比的等比數(shù)列．
故an＝a(－)n－1＝.
方法二
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a＝a(－)1－1，結(jié)論an＝成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N)時(shí)，an＝成立，即ak＝a(－)k－1，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝－xk＋1＝
＝－ak＝(－)a(－)k－1
＝a(－)(k＋1)－1，
所以n＝k＋1時(shí)，an＝成立．
由①②可知，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a(－)n－1，n∈N*.
22．(本題滿分14分)(xx貴州湄潭中學(xué)高二期中)設(shè)函數(shù)f(x)＝xlnx.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求f(x)在區(qū)間[，]上的最大值和最小值．
[解析] (1)由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)．
∵f(x)＝xlnx，∴f ′(x)＝lnx＋1，
令f ′(x)＝0，得x＝，
令f ′(x)>0，得x>，
令f ′(x)<0，得00時(shí)，a≥－－恒成立．
令＝t，x∈(0,1]，∴t≥1.
∴a≥t－4t2－3t3恒成立．
令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2＝(t＋1)(－9t＋1)，
∴函數(shù)g′(t)在[1，＋∞)上為減函數(shù)
而且g′(1)＝－16<0，
∴g′(t)<0在[1，＋∞)上恒成立．
∴g(t)在[1，＋∞)上是減函數(shù)，
∴g(t)max＝g(1)＝－6，∴a≥－6；
當(dāng)x<0時(shí)，a≤－－恒成立，
∵x∈[－2,0)，∴t≤－，
令g′(t)＝0得，t＝－1，
∴g(t)在(－∞，－1]上為減函數(shù)，在(－1，－]上為增函數(shù)，
∴g(t)min＝g(－1)＝－2，∴a≤－2.
綜上知－6≤a≤－2.
二、填空題
13．請(qǐng)閱讀下列材料：若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1、a2滿足a＋a＝1，那么a1＋a2≤.證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，從而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.類比上述結(jié)論，若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足a＋a＋…＋a＝1，你能得到的結(jié)論為________．
[答案] a1＋a2＋…＋an≤(n∈N*)
[解析] 構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，
∵f(x)≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，
∵a1，a2，…，an都是正數(shù)，∴a1＋a2＋…＋an≤.
14．對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解方式：
22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；
23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.
根據(jù)上述分解規(guī)律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19，m3(m∈N*)的分解中最小的數(shù)是21，則m＋n的值為________．
[答案] 15
[解析] 依題意得n2＝＝100，∴n＝10.
易知m3＝21m＋2，
整理得(m－5)(m＋4)＝0，
又m∈N*，所以m＝5，
即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m＋n＝15.
15．對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a、b，若a?b的運(yùn)算原理如圖所示，則?sinxdx＝________.
[答案]
[解析] ∵sinxdx＝－cosx|＝2>，
∴?sinxdx＝?2＝＝.
16．(xx天津紅橋區(qū)高二質(zhì)檢)已知結(jié)論“a1、a2∈R＋，且＋≥4：若a1、a2、a3∈R＋，且a1＋a2＋a3＝1，則＋＋≥9”，請(qǐng)猜想若a1、a2、…、an∈R＋，且a1＋a2＋…＋an＝1，則＋＋…＋≥________.
[答案] n2
[解析] 結(jié)論左端各項(xiàng)分別是和為1的各數(shù)ai的倒數(shù)(i＝1,2，…，n)，右端n＝2時(shí)為4＝22，n＝3時(shí)為9＝32，故ai∈R＋，a1＋a2＋…＋an＝1時(shí)，結(jié)論為＋＋…＋≥n2(n≥2)．
三、解答題
17．已知非零實(shí)數(shù)a、b、c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，求證：，，不可能構(gòu)成等差數(shù)列．
[解析] 假設(shè)，，能構(gòu)成等差數(shù)列，則得＝＋，于是得bc＋ab＝2ac. ①
而由于a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，即2b＝a＋c. ②
所以由①②兩式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，這與a，b，c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列矛盾．故假設(shè)不成立，因此，，不能構(gòu)成等差數(shù)列．
18．已知函數(shù)f(x)＝(2－a)x－2lnx，(a∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．
[解析] (1)由題可知f ′(x)＝2－a－(x>0)，
令f ′(x)＝0得2－a－＝0，∴x＝，
又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝1處取得極值，所以a＝0.
(2)①若a＝2，f ′(x)＝－<0(x>0)，f(x)＝－2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)；
②若2－a<0，即a>2時(shí)，f ′(x)＝2－a－在(0，＋∞)上小于0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；
③若2－a>0，即a<2時(shí)，當(dāng)x>時(shí)f ′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，01)，若a是從1、2、3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從2、3、4、5四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求f(x)>b恒成立的概率．
[解析] 若使f(x)>b恒成立，只需使ax＋－b>0在(1，＋∞)上恒成立．
設(shè)g(x)＝ax＋－b，則g′(x)＝a－
＝，
令g′(x)＝0，則a(x－1)2－1＝0，
解得：x＝＋1，
∴x∈(1，＋1)時(shí)，g′(x)<0，
x∈(＋1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0.
∴x＝＋1時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值為
g(＋1)＝2＋a＋1－b，
∴2＋a＋1－b>0，
∴當(dāng)a＝1時(shí)，b的值可以是2或3，
當(dāng)a＝2時(shí)，b的值可以是2或3或4或5，
當(dāng)a＝3時(shí)，b的值可以是2或3或4或5.
∴使f(x)>b恒成立的取法共有10種，而數(shù)對(duì)(a，b)的所有可能取法共有12種，
∴使f(x)>b恒成立的概率為P＝＝.
20．若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.
[解析] 要證lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc，
只需證lg>lg(abc)，
只需證>abc.
∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，
∴≥>0，≥>0，≥>0，
且上述三式中的等號(hào)不同時(shí)成立．
∴>abc.
∴l(xiāng)g＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.
21．已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋(a－1)lnx.
(1)若a>2，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)已知a＝1，g(x)＝2f(x)＋x3，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝g(n)，證明：＋＋…＋<(n≥2，n∈N＋)．
[解析] (1)可知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．有
f ′(x)＝x－a＋＝
＝，
因?yàn)閍>2，所以a－1>1.
故當(dāng)1a－1時(shí)f ′(x)>0.
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，a－1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,1)和(a－1，＋∞)上單調(diào)增加．
(2)由a＝1知g(x)＝x3＋x2－2x，所以Sn＝n3＋n2－2n.
可得an＝
∴an＝3n2－n－2(n≥2)．
所以＝(n≥2)．
因?yàn)?＝(－)，
所以＋＋…＋<[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(1－)＝－<，
綜上，不等式得證．
22．(xx揭陽一中高二期中)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2－2x(a<0)．
(1)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
(2)若a＝－且關(guān)于x的方程f(x)＝－x＋b在[1,4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(3)設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝lnan＋an＋2，n∈N*，求證：an≤2n－1.
[解析] (1)f ′(x)＝－(x>0)．
依題意f ′(x)≥0在x>0時(shí)恒成立，即ax2＋2x－1≤0在x>0時(shí)恒成立，
則a≤＝(－1)2－1在x>0時(shí)恒成立，
即a≤((－1)2－1)min (x>0)，
當(dāng)x＝1時(shí)，(－1)2－1取最小值－1，
∴a的取值范圍是(－∞，－1]．
(2)a＝－，f(x)＝－x＋b?x2－x＋lnx－b＝0.
設(shè)g(x)＝x2－x＋lnx－b(x>0)，則
g′(x)＝.
g(x)，g′(x)隨x的變化如下表：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,4)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
極大值
極小值
∴g(x)極小值＝g(2)＝ln2－b－2，g(x)極大值＝g(1)＝－b－，
又g(4)＝2ln2－b－2，
∵方程g(x)＝0在[1,4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．則
得ln2－2
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