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反比例函數(shù)綜合題 類型一 反比例函數(shù)與一次函數(shù)結合 ★1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y＝4(x＞0)x 的圖象與一次函數(shù) y＝kx－k 圖象的交點為 A(m，2)，一次函 數(shù)與 x 軸交于點 C. (1)求一次函數(shù)的解析式； (2)設一次函數(shù)y＝kx－k的圖象與y軸交于點B，若P是 x 軸上一點，且滿足△PAB 的面積是4，求出點 P 的坐標． 第 1 題圖 解：(1)將A(m，2)代入y＝4x(x＞0)得，m＝2， 則 A(2，2)， 將 A(2，2)代入 y＝kx－k 得，2k－k＝2， 解得 k＝2，則一次函數(shù)的解析式為 y＝2x－2； (2)∵一次函數(shù)y＝2x－2與x軸的交點為C(1，0)，與y軸的交點為 B(0，－2)，S△ABP＝S△ACP＋S△BPC， ∴122CP＋122CP＝4，解得CP＝2，則 P 點坐標為(3，0)或(－1，0)． ★2.如圖，已知一次函數(shù)y＝12x＋b的圖象與反比例函數(shù) k y＝x(x＜0)的圖象交于點 A(－1，2)和點 B，點 C 在 y 軸上． (1)當△ABC的周長最小時，求點C的坐標； (2)當1x＋b＜k時，請直接寫出x的取值范圍． 2 x ．．．． 第 2 題圖 解：(1)把點A(－1，2)分別代入y＝12x＋b與y＝kx中，解得 b＝52，k＝－2， ∴兩函數(shù)的解析式分別為：y＝12x＋52，y＝－2x， y＝12x＋52 聯(lián)立y＝－2x， x＝－1 x＝－4 解得 或 y＝1 ， y＝2 2 ∴點 B(－4，1)， 2 如解圖，作點 A(－1，2)關于 y 軸的對稱點 D，此時點 D 的坐 標為(1，2)，連接BD交y軸于 點 C，連接 AC，此時△ABC 的 周長最小． 設直線 BD 的解析式為 y＝k1x＋b1，將點 D(1，2)和點 B(－4， 12)分別代入，得 k1＋b1＝2 k1＝ 3 10 1，解得 17， －4k1＋b1＝2 b1＝10 ∴直線 BD 的解析式為：y＝103x＋1710， 當 x＝0時，y＝1710， ∴點 C(0，1710)； (2)當12x＋b＜kx，即12x＋52＜－2x時， x 的取值范圍為：x＜－4或－1＜x＜0. ★3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y＝kx(x＞0)的圖象 與直線 y＝x－2交于點 A(3，m)． (1)求k，m的值； (2)已知點P(n，n)(n＞0)，過點P作平行于x軸的直線，交直 線 y＝x－2于點 M，過點 P 作平行于 y 軸的直線，交函數(shù) y ＝kx(x＞0)的圖象于點N. ①當 n＝1時，判斷線段 PM 與 PN 的數(shù)量關系，并說明理由； ②若 PN≥PM，結合函數(shù)圖象，直接寫出 n 的取值范圍． 第 3 題圖 解:(1)將A(3,m)代入y=x-2,得m=1, ∴A(3,1), 將 A(3,1)代入 y=kx， 得 k=3; (2)①PM=PN.理由如下： ∵n=1, ∴P(1,1), 把 y=1代入 y=x-2，得 x=3, ∴M(3,1), ∴PM=2, 3 把 x=1代入 y=x，得 y=3,∴N(1,3), ∴PN=2, ∴PM= PN; ②n 的取值范圍為00, 3 ∴當 00,有 3 n -n≥2, ∴n2+2n-3=(n+3)(n-1)≤0, ∴0 3 時,n- n>0, 3 有 n-n≥2, ∴n2-2n-3=(n-3)(n+1)≥0, ∴n≥3. 綜上所述,n的取值范圍為 02. 【解法提示】由題圖可知，當－32 時，一次 函數(shù) y＝ax＋b 的圖象在反比例函數(shù) y＝kx的圖象下方，∴不等 式 ax＋b2. 類型二 反比例函數(shù)與幾何圖形結合 ★1.如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F(xiàn)是AB 上的一個動點(F不與A，B重合). 過點F的反比例函數(shù)y＝kx(k ＞0)的圖象與BC邊交于點E. (1)當F為AB的中點時，求該函數(shù)的解析式； (2)當k為何值時，△EFA的面積最大，最大面積是多少？ 第 1 題圖 解：(1)∵在矩形OABC中，F(xiàn)是AB的中點，OA＝3， OC＝2， ∴點 F(3，1)， 把點 F(3，1)代入 y＝kx中，得1＝k3，解得 k＝3， ∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝3x； (2)∵點E、F在反比例函數(shù)的圖象上， ∵點 E 的縱坐標為2，點 F 的橫坐標為3， ∴AF＝k3，CE＝k2， ∴BE＝3－k2， ∴S△EFA＝12AFBE＝12k3(3－k2)， 即 S△EFA＝－121k2＋12k＝－121(k－3)2＋34，∵－121<0，k＞0， ∴當 k＝3時，△EFA 的面積最大，最大面積為34. ★2.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反 比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限內的 A，B 兩點，與 x 軸 交于點 C，與 y 軸交于點 D，點 B 的坐標是(m，－4)，連接 AO，AO＝5，sin∠AOC＝35. (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)連接OB，求△AOB的面積． 第 2 題圖 解：(1)如解圖，過點A作AE⊥x軸于點E， ∵OA＝5，sin∠AOC＝35， ∴AE＝OAsin∠AOC＝535＝3， ∴OE＝OA2－AE2＝4， ∴點 A(－4，3)， 設反比例函數(shù)的解析式為 y＝kx(k≠0)， 把點 A(－4，3)代入解析式，解得 k＝－12， ∴反比例函數(shù)的解析式為 y＝－12x； (2)把點B(m，－4)代入y＝－12x中，解得m＝3， ∴點 B(3，－4)． 設直線 AB 的解析式為：y＝kx＋b， 把點 A(－4，3)和 B(3，－4)分別代入得， －4k＋b＝3 k＝－1 3k＋b＝－4，解得b＝－1，∴直線AB的解析式為：y＝－x－1， 則 AB 與 y 軸的交點 D(0，－1)， ∴S△AOB＝S△AOD＋S△BOD＝1214＋1213＝3.5. 第 2 題解圖 ★3.如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點C 與原點 O 重合，點 B 在 y 軸的正半軸上，點 A 在函數(shù) y＝kx(k>0， x>0)的圖象上，點 D 的坐標為(4，3)． (1)求k的值； (2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移，當菱形的頂點D落在函數(shù) y＝kx(k>0，x>0)的圖象上時，求菱形 ABCD 沿 x 軸正方向平移的距離． 第 3 題圖 解：(1)如解圖，過點D作x軸的垂線，垂足為點 F，易知點 A 在直線 FD 上， ∵點 D 的坐標為(4，3)， ∴OF＝4，DF＝3，第3題解圖∴OD＝5， ∵四邊形 ABCD 為菱形， ∴AD＝OD＝5， ∴點 A 的坐標為(4，8)， ∴k＝xy＝48＝32； (2)將菱形ABCD沿x軸正方向平移，使得點D落在函數(shù) y＝32x(x＞0)的圖象 D′點處，如解圖，過點 D′作 x 軸的垂線，垂足為 F′. ∵DF＝3，∴D′F′＝3， ∴點 D′的縱坐標為3. ∵點 D′在 y＝32x的圖象上， ∴32x＝3，解得x＝323， 即 OF′＝323， ∴FF′＝OF′－OF＝323－4＝203，∴菱形 ABCD 平移的距離為203. ★4.如圖，函數(shù)y＝kx的圖象過點A(1，2)． (1)求該函數(shù)的解析式； (2)過點A分別向x軸和y軸作垂線，垂足為B和C，求 四邊形 ABOC 的面積； (3)求證：過此函數(shù)圖象上任一點分別向x軸和y軸作垂 線，這兩條垂線與兩坐標軸所圍成矩形的面積為定值． 第 4 題圖 (1)解：把點A(1，2)代入y＝kx中，解得k＝2， ∴該函數(shù)的解析式為 y＝2x； (2)解：∵AC⊥y軸，AB⊥x軸，∠BOC＝90， ∴四邊形 ABOC 是矩形， 又∵A(1，2)，∴OB＝1，AB＝2， ∴S 四邊形ABOC＝OBAB＝12＝2； 第 4 題解圖 (3)證明：設點M(a，b)是反比例函數(shù)圖象上的一點，如解圖，過點 M 作 MN⊥x 軸于點 N，作 MP⊥y 軸于點 P， 則 MN＝|b|，MP＝|a|，(6分) ∴S 矩形OPMN＝ONOP＝|a||b|＝|ab|，∵點 M(a，b)在反比例函數(shù)的圖象上， 則有 b＝2a，即 ab＝2, ∴S＝|ab|＝2，∴結論得證． ★5.如圖，在平面直角坐標系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于 點 C，點 A(3，1)在反比例函數(shù)y＝kx的圖象上． (1)求反比例函數(shù)y＝kx的表達式； (2)在x軸的負半軸上存在一點P，使得S△AOP＝12S△AOB，求點 P 的坐標； (3) 若將△BOA 繞點 B 按逆時針方向旋轉60得到 △BDE，點 E 與點 A 對應，直接寫出點 E 的坐標，并判斷點 E 是否在該反比例函數(shù)的圖象上，說明理由． 第 5 題圖 解：(1)∵點A(3，1)在反比例函數(shù)y＝kx的圖象上， ∴k＝31＝3， ∴反比例函數(shù)的表達式為 y＝x3； (2)∵A(3，1)， ∴OC＝3，AC＝1， 易證△AOC∽△OBC ，可得 OC2＝ACBC ，即(3 )2＝ 1BC， ∴BC＝3，∴B(3，－3)， ∴S△AOB＝12OCAB＝1234＝23， ∵S△AOP＝12S△AOB＝3， 設 P(m，0)，∴12|m|1＝3， ∴|m|＝23， ∵P 是 x 軸的負半軸上一點，∴m＝－23， ∴P 點坐標為(－23，0)； (3)E(－3，－1)，點E在反比例函數(shù)y＝x3上，理由如下： ∵(－3)(－1)＝3， ∴點 E 在反比例函數(shù)圖象上．