安徽省2019年中考數(shù)學一輪復習 第二講 空間與圖形 第四章 三角形 4.4 相似三角形測試.doc
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4.4 相似三角形 [過關演練] (40分鐘 90分) 1.已知ab=23,那么aa+b的值為 (B) A.13 B.25 C.35 D.34 【解析】因為ab=23,設a=2k,則b=3k,則原式=2k2k+3k=25. 2.若△ABC∽△DEF,相似比為3∶2,則對應高的比為 (A) A.3∶2 B.3∶5 C.9∶4 D.4∶9 【解析】因為△ABC∽△DEF,根據(jù)相似三角形的性質“相似三角形對應高之比等于相似比”可得對應高的比為3∶2. 3.如圖,AD∥BE∥CF,直線l1,l2與這三條平行線分別交于點A,B,C和點D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,則EF的長為 (C) A.4 B.5 C.6 D.8 【解析】∵AD∥BE∥CF,∴ABBC=DEEF,∵AB=1,BC=3,DE=2,∴13=2EF,解得EF=6. 4.如圖,以點O為位似中心,將△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,則△ABC與△DEF的面積之比為 (B) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶6 【解析】∵以點O為位似中心,將△ABC放大得到△DEF,AD=OA,∴OA∶OD=1∶2,∴△ABC與△DEF的面積之比為1∶4. 5.(xx哈爾濱)如圖,在△ABC中,點D在BC邊上,連接AD,點G在線段AD上,GE∥BD,且交AB于點E,GF∥AC,且交CD于點F,則下列結論一定正確的是 (D) A.ABAE=AGAD B.DFCF=DGAD C.FGAC=EGBD D.AEBE=CFDF 【解析】∵GE∥BD,GF∥AC,∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,∴AEAB=AGAD,DGDA=DFDC,∴AEBE=AGDG=CFDF. 6.(xx浙江紹興)學校門口的欄桿如圖所示,欄桿從水平位置BD繞點O旋轉到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,則欄桿C端應下降的垂直距離CD為 (C) A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m 【解析】∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABO=∠CDO=90,又∵∠AOB=∠COD,∴△ABO∽△CDO,則AOCO=ABCD,∵AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,∴41=1.6CD,解得CD=0.4 m. 7.將三角形紙片ABC按如圖所示的方式折疊,使點C落在AB邊上的點D,折痕為EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以點B,D,F為頂點的三角形與△ABC相似,那么CF的長度是 (D) A.2 B.125或2 C.127 D.127或2 【解析】∵△ABC沿EF折疊,點C和點D重合,∴FD=CF,設CF=x,則BF=4-x,以點B,D,F為頂點的三角形與△ABC相似,分兩種情況:①若∠BFD=∠C,則△BDF∽△BAC,FDBF=ACBC,即x4-x=34,解得x=127;②若∠BFD=∠A,則△BDF∽△BCA,FDBF=ACAB=1,即x4-x=1,解得x=2.綜上,CF的長為127或2. 8.如圖,在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC=1,E,F為線段AB上兩動點,且∠ECF=45,過點E,F分別作BC,AC的垂線相交于點M,垂足分別為H,G.現(xiàn)有以下結論:①AB=2;②當點E與點B重合時,MH=12;③AF+BE=EF;④MGMH=12.其中正確的是 (C) A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 【解析】由題意知,△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC2+BC2=2,故①正確;如圖1,當點E與點B重合時,點H與點B重合,∴MB⊥BC,∠MBC=90,∵MG⊥AC,∴∠MGC=90=∠ACB=∠MBC,∴MG∥BC,四邊形MGCB是矩形,∴MH=MB=CG,∵∠ECF=45=∠ABC,∠A=∠ACF=45,∴CF=AF=BF,∴FG是△ACB的中位線,∴MH=GC=12AC=12,故②正確;如圖2所示,∵AC=BC,∠ACB=90,∴∠A=∠5=45,將△ACF繞點C順時針旋轉90至△BCD,則CF=CD,∠1=∠4,∠6=∠A=45,BD=AF,∵∠2=45,∴∠1+∠3=∠3+∠4=45,∴∠DCE=∠2,在△ECF和△ECD中,CF=CD,∠2=∠DCE,CE=CE,∴△ECF≌△ECD(SAS),∴EF=DE.∵∠5=45,∴∠EBD=90,∴DE2=BD2+BE2,即EF2=AF2+BE2,故③錯誤;如圖2,∵∠7=∠1+∠A=∠1+45=∠1+∠2=∠ACE,又∵∠A=∠5=45,∴△ACE∽△BFC,∴AEBC=ACBF,∴AEBF=ACBC=1,由題意知四邊形CHMG是矩形,∴MG∥BC,MH=CG,MH∥AC,∴CHBC=AEAB,CGAC=BFAB,即MG1=AE2,MH1=BF2,∴MG=22AE,MH=22BF,∴MGMH=22AE22BF=12AEBF=12ACBC=12,故④正確. 9.已知線段a,b,c,其中a=4,c=9,那么a和c的比例中項b= 6 . 【解析】∵b是a,c的比例中項,∴b2=ac,即b2=36,∴b=6(負數(shù)舍去). 10.如圖,在△ABC中,AB≠AC,D,E分別為邊AB,AC上的點,AC=3AD,AB=3AE,點F為BC邊上一點,添加一個條件 本題答案不唯一,如∠A=∠BDF,∠A=∠BFD,∠ADE=∠BFD,∠ADE=∠BDF,DF∥AC,BDAE=BFED,BDDE=BFAE ,可以使得△FDB與△ADE相似.(只需寫出一個) 【解析】∵AC=3AD,AB=3AE,∴ADAC=AEAB=13,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴∠AED=∠B.故要使△FDB與△ADE相似,只需再添加一組對應角相等,或夾角的兩邊對應成比例即可. 11.如圖,在△ABC中,D是AB的中點,點E在BC的延長線上,且BC=CE,連接DE交AC于點F,則AF∶CF= 2∶1 . 【解析】取DE的中點G,連接CG,∵BC=CE,∴CG∥AB,BD∶CG=2∶1,∵BD=AD,∴AD∶CG=2∶1,又△ADF∽△CGF,∴AF∶CF=2∶1. 12.(xx山東泰安)《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作,在“勾股”章中有這樣一個問題:“今有邑方二百步,各中開門,出東門十五步有木,問:出南門幾步面見木?” 用今天的話說,大意是:如圖,四邊形DEFG是一座邊長為200步(“步”是古代的長度單位)的正方形小城,東門H位于GD的中點,南門K位于ED的中點,出東門15步的A處有一樹木,求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木(即點D在直線AC上)?請你計算KC的長為20003 步. 【解析】DH=100,DK=100,AH=15,∵AH∥DK,∴∠CDK=∠A,而∠CKD=∠AHD,∴△CDK∽△DAH,∴CKDH=DKAH,即CK100=10015,∴CK=20003. 13.(8分)如圖,平行四邊形ABCD的對角線相交于點O,點E在邊BC的延長線上,且OE=OB,連接DE. (1)求證:DE⊥BE; (2)如果OE⊥CD,求證:BDCE=CDDE. 解:(1)∵OB=OE,∴∠OEB=∠OBE. ∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OB=OD,∴OD=OE, ∴∠OED=∠ODE. ∵在△BED中,∠OEB+∠OBE+∠OED+∠ODE=180, ∴∠OEB+∠OED=90,即∠BED=90,∴DE⊥BE. (2)設OE交CD于點H. ∵OE⊥CD于點H,∴∠CHE=90, ∴∠CEH+∠HCE=90,∴∠CDE=∠CEH. ∵∠OEB=∠OBE, ∴∠OBE=∠CDE. 在△CED與△DEB中,∠CED=∠DEB,∠CDE=∠DBE, ∴△CED∽△DEB, ∴CEDE=CDDB,即BDCE=CDDE. 14.(10分)已知Rt△ABC中,∠B=90,AC=20,AB=10,P是邊AC上一點(不包括端點A,C),過點P作PE⊥BC于點E,過點E作EF∥AC,交AB于點F.設PC=x,PE=y. (1)求y與x的函數(shù)關系式. (2)是否存在點P使△PEF是直角三角形?若存在,求此時的x的值;若不存在,請說明理由. 解:(1)在Rt△ABC中,∠B=90,AC=20,AB=10, ∴sin C=12, ∵PE⊥BC于點E,∴sin C=PEPC=12, ∵PC=x,PE=y, ∴y=12x(0
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