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課時訓(xùn)練(十八)　特殊三角形 (限時:40分鐘) |夯實基礎(chǔ)| 1.等腰三角形的一邊長等于5,另一邊長等于10,則它的周長是 (　　) A.20 B.25 C.20或25 　D.15 2.[xx湖州] 如圖K18-1,AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線,若AB=AC,∠CAD=20,則∠ACE的度數(shù)是 (　　) 圖K18-1 A.20 B.35 C.40 D.70 3.[xx郴州] 如圖K18-2,∠AOB=60,以點O為圓心,以任意長為半徑作弧交OA,OB于C,D兩點;分別以C,D為圓心,以大于12CD的長為半徑作弧,兩弧相交于點P;以O(shè)為端點作射線OP,在射線OP上截取線段OM=6,則M點到OB的距離為 (　　) 圖K18-2 A.6 B.2 C.3 D.33 4.[xx黃岡] 如圖K18-3,在△ABC中,DE是AC的垂直平分線,且分別交BC,AC于點D和E,∠B=60,∠C=25,則∠BAD為 (　　) 圖K18-3 A.50 B.70 C.75 D.80 5.[xx淄博] 如圖K18-4,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點M,過點M作MN∥BC交AC于點N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長為 (　　) 圖K18-4 A.4 B.6 C.43 D.8 6.[xx包頭] 如圖K18-5,在△ABC中,AB=AC,△ADE的頂點D,E分別在BC,AC上,且∠DAE=90,AD=AE.若∠C+∠BAC=145,則∠EDC的度數(shù)為 (　　) 圖K18-5 A.17.5 　　　B.12.5 C.12 　　　D.10 7.關(guān)注數(shù)學(xué)文化 [xx長沙] 我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目:“問有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何?”這道題講的是:有一塊三角形沙田,三條邊長分別為5里,12里,13里,問這塊沙田面積有多大?題中的“里”是我國市制長度單位,1里=500米,則該沙田的面積為 (　　) A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 8.[xx青島] 如圖K18-6,三角形紙片ABC,AB=AC,∠BAC=90,點E為AB中點.沿過點E的直線折疊,使點B與點A重合,折痕EF交BC于點F.已知EF=32,則BC的長是 (　　) 圖K18-6 A.322 B.32 C.3 D.33 9.[xx長春] 如圖K18-7,在△ABC中,AB=AC.以點C為圓心,以CB長為半徑作圓弧,交AC的延長線于點D,連接BD.若∠A=32,則∠CDB的大小為　　　　度. 圖K18-7 10.關(guān)注數(shù)學(xué)文化 [xx湘潭] 《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一,在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?”翻譯成數(shù)學(xué)問題是:如圖K18-8所示,△ABC中,∠ACB=90,AC+AB=10,BC=3,求AC的長.如果設(shè)AC=x,則可列方程為　　　　. 圖K18-8 11.[xx曲靖] 如圖K18-9,在△ABC中,AB=13,BC=12,點D,E分別是AB,BC的中點,連接DE,CD.如果DE=2.5,那么△ACD的周長是　　　　. 圖K18-9 12.[xx連云港] 如圖K18-10,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,且AD=AE,連接BE,CD,交于點F. (1)判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由; (2)求證:過點A,F的直線垂直平分線段BC. 圖K18-10 13.[xx內(nèi)江] 如圖K18-11,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足為D,DE∥AC. 求證:△BDE是等腰三角形. 圖K18-11 |拓展提升| 14.[xx玉林] 如圖K18-12,∠AOB=60,OA=OB,動點C從點O出發(fā),沿射線OB方向移動,以AC為邊在右側(cè)作等邊三角形ACD,連接BD,則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是 (　　) 圖K18-12 A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直 15.[xx湖州] 如圖K18-13,已知在△ABC中,∠BAC>90,點D為BC的中點,點E在AC上,將△CDE沿DE折疊,使得點C恰好落在BA延長線上的點F處,連接AD,則下列結(jié)論不一定正確的是 (　　) 圖K18-13 A.AE=EF B.AB=2DE C.△ADF和△ADE的面積相等 D.△ADE和△FDE的面積相等 16.[xx婁底] 如圖K18-14,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D點,DE⊥AB于點E,BF⊥AC于點F,DE=3 cm,則BF=　　　　_______cm. 圖K18-14 17.[xx永州] 現(xiàn)有A,B兩個儲油罐,它們相距2 km,計劃修建一條筆直的輸油管道,使得A,B兩個儲油罐到輸油管道所在直線的距離都為0.5 km,輸油管道所在直線符合上述要求的設(shè)計方案有　　　　種.  參考答案 1.B　[解析] 當5為腰,10為底時, ∵5+5=10, ∴不能構(gòu)成三角形; 當10為腰,5為底時, ∵5+10>10, ∴能構(gòu)成三角形, ∴等腰三角形的周長為10+10+5=25. 2.B　[解析] ∵△ABC是等腰三角形,AD是其底邊上的中線,∴AD也是底邊上的高線,∴∠ACB=90-∠CAD=70.又∵CE是∠ACB的平分線,∴∠ACE=12∠ACB=35. 3.C　[解析] 過點M作ME⊥OB于點E,由題意可得:OP是∠AOB的平分線,則∠POB=1260=30,∴ME=12OM=3.故選C. 4.B　[解析] ∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠DAC=∠C=25,∴∠ADB=∠DAC+∠C=25+25=50.在△ABD中,∠BAD=180-∠B-∠BDA=180-60-50=70.故選B. 5.B　[解析] ∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點M,過點M作MN∥BC交AC于點N,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30,∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6,故選B. 6.D　[解析] 由∠C+∠BAC=145得知∠B=35.由AB=AC得知∠B=∠C=35.由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠AED=45,又∵∠AED=∠EDC+∠C,∴∠EDC=45-35=10. 7.A　[解析] ∵52+122=132,∴此三角形為直角三角形,又∵5里=5500米=2500米=2.5千米,12里=12500米=6000米=6千米,∴S=1262.5=7.5(平方千米). 8.B　[解析] 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90,∴∠B=45.由折疊的性質(zhì)可得∠BAF=∠B=45,∴∠AFB=180-∠B-∠BAF=90.在Rt△ABF中,點E是AB的中點,∴EF是斜邊AB上的中線,∴AB=2EF=232=3.在Rt△ABC中,AB=AC=3,根據(jù)勾股定理,得BC=32+32=32. 9.37　[解析] ∵AB=AC,∠A=32,∴∠ACB=12(180-∠A)=12(180-32)=74.由已知得CB=CD,∴∠CBD=∠CDB.∵∠ACB是△CBD的一個外角,∴∠ACB=∠CBD+∠CDB,∴∠CDB=12∠ACB=1274=37. 10.x2+9=(10-x)2　[解析] 根據(jù)AC+AB=10,其中AC=x,則AB=10-x,在Rt△ABC中,利用勾股定理得AB2=AC2+BC2,代入數(shù)據(jù)即可得到:x2+9=(10-x)2. 11.18　[解析] 易知DE是△ABC的中位線,所以AC=5,由于AB=13,BC=12,52+122=132,因此△ABC是直角三角形,∠ACB=90,CD是斜邊AB上的中線,因此CD=12AB=6.5,而AD=6.5,AC=5,所以△ACD的周長是6.5+6.5+5=18. 12.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下: 因為AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD. (2)證明:因為AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因為AB=AC,所以點A,F均在線段BC的垂直平分線上,即直線AF垂直平分線段BC. 13.證明:如圖所示,∵DE∥AC,∴∠1=∠3. ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3. ∵AD⊥BD, ∴∠2+∠B=90,∠3+∠BDE=90, ∴∠B=∠BDE,∴BE=DE, ∴△BDE是等腰三角形. 14.A　[解析] 如圖,∵∠AOB=60,OA=OB,∴△AOB是等邊三角形,∴AO=AB.∵△ACD是等邊三角形,∴AC=AD.又∵∠OAB=∠CAD=60,∴∠1=∠2,∴△AOC≌△ABD(SAS),∴∠ABD=∠AOC=60,∴∠ABD=∠OAB,∴BD∥OA. 15.C　[解析] 連接CF.由折疊的性質(zhì)可知CD=DF,CE=EF,∴DE是CF的垂直平分線.又∵DC=DF=DB,∴△BFC是直角三角形,∴BF⊥FC,∴DE∥BF.又∵點D是BC的中點,∴DE是△ABC的中位線,∴AE=EC=EF,AB=2DE,S△ADE=S△FDE,故選項A,B,D正確.由題意無法得出AD與EF平行,∴△ADF與△ADE的面積不一定相等,故不一定正確的是選項C. 16.6　[解析] 在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,所以AD平分∠BAC,又DE⊥AB,過D作DG⊥AC于G,則DG=DE=3 cm,BF∥DG.再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì),知D是BC邊中點,由此可得BF=2DG=6 cm. 17.4　[解析] 如圖,設(shè)AB中點為O,則AO=BO=1 km,直線l1與l2經(jīng)過點O,且與直線AB的夾角等于30(即∠AOM=∠BON=∠AOP=∠BOQ=30),過A作AP⊥l1于點P,AM⊥l2于點M,垂足分別為P,M;過B作BQ⊥l1于點Q,BN⊥l2于點N,垂足分別為Q,N.根據(jù)直角三角形中,30角所對的直角邊等于斜邊的一半,得AP=AM=BQ=BN=0.5 km.直線l3,l4與直線AB的距離為0.5 km,則直線l1,l2,l3,l4是符合要求的直線.