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2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 加法與減法的計(jì)算問(wèn)題（下） 8、（1）在加法算式中，如果一個(gè)加數(shù)增加50，另一個(gè)加數(shù)減少20，計(jì)算和的增加或減少量。 （2）在減法算式中，如果被減數(shù)增加50，差減少20，那么減數(shù)應(yīng)如何變化？ 解：（1）50-20=30，和增加30 （2）50+20=70，減數(shù)增加70 9、計(jì)算： 1+2+1， 1+2+3+2+1， 1+2+3+4+3+2+1， 1+2+3+4+5+4+3+2+1， 根據(jù)上面四式計(jì)算結(jié)果的規(guī)律，求1+2+3+……+192+193+192+……+3+2+1的值。 解：1+2+1=4=22 1+2+3+2+1=9=33 1+2+3+4+3+2+1=16=44 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=55 1+2+3+……+192+193+192+……+3+2+1=193193=37249 10、請(qǐng)從3，7，9，11，21，33，63，77，99，231，693，985這12個(gè)數(shù)中選出5個(gè)數(shù)，使它們的和等于1995。 解：1995-985=1010，1010-693=917，917-231=86，86-77=9，9-9=0，所以，這5個(gè)數(shù)是9，77，231，693，985。 11、有24個(gè)整數(shù)： 112，106，132，118，107，102，189，153， 142，134，116，254，168，119，126，445， 135，129，113，251，342，901，710，535， 問(wèn)：當(dāng)將這些整數(shù)從小到大排列起來(lái)時(shí)，第12個(gè)數(shù)是多少？ 解：10□有3個(gè)；11□有5個(gè)；12□有2個(gè)；13□有3個(gè)，從小到大是132，134，135，所以從小到大第12個(gè)是134。 12、從xx這個(gè)數(shù)里減去253以后，再加上244，然后在減去253，再加上244，……，這樣一直減下去，減到第多少次，得數(shù)恰好等于0？ 解：253-244=9，xx-253=1746，1746/9=194，194+1=195，所以減到第195次，得數(shù)恰好等于0。 13、在134+7，134+14，134+21，……，134+210這30個(gè)算式中，每個(gè)算式的計(jì)算結(jié)果都是三位數(shù)，求這些三位數(shù)的百位數(shù)字之和。 解：200-134=66，66/7商9余3，134+79<200 134+710>200，300-134=166，166/7商23余5，134+723<300 134+724>300。 百位數(shù)為1的有9個(gè)，百位數(shù)為2的有23-9=14個(gè)，百位數(shù)為3有30-23=7個(gè)， 所以百位數(shù)總和為19+214+37=58 答：這些三位數(shù)的百位數(shù)之和是58。 附送： 2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 包含與排除 　　同學(xué)們對(duì)這個(gè)題目可能很陌生，為了搞清楚什么是“包含與排除”，大家先一起回答兩個(gè)問(wèn)題： 　　(1) 兩個(gè)面積都是4厘米2的正方形擺在桌面上(見(jiàn)左下圖)，它們遮蓋住桌面的面積是8厘米2嗎？ 　　(2)一個(gè)正方形每條邊上有6個(gè)點(diǎn)(見(jiàn)右上圖)，四條邊上一共有24個(gè)點(diǎn)嗎？ 　　聰明的同學(xué)馬上就會(huì)發(fā)現(xiàn)： 　　(1)兩個(gè)正方形的面積和是8厘米2，現(xiàn)在它們有一部分重疊了。因此蓋住桌面的面積應(yīng)當(dāng)從兩個(gè)正方形的面積和中減去重疊的這部分面積，所以蓋住桌面的面積應(yīng)少于8厘米2。 　　(2)四個(gè)角上的點(diǎn)每個(gè)點(diǎn)都在兩條邊上，因此被重復(fù)計(jì)算了，在求四條邊上共有多少點(diǎn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)減去重復(fù)計(jì)算的點(diǎn)，所以共有 64-4＝ 20(個(gè))點(diǎn)。 　　這兩個(gè)問(wèn)題，在計(jì)算時(shí)，都采用了“去掉”重復(fù)的數(shù)值(面積或個(gè)數(shù))的方法。 　　一般地，若已知A，B，C三部分的數(shù)量(見(jiàn)右圖)，其中C為A，B的重復(fù)部分，則圖中的數(shù)量就等于 　　A＋ B- C。 　　因?yàn)锳，B有互相包含(重復(fù))的部分C，所以，在求A和B合在一起的數(shù)量時(shí)，就要在A＋B中減去A和B互相包含的部分C。這種方法稱為包含排除法。 　　實(shí)際上，我們前面已經(jīng)遇到過(guò)包含與排除的問(wèn)題。如，第10講“植樹(shù)問(wèn)題”的例3和例4，只不過(guò)那時(shí)我們沒(méi)有明確提出“包含排除法”。 　　例1 把長(zhǎng)38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條。已知焊接部分長(zhǎng)4厘米，焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)？ 　　解：因?yàn)楹附硬糠譃閮筛F條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng) 　　38＋ 53- 4＝ 87(厘米)。 　　例2某小學(xué)三年級(jí)四班，參加語(yǔ)文興趣小組的有28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有29人，有12人兩個(gè)小組都參加。這個(gè)班有多少人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組？ 　 　　分析與解：如上頁(yè)左下圖所示，A圓表示參加語(yǔ)文興趣小組的人，B圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，A與B重合的部分(陰影部分)表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人。圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語(yǔ)文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有28-12＝16(人)；圖中B圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語(yǔ)文興趣小組的人，有29-12＝17(人)(見(jiàn)上頁(yè)右下圖)。 　　由此得到參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的有 　　16＋ 12＋ 17＝ 45(人)。 　　根據(jù)包含排除法，直接可得 　　28＋ 29- 12＝ 45(人)。 　　例3 某班共有46人，參加美術(shù)小組的有12人，參加音樂(lè)小組的有23人，有5人兩個(gè)小組都參加了。這個(gè)班既沒(méi)參加美術(shù)小組也沒(méi)參加音樂(lè)小組的有多少人？ 　　分析與解：與例2對(duì)比，本例已知全班總?cè)藬?shù)，如果能仿照例2求出參加了美術(shù)或音樂(lè)小組的人數(shù)，那么只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人數(shù)，就得到所求的人數(shù)。 　　根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個(gè)小組的總?cè)藬?shù)為12＋ 23- 5＝ 30(人)。所以，該班未參加美術(shù)或音樂(lè)小組的人數(shù)是46-30=16(人)。綜合列式為 　　46- ( 12＋ 23- 5)＝ 16(人)。 　　例4 三年級(jí)科技活動(dòng)組共有63人。在一次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有42人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有34人。每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)。問(wèn)：同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？ 　　分析與解：因42＋34＝76，76＞63，所以必有人同時(shí)完成了這兩項(xiàng)活動(dòng)。由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)，根據(jù)包含排除法知， 　　42＋34-(完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù))=全組人數(shù)，即76-(完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù))＝63。 　　由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為 　　76-63＝13(人)。 　　例5 在前100個(gè)自然數(shù)中，能被2或3整除的數(shù)有多少個(gè)？ 　　分析與解：如右圖所示，A圓內(nèi)是前100個(gè)自然數(shù)中所有能被2整除的數(shù)，B圓內(nèi)是前100個(gè)自然數(shù)中所有能被3整除的數(shù)，C為前100個(gè)自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)。 　　前100個(gè)自然數(shù)中能被2整除的數(shù)有1002=50 　　(個(gè))。由 1003＝ 33…… 1知，前 100個(gè)自然數(shù)中能被 3整除的數(shù)有 33個(gè)。由 100(23)＝ 16……4知，前 100個(gè)自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)有16個(gè)。 　　所以A中有50個(gè)數(shù)，B中有33個(gè)數(shù)，C中有16個(gè)數(shù)。因?yàn)锳，B都包含C，根據(jù)包含排除法得到，能被2或3整除的數(shù)有 　　50＋ 33- 16＝ 67(個(gè))。