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第五單元 數(shù)列 小題必刷卷(八)　數(shù)列 題組一　真題集訓 1.[2017浙江卷] 已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的 (　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 2.[2017全國卷Ⅰ] 記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 3.[2017全國卷Ⅱ] 我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈 (　　) A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞 4.[2017全國卷Ⅲ] 等差數(shù)列{an}的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項的和為 (　　) A.-24 B.-3 C.3 D.8 5.[2015浙江卷] 已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項和是Sn.若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則 (　　) A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 6.[2013全國卷Ⅰ] 設△AnBnCn的三邊長分別為an,bn,cn,△AnBnCn的面積為Sn,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an2,cn+1=bn+an2,則 (　　) A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列 C.{S2n-1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列 D.{S2n-1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列 7.[2016浙江卷] 如圖X8-1,點列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q(mào)表示點P與Q不重合) 若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則 (　　) 圖X8-1 A.{Sn}是等差數(shù)列 B.{Sn2}是等差數(shù)列 C.{dn}是等差數(shù)列 D.{dn2}是等差數(shù)列 8.[2015江蘇卷] 設數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),則數(shù)列1an前10項的和為　　　　. 9.[2017全國卷Ⅲ] 設等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=　　　　. 10.[2017北京卷] 若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則a2b2=　　　　. 11.[2015全國卷Ⅱ] 設Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=　　　　. 12.[2013全國卷Ⅱ] 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為　　　　. 題組二　模擬強化 13.[2017泉州質(zhì)檢] 公差為2的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S3=12,則a3= (　　) A.4 B.6 C.8 D.14 14.[2017濟寧一模] 設a∈R,“1,a,16為等比數(shù)列”是“a=4”的 (　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 15.[2017錦州質(zhì)檢] 已知數(shù)列{an},若點(n,an)(n∈N*)在經(jīng)過點(10,6)的定直線上,則數(shù)列{an}的前19項和S19的值為 (　　) A.190 B.114 C.60 D.120 16.[2017成都三診] 在等比數(shù)列{an}中,a1=2,公比q=2.若am=a1a2a3a4(m∈N*),則m= (　　) A.11 B.10 C.9 D.8 17.[2017安徽宣城調(diào)研] 設數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若S4≥10,S5≤15,則a4的最大值為 (　　) A.3 B.4 C.-7 D.-5 18.[2017湖北穩(wěn)派教育質(zhì)檢] 設正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S2017=4034,則1a9+9a2009的最小值為 (　　) A.32 B.94 C.2 D.4 19.[2017贛州二模] 在公差不為0的等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列bn中,a1=2,bn=a2n,則bn的前5項的和為 (　　) A.142 B.124 C.128 D.144 20.[2017新鄉(xiāng)三模] 記集合A1=a1,A2={a2,a3},A3={a4,a5,a6},A4={a7,a8,a9,a10}…,其中{an}為公差大于0的等差數(shù)列,若A2={3,5},則199屬于 (　　) A.A12 B.A13 C.A14 D.A15 21.[2017蚌埠質(zhì)檢] 數(shù)列{an}是以a為首項,q為公比的等比數(shù)列,數(shù)列bn滿足bn=1+a1+a2+…+an(n=1,2,…),數(shù)列cn滿足cn=2+b1+b2+…+bn(n=1,2,…),若cn為等比數(shù)列,則a+q= (　　) A.2 B.3 C.5 D.6 22.[2017錦州質(zhì)檢] 將正整數(shù)12分解成兩個正整數(shù)的乘積有112,26,34三種,其中34是這三種分解中兩數(shù)差的絕對值最小的,我們稱34為12的最佳分解. 當pq(p≤q且p,q∈N*)是正整數(shù)n的最佳分解時,我們定義函數(shù)f(n)=q-p,例如f(12)=4-3=1,數(shù)列f3n的前100項和為　　　　. 23.[2017南陽三模] 數(shù)列{an}滿足an+1+-1nan=2n-1,則{an}的前80項和為　　　　. 24.[2017蘭州模擬] 已知定義域為[0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足f(x)=2f(x+2),當x∈[0,2)時,f(x)=-2x2+4x,設f(x)在[2n-2,2n)上的最大值為an(n∈N*),且數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則Sn=　　　　. 解答必刷卷(三)　數(shù)列 題組一　真題集訓 1.[2016全國卷Ⅲ] 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式; (2)若S5=3132,求λ. 2.[2016全國卷Ⅰ] 已知{an}是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn. (1)求{an}的通項公式; (2)求{bn}的前n項和. 3.[2016全國卷Ⅱ] Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,且a1=1,S7=28.記bn=[lg an],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求數(shù)列{bn}的前1000項和. 題組二　模擬強化 4.[2017北京海淀區(qū)期末] 已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,且4Sn=(an+1)2. (1)求a1,a2的值及{an}的通項公式; (2)求Sn-72an的最小值. 5.[2017山西孝義質(zhì)檢] 數(shù)列{an}滿足an+5an+1=36n+18,n∈N*,且a1=4. (1)寫出{an}的前3項,并猜想其通項公式; (2)若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn滿足b1=a1,b3=a3,求數(shù)列nbn的前n項和Tn. 6.[2017廣西五市聯(lián)考] 已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}滿足a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列,設{an}的前n項和為Sn. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設數(shù)列Snn2n的前n項和為Tn,求證:Tn<3.  小題必刷卷(八) 1.C　[解析] 由題意,得Sn=na1+n(n-1)2d,則S4+S6-2S5=(4a1+6d)+(6a1+15d)-2(5a1+10d)=d.因此當d>0時,S4+S6-2S5>0,則S4+S6>2S5;當S4+S6>2S5時,S4+S6-2S5>0,則d>0.所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要條件.因此選C. 2.C　[解析] 設{an}的公差為d,則2a1+7d=24且6a1+15d=48,解得d=4. 3.B　[解析] 設塔的頂層共有a1盞燈,根據(jù)題意得a1(1-27)1-2=381,解得a1=3. 4.A　[解析] {an}為等差數(shù)列,且a2,a3,a6成等比數(shù)列,則a32=a2a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d). 將a1=1代入上式并化簡,得d2+2d=0, ∵d≠0,∴d=-2, ∴S6=6a1+652d=16+652(-2)=-24. 5.B　[解析] 由a3,a4,a8成等比數(shù)列得,a42=a3a8?(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d)?3a1d+5d2=0,因公差d≠0,故a1=-53d,a1d=-53d2<0,dS4=d4a1+432d=-23d2<0,故選B. 6.B　[解析] 因為an+1=an,所以an=a1.又因為bn+1+cn+1=12(bn+cn)+an=12(bn+cn)+a1,所以bn+1+cn+1-2a1=12(bn+cn-2a1).因為b1+c1-2a1=0,所以bn+cn=2a1,故△AnBnCn中邊BnCn的長度不變,另外兩邊AnBn,AnCn的和不變. 因為bn+1-cn+1=-12(bn-cn),且b1-c1>0,所以bn-cn=-12n-1(b1-c1),當n→+∞時,bn→cn,也就是AnCn→AnBn,所以△AnBnCn中BnCn邊上的高隨著n的增大而增大.設△AnBnCn中BnCn邊上的高為hn,則{hn}單調(diào)遞增,所以Sn=12a1hn是增函數(shù).答案為B. 7.A　[解析] 由題意得,An是線段An-1An+1(n≥2)的中點,Bn是線段Bn-1Bn+1(n≥2)的中點,且線段AnAn+1的長度都相等,線段BnBn+1的長度都相等.過點An作高線hn.由A1作高線h2的垂線A1C1,由A2作高線h3的垂線A2C2,則h2-h1=|A1A2|sin∠A2A1C1,h3-h2=|A2A3|sin∠A3A2C2.而|A1A2|=|A2A3|,∠A2A1C1=∠A3A2C2,故h1,h2,h3成等差數(shù)列,故{Sn}是等差數(shù)列. 8.2011　[解析] 因為an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)2,所以1an=2n(n+1)=21n-1n+1,故∑n=1101an=21-12+12-13+…+110-111=2011. 9.-8　[解析] 設等比數(shù)列{an}的公比為q. 由a1+a2=-1,a1-a3=-3,得a1+a1q=-1①,a1-a1q2=-3②, 顯然q≠1,a1≠0, 由②①得1-q=3,即q=-2,代入①式可得a1=1, ∴a4=a1q3=1(-2)3=-8. 10.1　[解析] 設{an}的公差為d,{bn}的公比為q.由a4=a1+3d=-1+3d=8求得d=3,所以a2=a1+d=-1+3=2.由b4=b1q3=-q3=8求得q=-2,所以b2=b1q=-1(-2)=2,所以a2b2=1. 11.-1n　[解析] 因為a1=-1,an+1=SnSn+1,所以S1=-1,Sn+1-Sn=SnSn+1,所以1Sn+1-1Sn=-1,所以數(shù)列1Sn是首項為-1,公差為-1的等差數(shù)列,所以1Sn=-n,所以Sn=-1n. 12.-49 　[解析] 由已知,a1+a10=0,a1+a15=103?d=23,a1=-3,∴nSn=n3-10n23,易得n=6或n=7時,nSn出現(xiàn)最小值.當n=6時,nSn=-48;n=7時,nSn=-49.故nSn的最小值為-49. 13.B　[解析] 因為S3=3a2=12,所以a2=4,又公差為2,所以a3=6,故選B. 14.B　[解析] 由1,a,16為等比數(shù)列?a2=161?a=4,因此a=4?1,a,16為等比數(shù)列,反之不一定成立,所以“1,a,16為等比數(shù)列”是“a=4”的必要不充分條件,故選B. 15.B　[解析] ∵點(n,an)(n∈N*)在經(jīng)過點(10,6)的定直線上,∴an-6=k(n-10),可得a10=6,且數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的前19項和S19=19(a1+a19)2=19a10=114.故選B. 16.B　[解析] 由題意可得,數(shù)列{an}的通項公式為an=2n,又am=a14q6=210=2m,所以m=10,故選B. 17.B　[解析] 設等差數(shù)列{an}的公差為d,∵S4≥10,S5≤15,∴a1+a2+a3+a4≥10,a1+a2+a3+a4+a5≤15,∴a5≤5,a3≤3,即a1+4d≤5,a1+2d≤3,兩式相加得2(a1+3d)≤8,∴a4≤4.故選B. 18.D　[解析] 由等差數(shù)列的前n項和公式,得S2017=2017(a1+a2017)2=4034,則a1+a2017=4.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a9+a2009=4,所以1a9+9a2009=14(a9+a2009)1a9+9a2009=141+9+a2009a9+9a9a2009≥1410+2a2009a99a9a2009=4,當且僅當a2009a9=9a9a2009時,等號成立.故選D. 19.B　[解析] 設等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),等比數(shù)列bn的公比為q.在等比數(shù)列bn中,b22=b1b3?a42=a2a8?(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)?d=a1=2,則an=a1+(n-1)d=2n,b1=a2=4,b2=a4=8,∴q=b2b1=2,∴{bn}的前5項的和為4(1-25)1-2=124.故選B. 20.C　[解析] 因為{an}為公差大于0的等差數(shù)列,且A2={3,5},所以a2=3,a3=5,則公差d=2,a1=1,故an=1+(n-1)2=2n-1.則在數(shù)列{an}中,由199=2n-1,得n=100.又前n個集合中,共有數(shù)列{an}中的n(n+1)2 項,易知當n=13時,n(n+1)2=91,當n=14時,n(n+1)2=105,所以199屬于A14.故選C. 21.B　[解析] 由題意,得an=aqn-1,則bn=1+a(1-qn)1-q=1+a1-q-aqn1-q,得cn=2+1+a1-qn-a1-qq(1-qn)1-q=2-aq(1-q)2+1-q+a1-qn+aqn+1(1-q)2,要使cn為等比數(shù)列,必有2-aq(1-q)2=0,1-q+a1-q=0,得a=1,q=2,∴a+q=3,故選B. 22.350-1　[解析] 當n為偶數(shù)時,f(3n)=0;當n為奇數(shù)時,f3n=3n+12-3n-12,因此數(shù)列f3n的前100項和為31-30+32-31+…+350-349=350-1. 23.3240　[解析] 因為當k=4t+1(t∈N*)時ak+1-ak=2k-1,ak+2+ak+1=2k+1,ak+3-ak+2=2k+3,所以ak+ak+1+ak+2+ak+3=[(ak+1+ak+2)-(ak+1-ak)]+[(ak+3-ak+2)+( ak+1+ak+2)]=4k+6,因此,此數(shù)列每四項構(gòu)成首項為10,公差為16的等差數(shù)列,則{an}的前80項和為2010+2019216=3240. 24.4-12n-2　[解析] 當x∈[0,2)時,函數(shù)f(x)圖像的對稱軸為x=1,開口向下,故最大值為f(1)=2.由于f(x+2)=12f(x),即從[2,4)起,每隔兩個單位長度圖像的“高度”就是前一個區(qū)間圖像“高度”的一半,故最大值,即{an}是首項為2,公比為12的等比數(shù)列,其前n項和Sn=21-12n1-12=4-12n-2. 解答必刷卷(三) 1.解:(1)證明:由題意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=11-λ,a1≠0. 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以an+1an=λλ-1. 因此{an}是首項為11-λ,公比為λλ-1的等比數(shù)列,于是an=11-λλλ-1n-1. (2)由(1)得Sn=1-λλ-1n,由S5=3132得1-λλ-15=3132,即λλ-15=132, 解得λ=-1. 2.解:(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2, 所以數(shù)列{an}是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,其通項公式為an=3n-1. (2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn3,因此{bn}是首項為1,公比為13的等比數(shù)列.記{bn}的前n項和為Sn,則 Sn=1-(13)n1-13=32-123n-1. 3.解:(1)設{an}的公差為d,據(jù)已知有7+21d=28,解得d=1, 所以{an}的通項公式為an=n. 故b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. (2)因為bn=0,1≤n<10,1,10≤n<100,2,100≤n<1000,3,n=1000, 所以數(shù)列{bn}的前1000項和為190+2900+31=1893. 4.解:(1)因為4Sn=(an+1)2,所以當n=1時,4a1=(a1+1)2,解得a1=1, 當n=2時,4(1+a2)=(a2+1)2,解得a2=-1或a2=3, 因為{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,所以a2=3,所以{an}的公差d=a2-a1=2, 所以{an}的通項公式an=a1+(n-1)d=2n-1. (2)因為4Sn=(an+1)2,所以Sn=(2n-1+1)24=n2, 所以Sn-72an=n2-72(2n-1)=n2-7n+72=n-722-354, 所以,當n=3或n=4時,Sn-72an取得最小值,為-172. 5.解:(1)a1=4,a2=10,a3=16,猜想an=6n-2. (2)由題意可知b1=4,b3=16,故bn的公比q滿足q2=4, 因為bn的各項均為正數(shù),所以q=2,bn=2n+1, 于是Tn=14+28+316+…+n2n+1①, 而2Tn=18+216+…+(n-1)2n+1+n2n+2②, ①-②,得-Tn=4+8+…+2n+1-n2n+2=41-2n1-2-n2n+2,故Tn=(n-1)2n+2+4. 6.解:(1)根據(jù)題意,設等差數(shù)列{an}的公差為d,則由a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列,a1>0,得a1+3d=2(a1+d),a1(a1+3d)=16, 解得a1=2,d=2, 所以數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (2)證明:由(1)知a1=d=2,則Sn=2n+n(n-1)22=n2+n, ∴Snn2n=n+12n. ∴Tn=221+322+423+…+n+12n①, 12Tn=222+323+…+n2n+n+12n+1②, ①-②得12Tn=221+122+123+…+12n-n+12n+1, ∴Tn=2+121+122+…+12n-1-n+12n=2+121-12n-11-12-n+12n=3-12n-1-n+12n<3. ∴Tn<3.