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專題十一：代數綜合（二次函數綜合） 1.在平面直角坐標系 中，二次函數的圖像如圖所示，下列說法正確的是 （ ） A． B． C. D． 第1題 第2題 2．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，給出下列結論：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正確的個數有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3.已知二次函數的與的部分對應值如下表： -1 0 1 3 -3 1 3 1 下列結論：①拋物線的開口向下；②其圖象的對稱軸為；③當時，函數值隨的增大而增大；④方程有一個根大于4．其中正確的結論有（　） A．1個 B．2個 C.3個 D．4個 4．設直線x=1是函數y=ax2+bx+c（a，b，c是實數，且a＜0）的圖象的對稱軸，（　　） A．若m＞1，則（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，則（m﹣1）a+b＜0 C．若m＜1，則（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜1，則（m﹣1）a+b＜0 5.已知二次函數的圖象如圖所示，則正比例函與反比例函數在同一坐標系中的大致圖象是（ ） A． B． C． D． 6．已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=2，與x軸的一個交點坐標為（4，0），其部分圖象如圖所示，下列結論：①拋物線過原點；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④拋物線的頂點坐標為（2，b）； ⑤當x＜2時，y隨x增大而增大．其中結論正確的是（　?。? A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤ 二、填空題 7.如圖，正比例函數和一次函數的圖像相交于點.當時， .（填“>”或“<”） 第7題 第8題 8．如圖，在平面直角坐標系中，經過點A的雙曲線y=（x＞0）同時經過點B，且點A在點B的左側，點A的橫坐標為，∠AOB=∠OBA=45，則k的值為　 ?。? 9．如圖，點是函數與的圖象在第一象限內的交點，，則的值為 ． 第9題 第10題 10．如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=x﹣與x軸交于點B1，以OB1為邊長作等邊三角形A1OB1，過點A1作A1B2平行于x軸，交直線l于點B2，以A1B2為邊長作等邊三角形A2A1B2，過點A2作A2B3平行于x軸，交直線l于點B3，以A2B3為邊長作等邊三角形A3A2B3，…，則點Axx的橫坐標是　 ?。? 三、解答題 11.已知關于x。的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k為常數） （1）求證無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根； （2）已知函數y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的圖象不經過第三象限，求的取值范圍； （3）若原方程的一個根大于3，另一個根小于3，求k的最大整數值. 12.荊州市某水產養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p（元/千克）與時間第t（天）之間的函數關系為： ,日銷售量y（千克）與時間第t（天）之間的函數關系如圖所示： （1）求日銷售量與時間t的函數關系式？ （2）哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？ （3）該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤不低于2400元？ （4）在實際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈m（m＜7）到引用源。元給村里的特困戶.在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間錯誤！未找到引用源。的增大而增大，求m的取值范圍. 13.如圖，是將拋物線平移后得到的拋物線，其對稱軸為，與軸的一個交點為，另一交點為，與軸交點為． （1）求拋物線的函數表達式； （2）若點為拋物線上一點，且，求點的坐標； （3）點是拋物線上一點，點是一次函數的圖象上一點，若四邊形為平行四邊形，這樣的點是否存在？若存在，分別求出點的坐標，若不存在，說明理由． 14．在平面直角坐標系中，設二次函數y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0． （1）若函數y1的圖象經過點（1，﹣2），求函數y1的表達式； （2）若一次函數y2=ax+b的圖象與y1的圖象經過x軸上同一點，探究實數a，b滿足的關系式； （3）已知點P（x0，m）和Q（1，n）在函數y1的圖象上，若m＜n，求x0的取值范圍． 15．如圖，拋物線y=ax2+bx+2經過點A（﹣1，0），B（4，0），交y軸于點C； （1）求拋物線的解析式（用一般式表示）； （2）點D為y軸右側拋物線上一點，是否存在點D使S△ABC=S△ABD？若存在請直接給出點D坐標；若不存在請說明理由； （3）將直線BC繞點B順時針旋轉45，與拋物線交于另一點E，求BE的長． 　  答案 一、選擇題： 1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.C． 二、填空題： 7. ＜ 8. 1+. 9. 10. 三、解答題： 11.【答案】（1）證明見解析（2）k＜1（3）2 【解析】 試題分析：（1）求出方程的判別式△的值，利用配方法得出△＞0，根據判別式的意義即可證明； （2）由于二次函數y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的圖象不經過第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以拋物線的頂點在x軸的下方經過一、二、四象限，根據二次項系數知道拋物線開口向上，由此可以得出關于k的不等式組，解不等式組即可求解； （3）設方程的兩個根分別是x1，x2，根據題意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根據一元二次方程根與系數的關系求得k的取值范圍，再進一步求出k的最大整數值． 試題解析：（1）∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0， ∴無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根； （2）∵二次函數y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的圖象不經過第三象限， ∵二次項系數a=1， ∴拋物線開口方向向上， ∵△=（k﹣3）2+12＞0， ∴拋物線與x軸有兩個交點， 設拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為x1，x2， ∴x1+x2=5﹣k＞0，x1?x2=1﹣k＞0， 解得k＜1， 即k的取值范圍是k＜1； 考點：1、拋物線與x軸的交點；2、根的判別式；3、根與系數的關系；4、二次函數的性質 12.【答案】（1）y=﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數）（2）第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元（3）21（4）5≤m＜7 【解析】 ∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數）； （2）設日銷售利潤為w，則w=（p﹣6）y， ①當1≤t≤40時，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450， ∴當t=30時，w最大=2450； ②當41≤t≤80時，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100， ∴當t=41時，w最大=2301， ∵2450＞2301， ∴第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元． 考點：二次函數的應用 13.【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）（1，4）（3）P、Q的坐標是（0，3），（1，3）或（，）、（，） 【解析】 （2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，則y=3，即C的坐標是（0，3），OC=3． ∵B的坐標是（3，0）， ∴OB=3， ∴OC=OB，則△OBC是等腰直角三角形． ∴∠OCB=45， 過點N作NH⊥y軸，垂足是H． ∵∠NCB=90， ∴∠NCH=45， ∴NH=CH， ∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH， 設點N縱坐標是（a，﹣a2+2a+3）． ∴a+3=﹣a2+2a+3， 解得a=0（舍去）或a=1， ∴N的坐標是（1，4）； 考點：二次函數綜合題 考點：1、待定系數法求一次函數的解析式，2、一次函數圖象上點的坐標特征，3、一次函數的性質 14.【答案】（1）函數y1的表達式y(tǒng)=x2﹣x﹣2（2）a=b或b=-2a（3）x0的取值范圍x0＜0或x0＞1 【解析】 （2）當y=0時x2﹣x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=2， y1的圖象與x軸的交點是（﹣1，0）（2，0）， 當y2=ax+b經過（﹣1，0）時，﹣a+b=0，即a=b； 當y2=ax+b經過（2，0）時，2a+b=0，即b=﹣2a； （3）當P在對稱軸的左側時，y隨x的增大而增大， （1，n）與（0，n）關于對稱軸對稱， 由m＜n，得x0＜0； 當時P在對稱軸的右側時，y隨x的增大而減小， 由m＜n，得x0＞1， 綜上所述：m＜n，求x0的取值范圍x0＜0或x0＞1． 考點：二次函數圖象上點的坐標特征 15. 【解答】解： （1）∵拋物線y=ax2+bx+2經過點A（﹣1，0），B（4，0）， ∴，解得， ∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2； （2）由題意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB=5，OC=2， ∴S△ABC=AB?OC=52=5， ∵S△ABC=S△ABD， ∴S△ABD=5=， 設D（x，y）， ∴AB?|y|=5|y|=，解得|y|=3， 當y=3時，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此時D點坐標為（1，3）或（2，3）； 當y=﹣3時，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此時D點坐標為（5，﹣3）； 綜上可知存在滿足條件的點D，其坐標為（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）； （3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5， ∴AC==，BC==2， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC為直角三角形，即BC⊥AC， 如圖，設直線AC與直線BE交于點F，過F作FM⊥x軸于點M， 由題意可知∠FBC=45， ∴∠CFB=45， ∴CF=BC=2， ∴=，即=，解得OM=2，=，即=，解得FM=6， ∴F（2，6），且B（4，0）， 設直線BE解析式為y=kx+m，則可得，解得， ∴直線BE解析式為y=﹣3x+12， 聯立直線BE和拋物線解析式可得，解得或， ∴E（5，﹣3）， ∴BE==． 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、三角形面積、勾股定理及其逆定理、平行線分線段成比例、函數圖象的交點、等腰直角三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中求得D點的縱坐標是解題的關鍵，在（3）中由條件求得直線BE的解析式是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是最后一問，有一定的難度．