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2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 乘法中的巧算 　　上一講我們介紹了乘、除法的一些運(yùn)算律和性質(zhì)，它是乘、除法中巧算的理論根據(jù)，也給出了一些巧算的方法。本講在此基礎(chǔ)上再介紹一些乘法中的巧算方法。 　　1.乘11，101，1001的速算法。 　　一個(gè)數(shù)乘以11，101，1001時(shí)，因?yàn)?1，101，1001分別比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得 　　a11=a(10＋1)=10a＋a， 　　a101=a(101＋1)=100a＋a， 　　a1001=a(1000＋1)=1000a＋a。 　　例如，38101=38100＋38=3838。 　　2.乘9，99，999的速算法。 　　一個(gè)數(shù)乘以9，99，999時(shí)，因?yàn)?，99，999分別比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得 　　a9=a(10-1)=10a-a， 　　a99=a(100-1)=100a- a， 　　a999=a(1000-1)=1000a-a。 　　例如，1899=18100-18=1782。 　　上面講的兩類速算法，實(shí)際就是乘法的湊整速算。湊整速算是當(dāng)乘數(shù)接近整十、整百、整千……的數(shù)時(shí)，將乘數(shù)表示成上述整十、整百、整千……與一個(gè)較小的自然數(shù)的和或差的形式，然后利用乘法分配律進(jìn)行速算的方法。 例1 計(jì)算： (1) 3561001 　?。?56(1000＋1) 　?。?561000＋356 　?。?56000＋356 　　＝356356； (2) 38102 　?。?8(100＋2) 　　＝38100＋382 　?。?3800＋76 　?。?876； (3)52699 　　＝526(100-1) 　?。?526100-526 　　＝ 52600-526 　?。?2074； (4)12349998 　?。?1234(10000-2) 　?。?23410000-12342 　?。?2340000-2468 　?。?2337532。 　　3.乘5，25，125的速算法。 　　一個(gè)數(shù)乘以 5，25，125時(shí)，因?yàn)?52＝10，254＝100，1258＝1000，所以可以利用“乘一個(gè)數(shù)再除以同一個(gè)數(shù)，數(shù)值不變”及乘法結(jié)合律，得到 　　例如，7625＝76004＝1900。 　　上面的方法也是一種“湊整”，只不過不是用加減法“湊整”，而是利用乘法“湊整”。當(dāng)一個(gè)乘數(shù)乘以一個(gè)較小的自然數(shù)就能得到整十、整百、整千……的數(shù)時(shí)，將乘數(shù)先乘上這個(gè)較小的自然數(shù)，再除以這個(gè)較小的自然數(shù)，然后利用乘法結(jié)合律就可達(dá)到速算的目的。 例2 計(jì)算： (1) 1865 　　=186(52)2 　　=18602 　　=930； (2) 96125 　　=96(1258)8 　　=960008=1xx。 　　有時(shí)題目不是上面講的“標(biāo)準(zhǔn)形式”，比如乘數(shù)不是25而是75，此時(shí)就需要靈活運(yùn)用上面的方法及乘法運(yùn)算律進(jìn)行速算了。 例3 計(jì)算： (1) 8475 　　=(214)(253) 　　=(213)(425) 　　=63100=6300； (2)56625 　　=(78)(1255) 　　=(75)(8125) 　　=351000=35000； (3) 33125 　　=32125+1125 　　=4000+125=4125； (4) 3975 　　=(32+1)125 =(40-1)75 　　=4075-175 　　=3000-75=2925。 　　4.個(gè)位是5的兩個(gè)相同的兩位數(shù)相乘的速算法。 　　個(gè)位是5的兩個(gè)相同的兩位數(shù)相乘，積的末尾兩位是25，25前面的數(shù)是這個(gè)兩位數(shù)的首位數(shù)與首位數(shù)加1之積。例如： 　　仿此同學(xué)們自己算算下面的乘積 　　3535＝______ 5555＝______ 　　6565＝______ 8585＝______ 　　9595＝______ 　　這種方法也適用于個(gè)位數(shù)是5的兩個(gè)相同的多位 　　數(shù)相乘的計(jì)算，例如， 練習(xí) 　　用速算法計(jì)算下列各題： 　　1.(1) 68101； (2) 74201； 　　(3) 2561002； (4) 154601。 　　2.(1)459；　　(2)45799； 　　 (3)762999； (4) 3498。 　　3.(1)5365； 　(2)4375； 　　(3)63815； 　(4)73915。 　　4.(1)3225； 　(2)1725； 　　　(3)13025；　(4)6875； 　　(5)4975； (6)8775。 　　5.(1)56125； (2)77125； 　　(3)66375； (4) 256625； 　　(5)555375； (6)888875。 　　6.(1)295295； (2)705705。 附送： 2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 乘法速算 專題簡(jiǎn)析： 我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了整數(shù)乘法的計(jì)算方法，但計(jì)算多位數(shù)乘法要一位一位地乘，運(yùn)算起來比較麻煩。其實(shí)，多位數(shù)與一些特殊的數(shù)相乘，也可以用簡(jiǎn)便的方法來計(jì)算。 計(jì)算乘法時(shí)，如果一個(gè)因數(shù)是25，另一個(gè)因數(shù)考慮可拆成4幾，這樣可“先拆數(shù)再擴(kuò)整”。兩位數(shù)、三位數(shù)乘11，可采用“兩頭一拉，中間相加”的辦法。但要注意頭尾相加作積的中間數(shù)時(shí)，哪一位上滿10要向前一位進(jìn)一。 例題1 你能很快算出4325的結(jié)果嗎？ 思路導(dǎo)航：一個(gè)數(shù)與5相乘，因?yàn)?02=5，因而可以在這個(gè)數(shù)末尾添上一個(gè)0，然后再除以2，所得的結(jié)果就是這個(gè)數(shù)與5的積。所以，我們?cè)?32的末尾添上一個(gè)零，然后再除以2就可得出結(jié)果。 練習(xí)一 很快算出下面各題的結(jié)果： 1．3215 255 415 2．4705 6295 5465 3．10325 48325 73265 例題2 試著計(jì)算下列各題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ （1）1811 （2）3811 （3）43211 思路導(dǎo)航：通過計(jì)算、觀察可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè)數(shù)與11相乘，所得的結(jié)果就是將這個(gè)數(shù)的首位與末位拉開分別作為積的最高位和最低位，再依次將這個(gè)數(shù)相鄰兩位由個(gè)位起加起，和寫在十位、百位……，哪一位上滿十就向前一位進(jìn)一。 （1）1811，就把8寫在個(gè)位上，8與1的和9寫在十位上，1寫在百位上，得1811=198； （2）3811，把8寫在個(gè)位上，3與8的和為11，把1寫在十位上，同時(shí)向百位進(jìn)1，百位上3加1為4，得3811=418； （3）43211，把2寫在個(gè)位上，2與3的和5寫在十位上，3與的和7寫在百位上，千位上寫4，得43211=4752。 練習(xí)二：很快算出下面各題的結(jié)果。 1．1211 2311 4511 3511 2．4711 1165 1196 8711 3．13511 60311 32911 87211 例題3 你能迅速算出下面各題嗎？ （1）2415 （2）24815 （3）345615 思路導(dǎo)航：一個(gè)因數(shù)乘15，因?yàn)?5=10＋5，那么2415就可以寫成24（10＋5），也就是用24加上它的一半再乘10，24＋12=36，再用3610=360； 24815就用248加上124得到372，再乘10為3720； 345615就用3456加上1728得到5184，再乘10為51840。 一個(gè)因數(shù)乘15，也就是用這個(gè)數(shù)加上它的一半再乘10。 練習(xí)三：速算 1．3215 7415 2815 2．43815 28415 67215 3．876215 495615 794815 例題4 下面的乘法有規(guī)律嗎？ （1）2425 （2）2125 （3）25427 （4）251923 思路導(dǎo)航：因?yàn)?54100，因此一個(gè)數(shù)與25相乘，我們就看這個(gè)數(shù)里有幾個(gè)4，有幾個(gè)4就有幾個(gè)100，余1就加25，余2就加50，余3加75。 （1）24中有6個(gè)4，所以積是6個(gè)100； （2）21中有5個(gè)4余1，所以積是5個(gè)100加25； （3）427中有106個(gè)4余3，所以積是106個(gè)100加75； （4）1923中有480個(gè)4余3，所以積是480個(gè)100加75。 練習(xí)四：速算 1．3225 4025 2825 2．8125 3325 2527 3．47325 252562 25377 例題5 你能迅速算出下面的結(jié)果嗎？ （1）159 （2）389 （3）7299 （4）87499 思路導(dǎo)航：（1）我們可以先用1510=150，這樣就多加了1個(gè)15，因此我們還要從150中減去1個(gè)15，即150－15=135； （2）我們可以先用3810=380，這樣就多加了1個(gè)38，因此我們還要從380中減去1個(gè)38，即380－38=342； （3）我們可以先用72100=7200，這樣就多加了1個(gè)72，因此我們還要從7200中減去1個(gè)72，即7200－72=7128； （4）我們可以先用874100=87400，這樣就多加了1個(gè)874，因此要從87400中減去1個(gè)874，即87400－874=86526。 從上面幾題可以看出，一個(gè)數(shù)與9相乘，就用這個(gè)數(shù)乘10，再減這個(gè)數(shù)；一個(gè)數(shù)與99相乘，就用這個(gè)數(shù)乘100，再減這個(gè)數(shù)。 練習(xí)五：計(jì)算 1．529 4329 13219 2．7299 32199 723199 3．789 14299 15649 172399