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2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 橫式數(shù)字謎（一） 　　在一個數(shù)學(xué)式子(橫式或豎式)中擦去部分?jǐn)?shù)字，或用字母、文字來代替部分?jǐn)?shù)字的不完整的算式或豎式，叫做數(shù)字謎題目。解數(shù)字謎題就是求出這些被擦去的數(shù)或用字母、文字代替的數(shù)的數(shù)值。 　　例如，求算式324+□=528中□所代表的數(shù)。 　　根據(jù)“加數(shù)=和-另一個加數(shù)”知， 　　□=582-324＝258。 　　又如，求右豎式中字母A，B所代表的數(shù)字。顯然個位數(shù)相減時必須借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。 　　解數(shù)字謎問題既能增強(qiáng)數(shù)字運(yùn)用能力，又能加深對運(yùn)算的理解，還是培養(yǎng)和提高分析問題能力的有效方法。 　　這一講介紹簡單的算式(橫式)數(shù)字謎的解法。 　　解橫式數(shù)字謎，首先要熟知下面的運(yùn)算規(guī)則： (1)一個加數(shù)+另一個加數(shù)=和； (2)被減數(shù)-減數(shù)=差； (3)被乘數(shù)乘數(shù)=積； (4)被除數(shù)除數(shù)=商。 　　由它們推演還可以得到以下運(yùn)算規(guī)則： 　　由(1)，得 和-一個加數(shù)=另一個加數(shù)； 　　其次，要熟悉數(shù)字運(yùn)算和拆分。例如，8可用加法拆分為 　　8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4； 　　24可用乘法拆分為 　　24＝124=212＝38＝46(兩個數(shù)之積) 　　=1212＝226=…(三個數(shù)之積) 　　=1226＝2223=…(四個數(shù)之積) 例1 下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么數(shù)？ (1)□+5＝13-6； (2)28-○＝15＋7； (3)3△=54； (4)☆3＝87； (5)56*＝7。 解：(1)由加法運(yùn)算規(guī)則知，□=13-6-5＝2； (2)由減法運(yùn)算規(guī)則知，○＝28-(15＋7)＝6； (3)由乘法運(yùn)算規(guī)則知，△＝543＝18； (4)由除法運(yùn)算規(guī)則知，☆=873＝261； (5)由除法運(yùn)算規(guī)則知，*＝567＝8。 例2 下列算式中，□，○，△，☆各代表什么數(shù)？ (1)□+□+□=48； (2)○＋○＋6＝21-○； (3)5△-186＝12； (4)63-45☆＝13。 解：(1)□表示一個數(shù)，根據(jù)乘法的意義知， 　　□+□+□=□3， 　　故□=483＝16。 (2)先把左端(○＋○＋6)看成一個數(shù)，就有 　　(○＋○＋6)＋○＝21， 　　○3＝21-6， 　　○＝153＝5。 (3)把5△，186分別看成一個數(shù)，得到 　　5△=12＋186， 　　5△=15， 　　△=155＝3。 (4)把63，45☆分別看成一個數(shù)，得到 　　45☆＝63-13， 　　45☆＝5， 　　☆＝455＝9。 例3(1)滿足58＜12□＜71的整數(shù)□等于幾？ (2)180是由哪四個不同的且大于1的數(shù)字相乘得到的？試把這四個數(shù)按從小到大的次序填在下式的□里。 　　180=□□□□。 (3)若數(shù)□，△滿足 　　□△=48和□△=3， 　　則□，△各等于多少？ 分析與解：(1)因?yàn)? 　　5812＝4……10，7112＝5……11， 　　并且□為整數(shù)，所以，只有□=5才滿足原式。 (2)拆分180為四個整數(shù)的乘積有很多種方法，如 　　180＝1459＝12330＝… 　　但拆分成四個“大于1”的數(shù)字的乘積，范圍就縮小了，如 　　180＝2259＝2356＝… 　　若再限制拆分成四個“不同的”數(shù)字的乘積，范圍又縮小了。按從小到大的次序排列只有下面一種： 　　180＝2356。 　　所以填的四個數(shù)字依次為2，3，5，6。 (3)首先，由□△=3知，□＞△，因此，在把48拆分為兩數(shù)的乘積時，有 　　48＝481＝242＝163＝124＝86， 　　其中，只有48＝124中，124=3，因此 　　□=12，△=4。 　　這道題還可以這樣解：由□△=3知，□=△3。把□△=48中的□換成△3，就有 　　(△3)△＝48， 　　于是得到△△=483＝16。因?yàn)?6＝44，所以△=4。再把□=△3中的△換成4，就有 　　□=△3=43=12。 　　這是一種“代換”的思想，它在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛。 　　下面，我們再結(jié)合例題講一類“填運(yùn)算符號”問題。 例4 在等號左端的兩個數(shù)中間添加上運(yùn)算符號，使下列各式成立： (1)4 4 4 4＝24； (2)5 5 5 5 5=6。 解：(1)因?yàn)?＋4＋4＋4＜24，所以必須填一個“”。44＝16，剩下的兩個4只需湊成8，因此，有如下一些填法： 　　44＋4＋4＝24； 　　4＋44＋4＝24； 　　4＋4＋44＝24。 (2)因?yàn)?+1=6，等號左端有五個5，除一個5外，另外四個5湊成1，至少要有一個“”，有如下填法： 　　55+5-5+5＝6； 　　5＋55＋5-5＝6； 　　5＋5555=6； 　　5＋5555＝6。 　　由例4看出，填運(yùn)算符號的問題一般會有多個解。這些填法都是通過對問題的綜合觀察、分析和試算得到的，如果只是盲目地“試算”，那么就可能走很多彎路。 例5 在下式的兩數(shù)中間添上四則運(yùn)算符號，使等式成立： 　　8 2 3＝3 3。 分析與解：首先考察右端“3 3”，它有四種填法： 　　3+3＝6； 3-3＝0； 　　33＝9； 33=1。 　　再考察左端“8 2 3”，因?yàn)橹挥幸粋€奇數(shù)3，所以要想得到奇數(shù)，3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶數(shù)，3的前面只能填“”。經(jīng)試算，只有兩種符合題意的填法： 　　8-2＋3＝33；82-3＝33。 　　填運(yùn)算符號可加深對四則運(yùn)算的理解和認(rèn)識，也是培養(yǎng)分析能力的好內(nèi)容。 附送： 2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 橫式數(shù)字謎（二） 　　第2講我們初步介紹了簡單的橫式填數(shù)問題。這一講再繼續(xù)介紹一些此類問題。 例1 在下列各式的□里填上合適的數(shù)字： (1)237□□=□； (2)368□□=□□； (3)14□□=3□8。 解：(1)將除法變?yōu)槌朔?，可以轉(zhuǎn)化為“在 　　237=□□□ 　　中填入合適的數(shù)字”的問題。因?yàn)?237＝2371＝793，所以只有一種填法： (2)問題可以轉(zhuǎn)化為“在368＝□□□□中填入合適的數(shù)字”的問題。因?yàn)? 　　368＝3681＝1842＝924 　?。?68＝2316， 　　其中只有368＝2316是兩個兩位數(shù)之積。因而有如下兩種填法： (3)由被乘數(shù)的個位數(shù)是4，積的個位數(shù)是8知，乘數(shù)的個位數(shù)只可能為2或7，再由被乘數(shù)的十位數(shù)是1，積的百位數(shù)是3知，乘數(shù)的十位數(shù)不能填大于3的數(shù)字。所以乘數(shù)只可能是12，17，22，27，32或37。經(jīng)試算，符合題意的填法有兩種： 例2 在下列各式的□里填上合適的數(shù)： (1)□32＝7……29； (2)480156＝□……12； (3)5367□＝83……55。 　　分析：根據(jù)有余數(shù)的除法(簡稱帶余除法)知： 　　被除數(shù)=不完全商除數(shù)＋余數(shù)， 　　被除數(shù)-余數(shù)=不完全商除數(shù)。 　　上式說明，(被除數(shù)-余數(shù))是不完全商或除數(shù)的倍數(shù)，并且有 　　(被除數(shù)-余數(shù))除數(shù)=不完全商， 　　(被除數(shù)-余數(shù))不完全商=除數(shù)。 　　由此分析，可以得到如下解法。 解：(1)由732＋29＝253，得到如下填法： 　　 (2)由(480-12)156＝3，得到如下填法： 　　 (3)由(5367-55)83＝64，得到如下填法： 　　 例3 在下列各式的□里填入合適的數(shù)字，使等式成立： (1)□5□23＝5□□2； (2)9□□448=□0□。 分析與解：(1)首先，從個位數(shù)分析，可知被乘數(shù)的個位數(shù)只能為4。 　　其次，從首位數(shù)分析知，被乘數(shù)□5□的首位數(shù)只能為2。因?yàn)椋怀藬?shù)的首位取1時，23的積的首位小于5，而取大于2的數(shù)時，積的首位數(shù)大于5。 　　由25423＝5842知，填法如下： (2)將問題轉(zhuǎn)換成“在 9□□4=□0□48中填數(shù)”的問題。 　　類似(1)的分析，被乘數(shù)□0□的首位只能填2，個位數(shù)只能填3或8。由 　　20348＝9744和20848＝9984 　　知，有如下兩種填法： 例4 在下列各題中，每一題的四個□中都填同一個數(shù)字，使式子成立： (1)□+□＞□□； (2)□+□=□□； (3)□+□＜□□。 解：解這類題全靠對數(shù)的深刻認(rèn)識和對四則運(yùn)算的熟練掌握。 (2)只能填2或0： (3)除0，1，2三數(shù)字外，其他數(shù)字3，4，…，9都可填。 例5 在下式的□中填入合適的數(shù)字，并要求等式中沒有重復(fù)的數(shù)字： 　　756=□□□□。 分析與解：將乘法式子改寫成除法式子： 　　756□=□□□。 　　因?yàn)楸怀龜?shù)與商都是三位數(shù)，所以除數(shù)不能大于被除數(shù)的百位數(shù)7。又因?yàn)轭}目要求沒有重復(fù)數(shù)字，所以除數(shù)只可能是2，3，4。逐一試除，得到 　　7562＝378， 　　7563＝252， 　　7564＝189。 　　只有7564＝189沒有重復(fù)數(shù)字，所以只有一種填法： 例6 將0，1，2，3，4，5，6七個數(shù)字分別填入下式的七個□里，使算式成立： 　　□□□=□□=□□。 分析與解：為了方便，我們將原式分成兩個等式，并在□里填上字母，以示區(qū)別： 　　其中字母A，B，C，D，E，F(xiàn)，G分別代表0～6這七個數(shù)字。由①式看出，E不能是0，否則B也是0，不合題意。再由②式看出，F(xiàn)，G既不能是0，也不能是1。F，G只能是 2，3，4，5或6，考慮到E≠0，再除去有重復(fù)數(shù)字的情形，滿足②式的數(shù)字填法只有34＝12。此時，還剩下0，5，6三個數(shù)字未填。因?yàn)樵冖偈街蠥，C都不能是0，所以B是0，由605＝12，得到符合題意的唯一填法： 練習(xí) 　　1.在下列各式的□中分別填入相同的兩位數(shù)： 　　(1)5□=2□； 　　(2)6□＝3□。 　　2.將3～9中的數(shù)填入下列各式，使算式成立，要求各式中無重復(fù)的數(shù)字： 　　(1)□□=□□； 　　(2)□□＞□□。 　　3.在下列各式的□中填入合適的數(shù)字： 　　(1)448□□=□； 　　(2)2822□□=□□； 　　(3)13□□= 4□6。 　　4.在下列各式的□中填入合適的數(shù)： 　　(1) □32＝8……31； 　　(2)57332＝□……29； 　　(3)4837□＝74……27。 　　5.在下列各式的□中填入合適的數(shù)字，要求各等式中無重復(fù)的數(shù)字： 　　(1)342□□=□； 　　(2)□□□□＝567。 　　6.將1～9這九個數(shù)字分別填入下式中的九個□里，使連等式成立： 　　□□=□□=□□□□□。