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大題加練(一) 姓名：________　班級：________　用時：______分鐘 1．數(shù)學課上，張老師出示了問題： 如圖1，AC，BD是四邊形ABCD的對角線，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60，則線段BC，CD，AC三者之間有何等量關系？ 經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的思路： 如圖2，延長CB到E，使BE＝CD，連接AE，證得△ABE≌△ADC，從而容易證明△ACE是等邊三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC＋CD. 小亮展示了另一種正確的思路： 如圖3，將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60，使AB與AD重合，從而容易證明△ACF是等邊三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC＋CD. 在此基礎上，同學們作了進一步的研究： (1)小穎提出：如圖4，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60”改為∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45”，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關系？針對小穎提出的問題，請你寫出結論，并給出證明； (2)小華提出：如圖5，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60”改為“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝30”，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關系？針對小華提出的問題，請你寫出結論，并給出證明． 2．【問題情境】 在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α(0＜α＜180)，點P為直線BC上一動點(不與點B，C重合)，連接AP，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ，旋轉(zhuǎn)角為α)，連接CQ. 【特例分析】 (1)當α＝90，點P在線段BC上時，過P作PF∥AC交直線AB于點F，如圖1，易得圖中與△APF全等的一個三角形是________，∠ACQ＝________； 【拓展探究】 (2)當點P在BC延長線上，AB∶AC＝m∶n時，如圖2，試求線段BP與CQ的比值； 【問題解決】 (3)當點P在直線BC上，α＝60，∠APB＝30，CP＝4時，請直接寫出線段CQ的長． 參考答案 1．解：(1)BC＋CD＝AC. 證明如下：如圖，延長CD至E，使DE＝BC，連接AE. ∵∠ABD＝∠ADB＝45， ∴AB＝AD，∠BAD＝180－∠ABD－∠ADB＝90. ∵∠ACB＝∠ACD＝45，∴∠ACB＋∠ACD＝90， ∴∠BAD＋∠BCD＝180，∴∠ABC＋∠ADC＝180. ∵∠ADC＋∠ADE＝180，∴∠ABC＝∠ADE. 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴∠ACB＝∠AED＝45，AC＝AE， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴CE＝AC. ∵CE＝CD＋DE＝CD＋BC， ∴BC＋CD＝AC. (2)BC＋CD＝AC. 證明如下：如圖，延長CD至E，使DE＝BC. ∵∠ABD＝∠ADB＝30， ∴AB＝AD，∠BAD＝180－∠ABD－∠ADB＝120. ∵∠ACB＝∠ACD＝30，∴∠ACB＋∠ACD＝60， ∴∠BAD＋∠BCD＝180，∴∠ABC＋∠ADC＝180. ∵∠ADC＋∠ADE＝180，∴∠ABC＝∠ADE. 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴∠ACB＝∠AED＝30，AC＝AE， ∴∠AEC＝30. 如圖，過點A作AF⊥CE于F， ∴CE＝2CF. 在Rt△ACF中，∠ACD＝30，CF＝ACcos∠ACD＝AC， ∴CE＝2CF＝AC. ∵CE＝CD＋DE＝CD＋BC， ∴BC＋CD＝AC. 2．解：(1)△PQC　90 (2)如圖，過P作PF∥AC，交BA的延長線于F，則＝. 又∵AB＝BC，∴AF＝CP. ∵∠FAP＝∠ABC＋∠APB＝α＋∠APB，∠CPQ＝∠APQ＋∠APB＝α＋∠APB， ∴∠FAP＝∠CPQ. 由旋轉(zhuǎn)可得PA＝PQ， ∴△AFP≌△PCQ，∴FP＝CQ. ∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP， ∴＝， ∴＝＝＝＝. (3)線段CQ的長為2或8.理由如下： 如圖，當P在CB的延長線上時， ∠CPQ＝∠APQ－∠APB＝60－30＝30， ∴∠APC＝∠QPC. 又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC， ∴CQ＝AC. 又∵BA＝BC，∠ABC＝60， ∴△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC＝60，∠BAP＝∠ABC－∠APB＝30， ∴BP＝AB＝BC＝PC＝2， ∴QC＝AC＝BC＝2. 如圖，當P在BC的延長線上時，連接AQ. 由旋轉(zhuǎn)可得AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60， ∴△APQ是等邊三角形， ∴AQ＝PQ，∠APQ＝60＝∠AQP. 又∵∠APB＝30，∠ACB＝60， ∴∠CAP＝30，∠CPQ＝90，∴∠CAP＝∠CPA， ∴AC＝PC，∴△ACQ≌△PCQ， ∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30， ∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8. 綜上所述，線段CQ的長為2或8.