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成才之路 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索 人教A版 必修4 三角函數(shù) 第一章 1 4 2正弦函數(shù) 余弦函數(shù)的性質(zhì) 第一章 第1課時(shí)周期函數(shù) 1 下列對(duì)函數(shù)y cosx的圖象描述錯(cuò)誤的是 A 在 0 2 和 4 6 上的圖象形狀相同 只是位置不同B 介于直線y 1與直線y 1之間C 關(guān)于x軸對(duì)稱D 與y軸只有一個(gè)交點(diǎn) 答案 C 解析 觀察余弦函數(shù)的圖象知 y cosx關(guān)于y軸對(duì)稱 知識(shí)銜接 2 cosx 0在x 0 2 上的解集是 4 在 0 2 內(nèi) 作出y 2sinx的圖象 分析 作函數(shù)圖象首先要列表 然后描點(diǎn) 連線 對(duì)正弦函數(shù)來(lái)說(shuō) 需要用到起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn) 解析 按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表 描點(diǎn)并用光滑的曲線連接起來(lái) 如圖所示 1 周期函數(shù) 1 定義 一般地 對(duì)于函數(shù)y f x 如果存在一個(gè) 常數(shù)T 使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí) 都有f x T 那么函數(shù)y f x 叫做周期函數(shù) 非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的 2 規(guī)定 對(duì)于周期函數(shù)來(lái)說(shuō) 如果所有的周期中存在著一個(gè) 的正數(shù) 就稱它為最小正周期 在沒有特殊說(shuō)明的情況下 三角函數(shù)的周期均是指它的 自主預(yù)習(xí) 非零 f x 周期 最小 最小正周期 小結(jié) 若函數(shù)y f x 是周期函數(shù) T是一個(gè)周期 則有 定義域中含有無(wú)限個(gè)實(shí)數(shù) 對(duì)定義域內(nèi)任意x 均有f x kT f x 其中k Z k 0 一般的f x 的圖象每隔一個(gè)周期T重復(fù)出現(xiàn)一次 2 兩種特殊的周期函數(shù) 1 正弦函數(shù)y sinx是周期函數(shù) 2k k Z且k 0 都是它的周期 最小正周期是2 2 余弦函數(shù)y cosx是周期函數(shù) 2k k Z且k 0 都是它的周期 最小正周期是2 3 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性 實(shí)質(zhì)是由終邊相同的角所具有的周期性所決定的 預(yù)習(xí)自測(cè) 3 定義在R上周期為3的偶函數(shù)f x 若f 1 2 則f 7 答案 2 解析 f 7 f 7 2 3 f 1 f 1 2 4 定義在R上周期為2的奇函數(shù) 則f 1 答案 0 解析 f 1 f 1 1 2 f 1 f 1 f 1 0 三角函數(shù)的周期 互動(dòng)探究 已知定義在R上的函數(shù)y f x 滿足f x f x 1 求證 函數(shù)y f x 是周期函數(shù) 函數(shù)周期性的規(guī)律 探索延拓 分析 只需找到一個(gè)非零實(shí)數(shù)T 滿足f x T f x 即可 規(guī)律總結(jié) 通常用周期函數(shù)的定義討論非三角函數(shù)的周期問題 即只需找到一個(gè)非零實(shí)數(shù)T 對(duì)定義域內(nèi)任意x總有f x T f x 成立 函數(shù)周期的應(yīng)用 答案 D 規(guī)律總結(jié) 1 解答此類題目的關(guān)鍵是利用化歸的思想 借助于周期函數(shù)的定義把待求問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上 代入求解便可 2 如果一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù) 倘若要研究該函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 結(jié)合周期函數(shù)的定義域可知 完全可以只研究該函數(shù)一個(gè)周期上的特征 再加以推廣便可以得到函數(shù)在定義域內(nèi)的有關(guān)性質(zhì) 易錯(cuò)點(diǎn)不清楚f x T 表達(dá)的意義 誤區(qū)警示 1 下列是定義在R上的四個(gè)函數(shù)圖象的一部分 其中不是周期函數(shù)的是 答案 D 答案 C 答案 B 4 函數(shù)f x 是以2為周期的函數(shù) 且f 2 2 則f 6 答案 2 解析 f 6 f 4 2 f 4 f 2 2 f 2 2