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2019-2020年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律法 　　觀察、搜集已知事實(shí)，從中發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性的線索，用以探索未知事件的奧秘，是人類智力活動(dòng)的主要內(nèi)容。 　　數(shù)學(xué)上有很多材料可用以來模擬這種活動(dòng)、培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。 　　例1 觀察數(shù)列的前面幾項(xiàng)，找出規(guī)律，寫出該數(shù)列的第100項(xiàng)來？ 　　12345，23451，34512，45123，… 　　解：為了尋找規(guī)律，再多寫出幾項(xiàng)出來，并給以編號(hào)： 　　 　　仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的第6項(xiàng)同第1項(xiàng)，第7項(xiàng)同第2項(xiàng)，第8項(xiàng)同第3項(xiàng)，…也就是說該數(shù)列各項(xiàng)的出現(xiàn)具有周期性，他們是循環(huán)出現(xiàn)的，一個(gè)循環(huán)節(jié)包含5項(xiàng)。 　　1005=20。 　　可見第100項(xiàng)與第5項(xiàng)、第10項(xiàng)一樣（項(xiàng)數(shù)都能被5整除），即第100項(xiàng)是51234。 　　例2 把寫上1到100這100個(gè)號(hào)碼的牌子，像下面那樣依次分發(fā)給四個(gè)人，你知道第73號(hào)牌子會(huì)落到誰的手里？ 　　解：仔細(xì)觀察，你會(huì)發(fā)現(xiàn)： 　　分給小明的牌子號(hào)碼是1，5，9，13，…，號(hào)碼除以4余1； 　　分給小英的牌子號(hào)碼是2，6，10，14，…，號(hào)碼除以4余2； 　　分給小方的牌子號(hào)碼是3，7，11，…，號(hào)碼除以4余3； 　　分給小軍的牌子號(hào)碼是4，8，12，…，號(hào)碼除以4余0（整除）。 　　因此，試用4除73看看余幾？ 　　734=18…余 1 　　可見73號(hào)牌會(huì)落到小明的手里。 　　這就是運(yùn)用了如下的規(guī)律： 　　用這種規(guī)律預(yù)測(cè)第幾號(hào)牌子發(fā)給誰，是很容易的，請(qǐng)同學(xué)們自己再試一試。 　　例3 四個(gè)小動(dòng)物換位，開始小鼠、小猴、小兔和小貓分別坐在1、2、3、4號(hào)位子上（如下圖所示）。第一次它們上下兩排換位，第二次左右換位，第三次又上下交換，第四次左右交換。這樣一直交換下去，問十次換位后，小兔坐在第幾號(hào)座位上？ 　　解：為了能找出變化規(guī)律，再接著寫出幾次換位情況，見下圖。 　　盯住小兔的位置進(jìn)行觀察： 　　第一次換位后，它到了第1號(hào)位； 　　第二次換位后，它到了第2號(hào)位； 　　第三次換位后，它到了第4號(hào)位； 　　第四次換位后，它到了第3號(hào)位； 　　第五次換位后，它又到了第1號(hào)位； 　　… 　　可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過四次換位后，小兔又回到了原來的位置，利用這個(gè)規(guī)律以及104=2…余2，可知： 　　第十次換位后，小兔的座位同第二次換位后的位置一樣，即在第二號(hào)位。 　　如果再仔細(xì)地把換位圖連續(xù)起來研究研究，可以發(fā)現(xiàn)，隨著一次次地交換， 　　小兔的座位按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 　　小鼠的座位按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 　　小猴的座位按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 　　小貓的座位按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 　　按這個(gè)規(guī)律也可以預(yù)測(cè)任何小動(dòng)物在交換幾次后的座位。 　　例4 從1開始，每隔兩個(gè)數(shù)寫出一個(gè)數(shù)，得到一列數(shù)，求這列數(shù)的第100個(gè)數(shù)是多少？ 　　1，4，7，10，13，… 　　解：不難看出，這是一個(gè)等差數(shù)列，它的后一項(xiàng)都比相鄰的前一項(xiàng)大3，即公差=3，還可以發(fā)現(xiàn)： 　　第2項(xiàng)等于第1項(xiàng)加1個(gè)公差即 　　4=1+13。 　　第3項(xiàng)等于第1項(xiàng)加2個(gè)公差即 　　7=1+23。 　　第4項(xiàng)等于第1項(xiàng)加3個(gè)公差即 　　10=1+33。 　　第5項(xiàng)等于第1項(xiàng)加4個(gè)公差即 　　13=1+43。 　　… 　　可見第n項(xiàng)等于第1項(xiàng)加（n-1）個(gè)公差，即 　　　 　　按這個(gè)規(guī)律，可求出： 　　第100項(xiàng)=1+（100-1）3=1+993=298。 　　例5 畫圖游戲先畫第一代，一個(gè)△，再畫第二代，在△下面畫出兩條線段，在一條線段的末端又畫一個(gè)△，在另一條的末端畫一個(gè)○；畫第三代，在第二代的△下面又畫出兩條線段，一條末端畫△，另一條末端畫○；而在第二代的○的下面畫一條線，線的末端再畫一個(gè)△；…一直照此畫下去（見下圖），問第十次的△和○共有多少個(gè)？ 　　解：按著畫圖規(guī)則繼續(xù)畫出幾代，以便于觀察，以期從中找出圖形的生成規(guī)律，見下圖。 　　數(shù)一數(shù)，各代的圖形（包括△和○）的個(gè)數(shù)列成下表： 　　可以發(fā)現(xiàn)各代圖形個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的生成規(guī)律是，從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都是前面兩項(xiàng)之和。按此規(guī)律接著把數(shù)列寫下去，可得出第十代的△和○共有89個(gè)（見下表）： 　　這就是著名的裴波那契數(shù)列。裴波那契是意大利的數(shù)學(xué)家，他生活在距今大約七百多年以前的時(shí)代。 　　例6 如下圖所示，5個(gè)大小不等的中心有孔的圓盤，按大的在下、小的在上的次序套在木樁上構(gòu)成了一座圓盤塔?，F(xiàn)在要把這座圓盤塔移到另一個(gè)木樁上。規(guī)定移動(dòng)時(shí)要遵守一個(gè)條件，每搬一次只許拿一個(gè)圓盤而且任何時(shí)候大圓盤都不能壓住小圓盤。假如還有第三個(gè)木樁可作臨時(shí)存放圓盤之用。問把這5個(gè)圓盤全部移到另一個(gè)木樁上至少需要搬動(dòng)多少次？（下圖所示） 　　解：先從最簡(jiǎn)單情形試起。 　?、佼?dāng)僅有一個(gè)圓盤時(shí)，顯然只需搬動(dòng)一次（見下頁圖）。 　?、诋?dāng)有兩個(gè)圓盤時(shí)，只需搬動(dòng)3次（見下圖）。 　?、郛?dāng)有三個(gè)圓盤時(shí)，需要搬動(dòng)7次（見下頁圖）。 　　 　　總結(jié)，找規(guī)律： 　　①當(dāng)僅有一個(gè)圓盤時(shí)，只需搬1次。 　?、诋?dāng)有兩個(gè)圓盤，上面的小圓盤先要搬到臨時(shí)樁上，等大圓盤搬到中間樁后，小圓盤還得再搬回來到大圓盤上。所以小的要搬兩次，下面的大盤要搬1次。這樣搬到兩個(gè)圓盤需3次。 　?、郛?dāng)有三個(gè)圓盤時(shí)，必須先要把上面的兩個(gè)小的圓盤搬到臨時(shí)樁上，見上圖中的（1）～（3）。由前面可知，這需要搬動(dòng)3次。然后把最下層的最大圓盤搬一次到中間樁上，見圖（4），之后再把上面的兩個(gè)搬到中間樁上，這又需搬3次，見圖中（5）～（7）。 　　所以共搬動(dòng)23+1=7次。 　　④推論，當(dāng)有4個(gè)圓盤時(shí)，就需要先把上面的3個(gè)圓盤搬到臨時(shí)樁上，需要7次，然后把下面的大圓盤搬到中間樁上（1次），之后再把臨時(shí)樁上的3個(gè)圓盤搬到中間樁上，這又需要7次，所以共需搬動(dòng)27+1=15次。 　?、菘梢姰?dāng)有5個(gè)圓盤時(shí)，要把它按規(guī)定搬到中間樁上去共需要： 　　215+1=31次。 　　這樣也可以寫出一個(gè)一般的公式（叫遞推公式） 　　 　　對(duì)于有更多圓盤的情況可由這個(gè)公式算出來。 　　 　　進(jìn)一步進(jìn)行考察，并聯(lián)想到另一個(gè)數(shù)列： 　　 　　若把n個(gè)圓盤搬動(dòng)的次數(shù)寫成an，把兩個(gè)表對(duì)照后， 　　可得出 　　 　　有了這個(gè)公式后直接把圓盤數(shù)代入計(jì)算就行了，不必再像前一個(gè)公式那樣進(jìn)行遞推了。 附送： 2019-2020年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（一） 　　例1 觀察下面由點(diǎn)組成的圖形（點(diǎn)群），請(qǐng)回答： 　?。?）方框內(nèi)的點(diǎn)群包含多少個(gè)點(diǎn)？ 　?。?）第（10）個(gè)點(diǎn)群中包含多少個(gè)點(diǎn)？ 　?。?）前十個(gè)點(diǎn)群中，所有點(diǎn)的總數(shù)是多少？ 　　 　　解：數(shù)一數(shù)可知：前四個(gè)點(diǎn)群中包含的點(diǎn)數(shù)分別是： 　　1，4，7，10。 　　可見，這是一個(gè)等差數(shù)列，在每相鄰的兩個(gè)數(shù)中，后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大3（即公差是3）。 　?。?）因?yàn)榉娇騼?nèi)應(yīng)是第（5）個(gè)點(diǎn)群，它的點(diǎn)數(shù)應(yīng)該是10+3=13（個(gè)）。 　?。?）列表，依次寫出各點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)， 　　 　　可知第（10）個(gè)點(diǎn)群包含有28個(gè)點(diǎn)。 　　（3）前十個(gè)點(diǎn)群，所有點(diǎn)的總數(shù)是： 　　1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（個(gè)） 　　 　　例2 圖6—2表示“寶塔”，它們的層數(shù)不同，但都是由一樣大的小三角形擺成的。仔細(xì)觀察后，請(qǐng)你回答： 　?。?）五層的“寶塔”的最下層包含多少個(gè)小三角形？ 　　（2）整個(gè)五層“寶塔”一共包含多少個(gè)小三角形？ 　?。?） 從第（1）到第（10）的十個(gè)“寶塔”，共包含多少個(gè)小三角形？ 　　解：（1）數(shù)一數(shù)“寶塔”每層包含的小三角形數(shù)： 　　可見1，3，5，7是個(gè)奇數(shù)列，所以由這個(gè)規(guī)律猜出第五層應(yīng)包含的小三角形是9個(gè)。 　?。?）整個(gè)五層塔共包含的小三角形個(gè)數(shù)是： 　　1+3+5+7+9=25（個(gè)）。 　?。?）每個(gè)“寶塔”所包含的小三角形數(shù)可列表如下： 　 　　由此發(fā)現(xiàn)從第（1）到第（10）共十個(gè)“寶塔”所包含的小三角形數(shù)是從1開始的自然數(shù)平方數(shù)列前十項(xiàng)之和： 　　例3 下面的圖形表示由一些方磚堆起來的“寶塔”。仔細(xì)觀察后，請(qǐng)你回答： 　?。?）從上往下數(shù)，第五層包含幾塊磚？ 　　（2）整個(gè)五層的“寶塔”共包含多少塊磚？ 　?。?）若另有一座這樣的十層寶塔，共包含多少塊磚？ 　　解：（1）數(shù)一數(shù)，“寶塔”每層包含的方磚塊數(shù)： 　　可見各層的方磚塊數(shù)組成自然數(shù)平方數(shù)列，按此規(guī)律，第五層應(yīng)包含的方磚塊數(shù)是： 　　55=25（塊）。 　?。?）整個(gè)五層“寶塔”共包含的方磚塊數(shù)應(yīng)是從1開始的前五個(gè)自然數(shù)的平方數(shù)相加之和，即： 　　1+4+9+16+25=55（塊）。 　　（3）根據(jù)上面得到的規(guī)律，可求出十層寶塔所包含的方磚的塊數(shù)：