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2019-2020年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 一筆畫問題 　　一天，小明做完作業(yè)正在休息，收音機中播放著輕松、悅耳的音樂。他拿了支筆，信手在紙上寫了“中”、“日”、“田”幾個字。突然，他腦子里閃出一個念頭，這幾個字都能一筆寫出來嗎？他試著寫了寫，“中”和“日”可以一筆寫成（沒有重復的筆劃），但寫到“田”字，試來試去也沒有成功。下面是他寫的字樣。（見下圖） 　　這可真有意思！由此他又聯(lián)想到一些簡單的圖形，哪個能一筆畫成，哪個不能一筆畫成呢？下面是他試著畫的圖樣。（見下圖） 　 　　經(jīng)過反復試畫，小明得到了初步結(jié)論：圖中的（1）、（3）、（5）能一筆畫成；（2）、（4）、（6）不能一筆畫成。真奇怪！小明發(fā)現(xiàn)，簡單的筆畫少的圖不一定能一筆畫得出來。而復雜的筆畫多的圖有時反倒能夠一筆畫出來，這其中隱藏著什么奧秘呢？小明進一步又提出了如下問題： 　　如果說一個圖形是否能一筆畫出不決定于圖的復雜程度，那么這事又決定于什么呢？ 　　能不能找到一條判定法則，依據(jù)這條法則，對于一個圖形，不論復雜與否，也不用試畫，就能知道是不是能一筆畫成？ 　　先從最簡單的圖形進行考察。一些平面圖形是由點和線構(gòu)成的。這里所說的“線”，可以是直線段，也可以是一段曲線。而且為了明顯起見，圖中所有線的端點或是幾條線的交點都用較大的黑點“●”表示出來了。 　　首先不難發(fā)現(xiàn)，每個圖中的每一個點都有線與它相連；有的點與一條線相連，有的點與兩條線相連，有的點與3條線相連等等。 　　其次從前面的試畫過程中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，一個圖能否一筆畫成不在于圖形是否復雜，也就是說不在于這個圖包含多少個點和多少條線，而在于點和線的連接情況如何——一個點在圖中究竟和幾條線相連。看來，這是需要仔細考察的。第一組（見下圖） 　?。?）兩個點，一條線。 　　每個點都只與一條線相連。 　?。?）三個點。 　　兩個端點都只與一條線相連，中間點與兩條線連。 　　第一組的兩個圖都能一筆畫出來。 　?。ǖ⒁獾冢?）個圖必須從一個端點畫起）第二組（見下圖） 　?。?）五個點，五條線。 　　A點與一條線相連，B點與三條線相連，其他的點都各與兩條線相連。 　?。?）六個點，七條線。（“日”字圖） 　　A點與B點各與三條線相連，其他點都各與兩條線相連。 　　第二組的兩個圖也都能一筆畫出來，如箭頭所示那樣畫。即起點必需是A點（或B點），而終點則定是B點（或A點）。 　　第三組（見下圖） 　 　　（1）四個點，三條線。 　　三個端點各與一條線相連，中間點與三條線相連。 　?。?）四個點，六條線。 　　每個點都與三條線相連。 　?。?）五個點，八條線。 　　點O與四條線相連，其他四個頂點各與三條線相連。 　　第三組的三個圖形都不能一筆畫出來。 　　第四組（見下圖） 　?。?）這個圖通常叫五角星。 　　五個角的頂點各與兩條線相連，其他各點都各與四條線相連。 　?。?）由一個圓及一個內(nèi)接三角形構(gòu)成。 　　三個交點，每個點都與四條線相連（這四條線是兩條線段和兩條弧線）。 　?。?）一個正方形和一個內(nèi)切圓構(gòu)成。 　　正方形的四個頂點各與兩條線相連，四個交點各與四條線相連。 　　（四條線是兩條線段和兩條弧線）。 　　第四組的三個圖雖然比較復雜，但每一個圖都可以一筆畫成，而且畫的時候從任何一點開始畫都可以。第五組（見下圖） 　?。?）這是“品”字圖形，它由三個正方形構(gòu)成，它們之間沒有線相連。 　?。?）這是古代的錢幣圖形，它是由一個圓形和中間的正方形方孔組成。圓和正方形之間沒有線相連。 　　第五組的兩個圖形叫不連通圖，顯然不能一筆把這樣的不連通圖畫出來。 　　進行總結(jié)、歸納，看能否找出可以一筆畫成的圖形的共同特點，為方便起見，把點分為兩種，并分別定名： 　　把和一條、三條、五條等奇數(shù)條線相連的點叫做奇點；把和兩條、四條、六條等偶數(shù)條線相連的點叫偶點，這樣圖中的要么是奇點，要么是偶點。 　　提出猜想：一個圖能不能一筆畫成可能與它包含的奇點個數(shù)有關(guān)，對此列表詳查： 　　從此表來看，猜想是對的。下面試提出幾點初步結(jié)論： 　?、俨贿B通的圖形必定不能一筆畫；能夠一筆畫成的圖形必定是連通圖形。 　　②有0個奇點（即全部是偶點）的連通圖能夠一筆畫成。（畫時可以任一點為起點，最后又將回到該點）。 　?、壑挥袃蓚€奇點的連通圖也能一筆畫成（畫時必須以一個奇點為起點，而另一個奇點為終點）； 　?、芷纥c個數(shù)超過兩個的連通圖形不能一筆畫成。最后，綜合成一條判定法則： 　　有0個或2個奇點的連通圖能夠一筆畫成，否則不能一筆畫成。 　　能夠一筆畫成的圖形，叫做“一筆畫”。 　　用這條判定法則看一個圖形是不是一筆畫時，只要找出這個圖形的奇點的個數(shù)來就能行了，根本不必用筆試著畫來畫去。 　　看看下面的圖可能會加深你對這條法則的理解。 　　 　　從畫圖的過程來看：筆總是先從起點出發(fā)，然后進入下一個點，再出去，然后再進出另外一些點，一直到最后進入終點不再出來為止。由此可見： 　?、俟P經(jīng)過的中間各點是有進有出的，若經(jīng)過一次，該點就與兩條線相連，若經(jīng)過兩次則就與四條線相連等等，所以中間點必為偶點。 　?、谠倏雌瘘c和終點，可分為兩種情況：如果筆無重復地畫完整個圖形時最后回到起點，終點和起點就重合了，那么這個重合點必成為偶點，這樣一來整個圖形的所有點必將都是偶點，或者說有0個奇點；如果筆畫完整個圖形時最后回不到起點，就是終點和起點不重合，那么起點和終點必定都是奇點，因而該圖必有2個奇點，可見有0個或2個奇點的連通圖能夠一筆畫成。 附送： 2019-2020年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 找規(guī)律（二） 　　例1 仔細觀察下面的圖形，找出變化規(guī)律，猜猜在第3組的右框空白格內(nèi)填一個什么樣的圖？ 　　解：仔細觀察圖7—1，可知： 　　第1組左邊是個大菱形，右邊是個小菱形。 　　第2組左邊是個大三角形，右邊是個小三角形。 　　其規(guī)律是：每組中左右兩邊圖形的形狀相同，大小不同。都是左邊的圖形大，右邊的圖形小。 　　猜出答案：第3組中右邊空白格內(nèi)應填個小長方形。（如圖7—3）。 　　仔細觀察圖7—2可知： 　　第1組左邊是個圓，而且左半圓涂有陰影線。右邊是左邊的陰影半圓順時針旋轉(zhuǎn)后放置的。 　　第2組左邊是個等腰三角形，而且左半部（直角三角形）涂有陰影線，右邊是左邊陰影直角三角形順時針旋轉(zhuǎn)后放置的。 　　其規(guī)律是：每組的右邊格內(nèi)的圖形都是左邊圖形左邊的一半，順時針旋轉(zhuǎn)放置后成為右邊圖形。 　　猜出答案：第3組中右框內(nèi)應填個陰影小長方形。如圖7—4示。 　　例2 按順序仔細觀察圖7—5、7—6的形狀，猜一猜第3組的“？”處應填什么圖？ 　　解：圖7—5的？處應填○▲。注意觀察第1組和第2組，每組都是由三對小圖形組成；而每對小圖形都是由一個“空白”的和一個“黑色”的小圖形組成；而且它倆的排列順序都是“空白”的在左邊，“黑色”的在右邊。 　　再按著第1、第2、第3組的順序觀察下去，可發(fā)現(xiàn)每對小圖形在各組中的位置的變化規(guī)律：它們都在向左移動，當一對小圖形移動到最左邊后，下一步它就回到了最右邊。按這個移動規(guī)律，可知圖7—5中第3組“？”處應填：○▲。 　　圖7—6的？處應填□△0。仔細觀察可發(fā)現(xiàn)第1組和第2組中間的部分都是由三個小圖形構(gòu)成的。構(gòu)成的規(guī)律是：當你按照第1、第2、第3組的順序觀察時，6個小圖形都在向左移動，而且移動的同時又在重新分組和組合，但排列順序保持不變，當某一個小圖形移動到了最左邊時，下一步它就回到了最右邊。按這個規(guī)律可知圖7—6中第3組中間“？”處是：□△0。 　　例3 觀察圖7—7的變化，請先回答：在方框（4）中應畫出怎樣的圖形？ 　　再答按（1）、（2）、（3）、……的順序數(shù)下去，第（10）個方框中是怎樣的圖形？ 　　解：先按（1）、（2）、（3）、……的順序仔細觀察，可發(fā)現(xiàn)： 　　方框中的箭頭是按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的；方框中的其他小圖形，如△、□和○也都是按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的。 　　也就是說，方框連同內(nèi)部的所有小圖形作為一個整體在按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。 　　因此，方框（4）中的小圖形應畫成圖7—8狀。再按已找到的規(guī)律，進一步可發(fā)現(xiàn)圖形的變化是有“周期性”的，也就是說，每過4個方框后，同樣的圖形又重新出現(xiàn)一次。如，你可看到第（1）和第（5）是完全一樣的；因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）個圖形應當是完全一樣的。即第（10）個方框中的圖形應是圖7—9所示的樣子。 　　例4 觀察圖7—10的變化，請先回答： 　　第（4）、（8）個圖中，黑點在什么地方？ 　　第（10）、（18）個圖中，黑點在什么地方？ 　　解：（1）按圖7—10中（1）、（2）、（3）、……的順序仔細觀察，可發(fā)現(xiàn)黑點位置的變化規(guī)律： 　　在（1）中，黑點在最上面第一條橫線上； 　　在（2）中，黑點下降了一格，在上面第二條橫線上； 　　在（3）中，黑點又下降了一格，在中間一條線上了。 　　按黑點位置的這種變化可推測出： 　　在（4）中，黑點又下降一格，它的位置應如圖7—11所示。 　　繼續(xù)觀察下去： 　　在（5）中，黑點下降到最下面的一條橫線上； 　　在（6）中，黑點開始往上升一格； 　　在（7）中，黑點再上升一格，按著黑點位置的這種變化可推測出： 　　在（8）中，黑點又上升一格，它的位置應如圖7—12所示。 　?。?）進一步仔細觀察圖7—10（1）～（9），可發(fā)現(xiàn)黑點位置變化的“周期性”規(guī)律：也就是說，每隔8個小圖，黑點又回到原來的位置。 　　因為2+8=10，2+8+8=18。 　　所以第（10）、（18）個小圖中，黑點的位置應與第（2）個小圖相同，見圖7—13所示。