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圓綜合問題 06 圓綜合問題 1.如圖ZT6-1,△ABC為☉O的內(nèi)接三角形,點D為劣弧AC上一點,連接AD,CD,CO,BO,延長CO,交AB于點F,CD=BC. (1)求證:∠DAC=∠ACO+∠ABO; (2)點E在OC上,連接EB,若∠DAB=∠OBA+∠EBA,求證:EF=EB. 圖ZT6-1 2.[xx陜西] 如圖ZT6-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90,以斜邊AB上的中線CD為直徑作☉O,分別與AC,BC相交于點M,N. (1)過點N作☉O的切線NE,與AB相交于點E,求證:NE⊥AB; (2)連接MD,求證:MD=NB. 圖ZT6-2 3.如圖ZT6-3,☉O是△ABC的外接圓,AE平分∠BAC,交☉O于點E,交BC于點D,過點E作直線l∥BC. (1)判斷直線l與☉O的關系,并說明理由; (2)若∠ABC的平分線BF交AD于點F,求證:BE=EF; (3)在(2)的條件下,若DE=5,DF=3,求AF的長. 圖ZT6-3 4.[xx攀枝花] 如圖ZT6-4,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O分別與BC,AC交于點D,E,過點D作DF⊥AC于點F. (1)若☉O的半徑為3,∠CDF=15,求陰影部分的面積; (2)求證:DF是☉O的切線; (3)求證:∠EDF=∠DAC. 圖ZT6-4 5.[xx畢節(jié)] 如圖ZT6-5,在△ABC中,以BC為直徑的☉O交AC于點E,過點E作AB的垂線,交AB于點F,交CB的延長線于點G,且∠ABG=2∠C. (1)求證:EG是☉O的切線; (2)若tanC=12,AC=8,求☉O的半徑. 圖ZT6-5 6.[xx黔南州] 如圖ZT6-6所示,以△ABC的邊AB為直徑作☉O,點C在☉O上,BD是☉O的弦,∠A=∠CBD,過點C作CF⊥AB于點F,交BD于點G,過點C作CE∥BD,交AB的延長線于點E. (1)求證:CE是☉O的切線; (2)求證:CG=BG; (3)若∠DBA=30,CG=4,求BE的長. 圖ZT6-6 參考答案 1.證明:(1)如圖,連接OA. ∵OA=OC,∴∠1=∠ACO.∵OA=OB,∴∠2=∠ABO,∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO. ∵DC=BC,∴CD=BC.∴∠BAC=∠DAC. ∴∠DAC=∠ACO+∠ABO. (2)∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB,∠COB=2∠BAC,∴∠BAD=∠BOC. ∵∠DAB=∠OBA+∠EBA, ∴∠BOC=∠OBA+∠EBA. ∵∠BOC=∠OBF+∠OFB, ∴∠EFB=∠EBF.∴EF=EB. 2.證明:(1)如圖①,連接ON. ∵CD為Rt△ABC斜邊上的中線, ∴CD=12AB=BD.∴∠DCB=∠B. ∵OC=ON,∴∠ONC=∠DCB. ∴∠ONC=∠B.∴ON∥DB. ∵NE是☉O的切線,∴ON⊥NE. ∴NE⊥AB. (2)如圖②,連接ND. ∵CD為☉O的直徑, ∴∠CND=∠CMD=90. ∵CD=BD=AD, ∴BN=12BC,CM=AM. ∴DM是△ABC的中位線. ∴DM=12BC.∴MD=NB. 3.解:(1)直線l與☉O相切.理由:如圖,連接OE. ∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE. ∴BE=CE.∴OE⊥BC. ∵l∥BC,∴OE⊥l.∴直線l與☉O相切. (2)證明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF. 又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF. 又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,∴∠EBF=∠EFB. ∴BE=EF. (3)由(2)得BE=EF=DE+DF=8.∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,∴△BED∽△AEB.∴DEBE=BEAE,即58=8AE.解得AE=645.∴AF=AE-EF=645-8=245. 4.解:(1)如圖①,連接OE,過點O作OM⊥AC于M,則∠AMO=90. ∵DF⊥AC,∴∠DFC=90. ∵∠FDC=15,∴∠C=90-15=75. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75.∴∠BAC=180-∠ABC-∠C=30. ∴OM=12OA=123=32,AM=3OM=332. ∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=33. ∵∠AEO=∠BAC=30,∴∠AOE=180-30-30=120. ∴陰影部分的面積S=S扇形AOE-S△AOE=120π32360-123332=3π-934. (2)證明:如圖②,連接OD.∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD. ∵DF⊥AC,∴DF⊥OD. ∵OD是☉O的半徑,∴DF是☉O的切線. (3)證明:如圖③,連接BE. ∵AB為☉O的直徑,∴∠AEB=90.∴BE⊥AC. ∵DF⊥AC,∴BE∥DF.∴∠FDC=∠EBC. ∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC. ∵A,B,D,E四點共圓,∴∠DEF=∠ABC. ∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C. ∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC. 5.解:(1)證明:連接OE,BE.∵∠ABG=2∠C,∠ABG=∠C+∠A,∴∠C=∠A.∴BC=AB. ∵BC是☉O的直徑,∴∠CEB=90,即BE⊥AC.∴CE=AE. 又CO=OB,∴OE∥AB.∵GE⊥AB,∴EG⊥OE. 又OE是☉O的半徑,∴EG是☉O的切線. (2)∵AC=8,∴CE=AE=4,∵tanC=BECE=12,∴BE=2.∴BC=CE2+BE2=25,∴CO=5,即☉O的半徑為5. 6.解:(1)證明:如圖,連接OC.∵∠BAC=∠CBD, ∴BC=DC.∴OC⊥BD. ∵CE∥BD,∴OC⊥CE.∴CE是☉O的切線. (2)證明:∵AB為☉O的直徑, ∴∠ACB=90. ∵CF⊥AB,∴∠ACB=∠CFB=90. ∵∠ABC=∠CBF,∴∠A=∠BCF. ∵∠A=∠CBD,∴∠BCF=∠CBD, ∴CG=BG. (3)連接AD,∵AB為☉O的直徑,∴∠ADB=90. ∵∠DBA=30,∴∠BAD=60. ∵BC=DC, ∴∠DAC=∠BAC=12∠BAD=30. ∴BCAC=tan30=33. ∵CE∥BD,∴∠E=∠DBA=30. ∴AC=CE.∴BCCE=33. ∵∠CAB=∠BCF=∠CBD=30, ∴∠BCE=30, ∴BE=BC.∴△CGB∽△CBE. ∴CGBC=BCCE=33. ∵CG=4,∴BC=43.∴BE=43.