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2019-2020年三年級數學 奧數講座 和倍應用題 　　小學數學中有各種各樣的應用題。根據它們的結構形式和數量關系，形成了一些用特定方法解答的典型應用題。比如，和倍應用題、差倍應用題、和差應用題等等。 　　和倍應用題的基本“數學格式”是： 　　已知大、小二數的“和”，又知大數是小數的幾倍，求大、小二數各是多少。 　　上面的問題中有“和”，有“倍數”，所以叫做和倍應用題。為了清楚地表示和倍問題中大、小二數的數量關系，畫出線段圖如下： 　　從線段圖知，“和”是小數的(倍數+1)倍，所以， 　　小數=和(倍數+1)。 　　上式稱為和倍公式。由此得到 　　大數=和-小數， 　　或 大數=小數倍數。 　　例如，大、小二數的和是265，大數是小數的4倍，則 　　小數=265(4＋1)=53， 　　大數=265-53=212或534=212。 例1 甲、乙兩倉庫共存糧264噸，甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的10倍。甲、乙兩倉庫各存糧多少噸？ 　　分析：把甲倉庫存糧數看成“大數”，乙倉庫存糧數看成“小數”，此例則是典型的和倍應用題。根據和倍公式即可求解。 解：乙倉庫存糧 264(10＋1)＝24(噸)，甲倉庫存糧 　　264-24=240(噸)， 　　或 　　2410＝240(噸)。 　　答：乙倉庫存糧24噸，甲倉庫存糧240噸。 例2 甲、乙兩輛汽車在相距360千米的兩地同時出發(fā)，相向而行，2時后兩車相遇。已知甲車的速度是乙車速度的2倍。甲、乙兩輛汽車每小時各行多少千米？ 　　分析：已知甲車速度是乙車速度的2倍，所以“1倍”數是乙車的速度?，F只需知道甲、乙汽車的速度和，就可用“和倍公式”了。由題意知兩輛車 2時共行 360千米，故1時共行 3602＝180(千米)，這就是兩輛車的速度和。 解：乙車的速度為 　　(3602)(2＋1)= 60(千米/時)， 　　甲車的速度為 　　602=20(千米/時)，或180-60=120(千米/時)。 　　答：甲車每時行120千米，乙車每時行60千米。 　　從上面兩道例題看出，用“和倍公式”的關鍵是確定“1倍”數(即小數)是誰，“和”是誰。例1、例2的“1倍”數與“和”極為明顯，其中例2中雖未直接給出“和”，但也很容易求出。下面我們講幾個“1倍”數不太明顯的例子。 例3 甲隊有45人，乙隊有75人。甲隊要調入乙隊多少人，乙隊人數才是甲隊人數的3倍？ 　　分析：容易求得“二數之和”為 45＋75=120(人)。如果從“乙隊人數才是甲隊人數的3倍”推出“1倍”數(即小數)是“甲隊人數”那就錯了，從75不是45的3倍也知是錯的。這個“1倍”數是誰？根據題意，應是調動后甲隊的剩余人數。倍數關系也是調動后的人數關系，即“調入人后的乙隊人數”是“調走人后甲隊剩余的人數”的3倍。由此畫出線段圖如下： 　　從圖中看出，把甲隊中“？”人調入乙隊后，(45＋75)就是甲隊剩下人數的 3＋1＝4(倍)。從而，甲隊調走人后剩下的人數就是“1倍”數。由和倍公式可以求解。 解：甲隊調動后剩下的人數為 　　(45＋75)(3＋1)＝ 30(人)，故甲隊調入乙隊的人數為45-30＝15(人)。 　　答：甲隊要調15人到乙隊。 例4 妹妹有書24本，哥哥有書53本。要使哥哥的書是妹妹的書的6倍，妹妹應給哥哥多少本書？ 　　仿照例3的分析可得如下解法。 解：兄妹圖書總數是妹妹給哥哥一些書后剩下圖書的(6＋1)倍，根據和倍公式，妹妹剩下 　　(53＋24)(6＋1)＝11(本)。故妹妹給哥哥書24-11＝13(本)。 　　答：妹妹給哥哥書13本。 例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160個。后來大白兔把它的蘑菇給了其它白兔20個，而小灰兔自己又采了10個。這時，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。問：原來大白兔和小灰兔各采了多少個蘑菇？ 分析與解：這道題仍是和倍應用題，因為有“和”、有“倍數”。但這里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”數卻是“小灰兔又自己采了10個后的蘑菇數”。線段圖如下： 　 　　根據和倍公式，小灰兔現有蘑菇(即“1倍”數) 　　(160-20＋10)(5＋1)＝25(個)， 　　故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(個)，大白兔原有蘑菇 　　160-15＝145(個)。 　　答：原來大白兔采蘑菇145個，小灰兔采15個。 附送： 2019-2020年三年級數學 奧數講座 和倍問題 專題簡析： 已知兩個數的和與兩個數間的倍數關系，求這兩個數分別是多少，像這樣的應用題，通常叫做和倍問題。要想順利地解答和倍應用題，最好的方法就是根據題意，畫出線段圖，使數量關系一目了然，從而正確列式解答。 解答和倍應用題，關鍵是要找出兩數的和以及與其對應的倍數和，從而先求出1倍數，再求出幾倍數。數量關系可以這樣表示： 兩數和（倍數＋1）=小數（1倍數） 小數倍數=大數（幾倍數） 兩數和－小數=大數 例題1 學校將360本圖書分給二、三兩個年級，已知三年級所分得的本數是二年級的2倍，問二、三兩個年級各分得多少本圖書？ 思路導航：將二年級所得圖書的本數看作1倍數，則三年級所得本數是這樣的2倍。如圖所示： 由圖可知，二、三年級所得圖書本數的和360本相當于二年級的（1＋2）倍，則二年級所得圖書本數的360（1＋2）=120本，三年級為1202=240本。 練 習 一 1．小紅和小明共有壓歲錢800元，小紅的錢數是小明的3倍。小紅和小明各有壓歲錢多少元？ 2．學校將360本圖書分給二、三年級，已知三年級所得本數比二年級的2倍還多60本。二、三年級各得圖書多少本？ 3．甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油給甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？ 例題2 小寧有圓珠筆芯30枝，小青有圓珠筆芯15枝，問小青給小寧多少枝后，小寧的圓珠筆芯枝數是小青的8倍？ 思路導航：我們把變化后小青的圓珠筆芯枝數看作1倍數，那么小寧與小青圓珠筆芯的枝數和相當于變化后小青枝數的9倍，所以變化后小青的枝數為（30＋15）（1＋8）=5枝，再用15－5=10枝，則表示小青給小寧的枝數。 練 習 二 1．紅紅有郵票80張，佳佳有郵票60張，要使紅紅的郵票張數是佳佳的4倍，那么佳佳必須給紅紅多少張郵票？ 2．甲水池有水69噸，乙水池有水36噸，如果甲水池中的水以每分鐘2噸的速度流入乙水池，那么多少分鐘后，乙水池的水是甲水池的2倍？ 3．甲書架有圖書18本，乙書架有圖書8本，班圖書管理員又買來圖書16本，怎樣分配才能使甲書架圖書的本數是乙書架的2倍？ 例題3 被除數與除數的和為320，商是7，被除數和除數各是多少？ 思路導航：由商是7可知，被除數是除數的7倍，把除數看作1份數，被除數就有這樣的7份，一共7＋1=8份。 除數：3208=40 被除數：407=280 練 習 三 1．被除數和除數和為120，商是7，被除數和除數各是多少？ 2．被除數、除數、商的和為79，商是4，被除數、除數各是多少？ 3．兩個整數相除商是21，余數為1，已知被除數、除數、商、余數的和一共是441。被除數、除數各是多少？ 例題4 兩數相除商為17余6，被除數、除數、商和余數的和是479。被除數和除數分別為多少？ 思路導航：被除數、除數、商和余數的和是479，減去商17和余數6，得到被除數與除數的和為479－17－6=456；又因為被除數比除數的17倍多6，所以456－6=450就相當于除數的（17＋1）倍，因此除數為450（17＋1）=25，被除數為2517＋6=431。 練 習 四 1．兩個整數相除商14余2，被除數、除數、商和余數的和是243，被除數比除數大多少？ 2．在一個減法算式里，被減數、減數與差的和等于240，而減數是差的5倍。差是多少？ 3．學校買來83本書，其中科技書是故事書的2倍，故事書比文藝書多5本，這三種書各多少本？ 例題5 兩個數之和是792，其中一個數的最后一位數數字是0，如果把0去掉，就與另一個數相同。這兩個數分別是多少？ 思路導航：把一個數的最后一位數字0去掉，就與另一個數相同，說明這兩個數中大數是小數的10倍。又已知兩個數之和是792，那我們就可以求出這兩個數分別是多少了。 小數：792（10＋1）=72 大數：7210=720 練 習 五 1．兩個數之和是253，其中一個數的最后一位數字是0，如果把0去掉，就與另一個數相同。這兩個數分別是多少？ 2．師徒兩人加工一批零件共693個，師傅加工零件個數的末位數字是0，如果去掉這個0，加工的個數就與徒弟一樣多。師徒二人分別加工零件多少個？ 3．甲、乙兩數的和是209，甲數縮小10倍就和乙數同樣大，甲、乙兩數分別是多少？