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2019-2020年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 數(shù)字游戲問題（二） 　　一、填寫算式中的數(shù)。 　　例1 用○，★，△代表三個數(shù)，有： 　　○+○+○=15，★+★+★=12， 　　△+△+△=18，○+★+△=（ ） 　　填出（ ）中的數(shù)。 　　分析 上面算式中的○、★、△分別代表三個數(shù)。根據(jù)三個相同加數(shù)的和分別是15、12、18，可知○=5，★=4，△=6，又5+4+6=15，所以（ ）內(nèi)應填15。 　　解：○=5，★=4，△=6， 　　○+★+△=（15）。 　　例2 把2，3，4，6，7，9分別填到下面六個圓圈中，使三個算式成立。 　　○+○=10，○-○=5，○+○=8， 　　分析1 在2、3、4、6、7、9中相加等于8的只有2和6，先把2、6填在第三個算式中，剩下的就可填成3+7=10，9-4=5。 　　分析2 六個數(shù)中9最大，而9不能填在第1或第3個算式中，所以把9填在第2個算式中作被減數(shù)。其余的就好填了。 　　解：3+7=10，9-4=5，2+6=8。 　　例3 把1～8八個數(shù)字分別填入圖中八個空格中，使圖上四邊正好組成加、減、乘、除四個等式。 　　分析 觀察這幅圖，用8個數(shù)組成四個等式。從左上角開始先作減法和除法，得出結(jié)果之后再分別作加法和乘法得到右下角的數(shù)字。所以問題的關(guān)鍵是左上角的數(shù)字與右下角的數(shù)字。它們應該是較大的且能夠作乘法與除法的數(shù)。即8和6，不妨取左上角是8，右下角是6，再試填其他數(shù)字。也可取左上角是6，右下角是8，再試填其他數(shù)字。 　　解： 二、填寫運算符號 　　例4 在合適的地方填寫“+”或“-”，使等式成立。 　　1 2 3 4 5 6=1。 　　分析 把六個數(shù)分組，試加會發(fā)現(xiàn)1+2+3+5=11，4+6=10，這樣在4，6前面填上“-”，其他地方填上“+”，等式成立。 　　解：1+2+3-4+5-6=1。 　　例5 在合適的地方填寫“+”或“-”，使等式成立。 　　1 2 3 4 5 6=2。 　　分析 按上題方法試加減，發(fā)現(xiàn)無論如何也得不到2，于是想到是否其中有一個兩位數(shù)，而兩位數(shù)只能是12，再試就能夠成功。 　　解：12-3+4-5-6=2。 　　例6 從+、-、、、（ ）中挑選合適的符號，填入適當?shù)牡胤?，使下面等式成立? 　?、? 5 5 5 5=1 　?、? 5 5 5 5=2 　?、? 5 5 5 5=3 　?、? 5 5 5 5=4。 　　分析 在加減乘除運算中，有55=1，（5+5）5=2，5-5=0這樣幾個基本關(guān)系，充分利用它們就可以使等式成立，一般來說一個式子可以有多種表達形式。 　　解：①55+（5-5）5=1 　　（5+5）5-（55）=1 　?、冢?+5）5+5-5=2 　　5-（5+5+5）5=2 　?、?5+（5+5）5=3 　　5-55-55=3 　?、埽?+5+5+5）5=4 　　5-55+5-5=4。 三、填寫豎式中的數(shù) 　　例7 在下列豎式中的空白處填入適當?shù)臄?shù)，使算式成立。 　　　 　　分析 先觀察①，這是一個減法算式，被減數(shù)是三位數(shù)，減數(shù)是兩位數(shù)，差是1。而最小的三位數(shù)100與最大的兩位數(shù)99的差正好是1（容易知道，只有這一種情形）。 　　再看②，兩個兩位數(shù)的和是191。分析兩個加數(shù)的十位數(shù)字，它們都必須為9，還要求兩個個位數(shù)字的和進位才滿足9+9+1=19。這時兩個個位數(shù)字的和是11，11可以寫成11= 9+2=8+3=7+4=6+5。 　　例8 右面算式中九個字母分別代表1～9九個數(shù)字，試找出字母M和H分別所代表的數(shù)字。 　　分析 九個字母分別代表1～9。在個位數(shù)字上1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，所以M=5，同時向十位進4。這時十位上8個字母中沒有M，所以十位上的數(shù)字和是40，再加上個位進來的四個10。結(jié)果是44。所以H=4。 　　解：M=5，H=4。 附送： 2019-2020年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 數(shù)數(shù)與計數(shù) 　　從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運算定律。 　　例1 數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個點？ 　　解：方法1：從上到下一行一行地數(shù)，見下圖。 　　點的總數(shù)是： 　　5+5+5+5=54。 　　方法2：從左至右一列一列地數(shù)，見下圖。 　　點的總數(shù)是：4+4+4+4+4=45。 　　因為不論人們怎樣數(shù)，點數(shù)的多少都是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化。所以應有下列等式成立： 　　54=45 　　從這個等式中，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的事實： 　　兩個數(shù)相乘，乘數(shù)和被乘數(shù)互相交換，積不變。 　　這就是乘法交換律。 　　正因為這樣，在兩個數(shù)相乘時，以后我們也可以不再區(qū)分哪個是乘數(shù)，哪個是被乘數(shù)，把兩個數(shù)都叫做“因數(shù)”，因此，乘法交換律也可以換個說法： 　　兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。 　　如果用字母a、b表示兩個因數(shù)，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：ab=ba。 　　方法3：分成兩塊數(shù)，見右圖。 　　前一塊4行，每行3個點，共34個點。 　　后一塊4行，每行2個點，共24個點。 　　兩塊的總點數(shù)=34+24。 　　因為不論人們怎樣數(shù)，原圖中總的點數(shù)的多少都是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化。所以應有下列等式成立： 　　34+24=54。 　　仔細觀察圖和等式，不難發(fā)現(xiàn)其中三個數(shù)的關(guān)系： 　　3+2=5 　　所以上面的等式可以寫成： 　　34+24=（3+2）4 　　也可以把這個等式調(diào)過頭來寫成： 　?。?+2）4=34+24。 　　這就是乘法對加法的分配律。 　　如果用字母a、b、c代表三個數(shù)，那么乘法對加法的分配律可以表示成下面的形式： 　?。╝+b）c=ac+bc 　　分配律的意思是說：兩個數(shù)相加之和再乘以第三數(shù)的積等于第一個數(shù)與第三個數(shù)的積加上第二個數(shù)與第三個數(shù)的積之和。 　　進一步再看，分配律是否也適用于括號中是減法運算的情況呢？請看下面的例子： 　　計算（3-2）4和34-24。 　　解：（3-2）4=14=4 　　34-24=12-8=4。 　　兩式的計算結(jié)果都是4，從而可知： 　　（3-2）4=34-24 　　這就是說，這個分配律也適用于一個數(shù)與另一個數(shù)的差與第三個數(shù)相乘的情況。 　　如果用字母a、b、c（假設(shè)a>b）表示三個數(shù)，那么上述事實可以表示如下：（a-b）c=ac-bc。 　　正因為這個分配律對括號中的“+”和“-”號都成立，于是，通常人們就簡稱它為乘法分配律。 　　例2 數(shù)一數(shù)，下左圖中的大長方體是由多少個小長方體組成的？ 　　解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見上右圖。 　　第一層 42個 　　第二層 42個 　　第三層 42個 　　三層小長方體的總個數(shù)（42）3個。 　　方法2：從左至右一排一排地數(shù)，見下圖。 　　第一排 23個 　　第二排 23個 　　第三排 23個 　　第四排 23個 　　四排小長方體的總個數(shù)為（23）4。 　　若把括號中的23看成是一個因數(shù)，就可以運用乘法交換律，寫成下面的形式：4（23）。 　　因為不論人們怎樣數(shù)，原圖中小長方體的總個數(shù)是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化。把兩種方法連起來看，應有下列等式成立：（42）3=4（23）。 　　這就是說在三個數(shù)相乘的運算中，改變相乘的順序，所得的積相同。 　　或是說，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘再乘以第三個數(shù)，或者先把后兩個數(shù)相乘，再去乘第一個數(shù)，積不變，這就是乘法結(jié)合律。 　　如果用字母a、b、c表示三個數(shù)，那么乘法結(jié)合律可以表示如下：（ab）c=a（bc）。 　　巧妙地運用乘法交換律、分配律和結(jié)合律，可使得運算變得簡潔、迅速。 　　從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計算公式。 　　例3 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點？ 　　解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖。 　　總點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。 　　方法2：補上一個同樣的三角形點群（但要上下顛倒放置）和原有的那個三角形點群共同拼成一個長方形點群，則顯然有下式成立（見下圖）： 　　三角形點數(shù)=長方形點數(shù)2 　　因三角形點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9 　　而長方形點數(shù)=109=（1+9）9 　　代入上面的文字公式可得： 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9 　　=（1+9）92=45。 　　進一步把兩種方法聯(lián)系起來看： 　　方法1是老老實實地直接數(shù)數(shù)。 　　方法2可以叫做“拼補法”。經(jīng)拼補后，三角形點群變成了長方形點群，而長方形點群的點數(shù)就可以用乘法算式計算出來了。 　　即1+2+3+4+5+6+7+8+9 　　=（1+9）92。 　　這樣從算法方面講，拼補法的作用是把一個較復雜的連加算式變成了一個較簡單的乘除算式了。這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現(xiàn)了。 　　再進一步，若脫離開圖形（點群）的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實： 　　這個等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個數(shù)1又叫首項，最后一個數(shù)9叫末項，共有9個數(shù)又可以說成共有9項，這樣，等式的含義就可以用下面的語言來表述： 　　從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一半?；蚴菍懗上旅娴奈淖质剑? 　　和=（首項+末項）項數(shù)2 　　這個文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式。 　　例4 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點？ 　　解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖： 　　總點數(shù)=2+3+4+5+6=20。 　　方法2：補上一個同樣的梯形點群，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一個長方形點群如下圖所示： 　　由圖可見，有下列等式成立： 　　梯形點數(shù)=長方形點數(shù)2。 　　因為梯形點數(shù)=2+3+4+5+6 　　而長方形點數(shù)=85=（2+6）5 　　代入上面的文字式，可得： 　　2+3+4+5+6=（2+6）52 　　與例1類似，我們用拼補法得到了一個計算梯形點群總點數(shù)的較為簡單的公式。 　　再進一步，若脫離開圖形（點群）的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實： 　　這個等式的左邊就是一個等差數(shù)列的求和式，它的首項是2，末項是6，公差是1，項數(shù)是5。這樣這個等式的含義就可以用下面的語言來表述： 　　等差數(shù)列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一半。 　　寫成下面較簡化的文字式： 　　和=（首項+末項）項數(shù)2 　　這就是等差數(shù)列的求和公式。 　　例5 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個小三角形？ 　　解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖。 　　小三角形總數(shù)=1+3+5+7=16個。 　　方法2：補上一個同樣的圖形，但要上下顛倒放置、和原來的一起拼成一個大平行四邊形如下圖所示。 　　顯然平行四邊形包含的小三角形個數(shù)等于原圖中的大三角形所包含的小三角形個數(shù)的兩倍，即下式成立。 　　大三角形中所含=平行四邊形所含2 　　平行四邊形所含=84=（1+7）4（個） 　　大三角形中所含=1+3+5+7=16 　　代入上述文字式： 　　1+3+5+7＝（1+7）42 　　這樣，我們就得到了一個公式： 　　小三角形個數(shù)=（第一層的數(shù)+最末層的數(shù)）層數(shù)2 　　脫離開圖形的背景，純粹從數(shù)的方面進行考察，找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實： 　　等式左邊就表示一個等差數(shù)列的前幾項的和，它的首項是1，末項是7，公差是2，項數(shù)是4。這樣這個等式的含義也就可以用下面的語言來表述： 　　等差數(shù)列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)之積的一半。 　　寫成較簡單的文字式： 　　和=（首項+末項）項數(shù)2。