《廣東省廉江市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例課件 理 新人教A版選修45》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《廣東省廉江市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例課件 理 新人教A版選修45（31頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、這種由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征這種由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征, ,推推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理, ,或者由個(gè)別事實(shí)概栝出一般結(jié)論的推理或者由個(gè)別事實(shí)概栝出一般結(jié)論的推理, ,稱為稱為歸納推理歸納推理.(.(簡稱：歸納簡稱：歸納) )歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)和對(duì)有限資料分實(shí)驗(yàn)和對(duì)有限資料分析的基礎(chǔ)上析的基礎(chǔ)上. .提出帶有規(guī)律性的結(jié)論提出帶有規(guī)律性的結(jié)論. .需證明需證明一、復(fù)習(xí)：一、復(fù)習(xí)：什么是歸納推理？什么是歸納推理？例例如如已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的第的第1 1項(xiàng)項(xiàng)a a1 1=1=1且(n=

2、1,2,3 (n=1,2,3 ),),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. .n nn+1n+1n na aa=a=1 + a1 + a1a1n1時(shí)，當(dāng)31211213n3a時(shí)，當(dāng)41311314n4a時(shí)，當(dāng)解：解：nan1猜想：猜想：211112n2a時(shí)，當(dāng)這個(gè)猜想對(duì)于前這個(gè)猜想對(duì)于前4項(xiàng)是項(xiàng)是成立的，但還不能對(duì)以成立的，但還不能對(duì)以后繼續(xù)的項(xiàng)也成立，因后繼續(xù)的項(xiàng)也成立，因此這個(gè)猜想要證明。此這個(gè)猜想要證明。費(fèi)爾馬費(fèi)爾馬(1601.81665.1)，法國數(shù)學(xué)家，法國數(shù)學(xué)家。 的數(shù)都是質(zhì)數(shù)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)任何形如任何形如猜想猜想于是他用歸納推理提出于是他用歸納推理提出都是質(zhì)數(shù)，都

3、是質(zhì)數(shù)，)( 126553712257121712512*222243212Nnn (費(fèi)馬猜想費(fèi)馬猜想)670041764142949672971225522 是一個(gè)合數(shù)：是一個(gè)合數(shù)：時(shí)，時(shí)，nn結(jié)論是錯(cuò)誤的結(jié)論是錯(cuò)誤的。對(duì)于某類事物，由它的一些特殊事例或其對(duì)于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方全部可能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方法，叫法，叫歸納法歸納法。歸納法歸納法 完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法由特殊由特殊 一般一般 特點(diǎn)特點(diǎn): :二、歸納法定義：二、歸納法定義：完全歸納法：完全歸納法：優(yōu)點(diǎn)：考查全面，結(jié)論正確。優(yōu)點(diǎn)：考查全面，結(jié)論正確。缺點(diǎn)

4、缺點(diǎn) ：工作量大，有些對(duì)象無法全面考查。：工作量大，有些對(duì)象無法全面考查。不完全歸法：不完全歸法：優(yōu)點(diǎn)：考查對(duì)象少，得出結(jié)論快。優(yōu)點(diǎn)：考查對(duì)象少，得出結(jié)論快。缺點(diǎn)缺點(diǎn) ：觀察片面化，結(jié)論不一定正確。：觀察片面化，結(jié)論不一定正確。從前，有個(gè)小孩叫萬百千，他開始上學(xué)識(shí)字。第從前，有個(gè)小孩叫萬百千，他開始上學(xué)識(shí)字。第一天先生教他個(gè)一天先生教他個(gè)“一一”字。第二天先生又教了個(gè)字。第二天先生又教了個(gè)“二二”字。第三天，他想先生一定是教字。第三天，他想先生一定是教“三三”字字了，并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個(gè)了，并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個(gè)“三三”字。于是他得了一個(gè)結(jié)論：字。于是他得了一個(gè)結(jié)

5、論：“四四”一定是一定是四橫，四橫，“五五”一定是五橫，以此類推，一定是五橫，以此類推，從此，從此，他不再去上學(xué)，家長發(fā)現(xiàn)問他為何不去上學(xué)，他他不再去上學(xué)，家長發(fā)現(xiàn)問他為何不去上學(xué)，他自豪地說：自豪地說：“我都會(huì)了我都會(huì)了”。家長要他寫出自己的。家長要他寫出自己的名字，名字，“萬百千萬百千”寫名字結(jié)果可想而知。寫名字結(jié)果可想而知。” 萬百千在學(xué)習(xí)上犯了什么錯(cuò)誤萬百千在學(xué)習(xí)上犯了什么錯(cuò)誤?數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明不不等等式式第第四四講講 .,|sin|sin|:,., NnxnxxnNnnNnnnnnNnnnNnnnn11152200例如例如等式等式數(shù)多個(gè)正整數(shù)相關(guān)的不數(shù)多個(gè)正整數(shù)相關(guān)的不就

6、出現(xiàn)了與無就出現(xiàn)了與無為表達(dá)這樣的關(guān)系為表達(dá)這樣的關(guān)系關(guān)系成立關(guān)系成立都有某種不等都有某種不等任意正整數(shù)任意正整數(shù)的的或不小于某個(gè)數(shù)或不小于某個(gè)數(shù)任意正整數(shù)任意正整數(shù)對(duì)于對(duì)于人們會(huì)遇到這樣的情況人們會(huì)遇到這樣的情況在數(shù)學(xué)研究中在數(shù)學(xué)研究中.,數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法方法方法用一種重要的數(shù)學(xué)推理用一種重要的數(shù)學(xué)推理我們將使我們將使式的證明式的證明這一講將討論這類不等這一講將討論這類不等數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法一一 .?, 97531753153131121531證明你的結(jié)論證明你的結(jié)論嗎嗎的結(jié)果的結(jié)果你能猜出你能猜出通過計(jì)算下面式子通過計(jì)算下面式子思考思考nn ?.:,怎樣證明它呢怎樣證明它呢由此猜想由

7、此猜想別是別是上面四個(gè)式子的結(jié)果分上面四個(gè)式子的結(jié)果分nnnn11215315432 .,.,.:成證明成證明通過驗(yàn)證的方法無法完通過驗(yàn)證的方法無法完所以所以證證我們無法對(duì)它們一一驗(yàn)我們無法對(duì)它們一一驗(yàn)但是正整數(shù)是無限多個(gè)但是正整數(shù)是無限多個(gè)時(shí)這個(gè)等式成立時(shí)這個(gè)等式成立甚至甚至雖然我們可以驗(yàn)證雖然我們可以驗(yàn)證任何正整數(shù)時(shí)都成立任何正整數(shù)時(shí)都成立為為在在要證不等式要證不等式這個(gè)問題的特點(diǎn)是這個(gè)問題的特點(diǎn)是分析分析 000100000154321nnn.,象象的的方方法法能能夠夠處處理理完完無無限限多多個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)就就驟驟必必須須尋尋找找一一種種有有限限個(gè)個(gè)步步要要證證明明這這個(gè)個(gè)問問題題.,;,.,

8、.都能全部倒下都能全部倒下不論有多少塊骨牌不論有多少塊骨牌后后最最塊骨牌倒下塊骨牌倒下就可導(dǎo)致第就可導(dǎo)致第塊骨牌倒下塊骨牌倒下而第而第塊骨牌倒下塊骨牌倒下就可導(dǎo)致第就可導(dǎo)致第塊骨牌倒下塊骨牌倒下由于第由于第塊骨牌塊骨牌只要推倒第只要推倒第這樣這樣骨牌倒下骨牌倒下則一定導(dǎo)致后一塊則一定導(dǎo)致后一塊若前一塊骨牌倒下若前一塊骨牌倒下骨牌骨牌兩塊兩塊碼放時(shí)保證任意相鄰的碼放時(shí)保證任意相鄰的放骨牌的游戲放骨牌的游戲這是一種碼這是一種碼戲說起戲說起我們先從多米諾骨牌游我們先從多米諾骨牌游 32211:,件有兩個(gè)件有兩個(gè)使所有骨牌都倒下的條使所有骨牌都倒下的條可以看出可以看出 ;第一塊骨牌倒下第一塊骨牌倒下1

9、 .,:,.,塊也倒下塊也倒下相鄰的第相鄰的第倒下時(shí)倒下時(shí)塊塊當(dāng)?shù)诋?dāng)?shù)谙迪凳聦?shí)上就是一個(gè)遞推關(guān)事實(shí)上就是一個(gè)遞推關(guān)條件條件其中其中倒下倒下一塊一塊前一塊倒下一定導(dǎo)致后前一塊倒下一定導(dǎo)致后任意相鄰的兩塊骨牌任意相鄰的兩塊骨牌122 kk .,倒倒下下以以全全部部那那么么所所有有的的骨骨牌牌一一定定可可成成立立只只要要保保證證21., 1321kk一一隊(duì)隊(duì)到到大大依依次次排排列列為為無無限限長長由由小小我我們們?cè)O(shè)設(shè)想想將將全全部部正正整整數(shù)數(shù)類類比比多多米米諾諾骨骨牌牌游游戲戲 .,成成立立式式即即這這時(shí)時(shí)等等的的左左右右兩兩邊邊都都等等于于等等式式時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)可可以以驗(yàn)驗(yàn)證證 111n ., ,的的

10、自自動(dòng)動(dòng)遞遞推推關(guān)關(guān)系系由由前前到到后后的的諾諾骨骨牌牌那那樣樣則則可可以以建建立立一一種種像像多多米米也也成成立立式式時(shí)時(shí)等等能能推推出出成成立立時(shí)時(shí)等等式式若若從從可可以以想想象象 12knkn :,這這個(gè)個(gè)等等式式的的方方法法就就自自然然地地想想到到一一種種證證明明綜綜合合21 ;成成立立時(shí)時(shí)等等式式首首先先證證明明 11 n .中中的的遞遞推推關(guān)關(guān)系系然然后后證證明明 2 .,:,;,成成立立等等式式對(duì)對(duì)于于任任意意正正整整數(shù)數(shù)就就可可以以說說下下去去如如此此繼繼續(xù)續(xù)自自動(dòng)動(dòng)遞遞推推成成立立時(shí)時(shí)等等式式遞遞推推出出成成立立時(shí)時(shí)等等式式再再由由成成立立時(shí)時(shí)等等式式遞遞推推出出成成立立為為

11、起起點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)等等式式就就可可由由完完成成以以上上兩兩步步后后 nnnnn3221 : 證明等式證明等式下面按照上述思路具體下面按照上述思路具體 .,成立時(shí)等式即這左右兩邊都等于式時(shí)當(dāng)證明 111n .,kkkknkk112153112 即成立時(shí)等式假設(shè)當(dāng) .,的左右兩邊時(shí)式再考慮在這個(gè)假設(shè)下 1kn .11211112112153111 kkkkkkkk左邊 11211 kkk 111 kk.右邊 .成立時(shí)等式所以當(dāng) 1kn . Nnnnnn1121531 可知由21 ,.:.,;,:,都成立都成立命題命題正整數(shù)正整數(shù)對(duì)于從起點(diǎn)向后的所有對(duì)于從起點(diǎn)向后的所有由這兩步保證由這兩步保證的遞推關(guān)系的

12、遞推關(guān)系由前向后由前向后證明證明然后然后先作歸納假設(shè)先作歸納假設(shè)第二步第二步立的一個(gè)起點(diǎn)立的一個(gè)起點(diǎn)從而奠定了命題成從而奠定了命題成時(shí)命題成立時(shí)命題成立證明證明第一步第一步我們用了兩個(gè)步驟我們用了兩個(gè)步驟總結(jié)上述過程總結(jié)上述過程 Nnn1什么是數(shù)學(xué)歸納法？什么是數(shù)學(xué)歸納法？對(duì)于某些與正整數(shù)對(duì)于某些與正整數(shù)n n有關(guān)的命題常常采用下面的有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：方法來證明它的正確性：1.1.先證明當(dāng)先證明當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n n0 0時(shí)命題成立；時(shí)命題成立；2.2.然后假設(shè)當(dāng)然后假設(shè)當(dāng)n=n=k(kk(k N N* *，knkn0 0) )時(shí)命題成時(shí)命題成立，證明當(dāng)

13、立，證明當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)命題也成立。時(shí)命題也成立。這種證明方法就叫做。數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法?,是什么數(shù)學(xué)歸納法的基本思想你認(rèn)為結(jié)合上面的證明思考;,.,.,水水沒有它遞推就成無源之沒有它遞推就成無源之后面遞推的出發(fā)點(diǎn)后面遞推的出發(fā)點(diǎn)成為成為時(shí)命題成立時(shí)命題成立第一步確定了第一步確定了可可缺一不缺一不這兩步都非常重要這兩步都非常重要二步是假設(shè)與遞推二步是假設(shè)與遞推第第第一步是奠基第一步是奠基驟中驟中在數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步在數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步00nnnn .,成證明成證明從而完從而完以后的每一個(gè)正整數(shù)以后的每一個(gè)正整數(shù)數(shù)無限傳遞到數(shù)無限傳遞到向后一個(gè)數(shù)一個(gè)向后一個(gè)數(shù)一個(gè)開始開始的范圍就能從正

14、整數(shù)的范圍就能從正整數(shù)立立成成命題命題借助它借助它推關(guān)系推關(guān)系一種遞一種遞確認(rèn)確認(rèn)第二步第二步00nn.,基本原理基本原理以上就是數(shù)學(xué)歸納法的以上就是數(shù)學(xué)歸納法的握上握上的把的把在對(duì)有限情況在對(duì)有限情況沒有它我們就只能停留沒有它我們就只能停留的關(guān)鍵的關(guān)鍵限的飛躍限的飛躍遞推是實(shí)現(xiàn)從有限到無遞推是實(shí)現(xiàn)從有限到無因此因此,.歸納法的基本過程下面的框圖表示了數(shù)學(xué) .,命題成立對(duì)所有的0nnNnn 奠基假設(shè)與遞推 .:時(shí)命題成立證明 Nnnn001 .,:時(shí)命題也成立則時(shí)命題成立若證明120 knnkkn歸納小結(jié)歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法；歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法；數(shù)

15、學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞；數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞； 數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論；數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論； 數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種科學(xué)方法，使我們認(rèn)識(shí)到事情由簡到繁、由特殊到一般、科學(xué)方法，使我們認(rèn)識(shí)到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮由有限到無窮 、一定一定要用到歸納假設(shè)；要用到歸納假設(shè)；看清從看清從k到到k1中間的變化中間的變化。.,?到到較較好好的的

16、效效果果用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法可可能能會(huì)會(huì)收收的的方方法法證證明明如如果果不不易易用用以以前前學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)過過相相關(guān)關(guān)的的命命題題數(shù)數(shù)整整些些與與無無限限多多個(gè)個(gè)正正對(duì)對(duì)于于一一呢呢題題用用于于證證明明什什么么樣樣的的命命學(xué)學(xué)歸歸納納法法適適數(shù)數(shù)?,為為什什么么為為何何值值應(yīng)應(yīng)取取對(duì)對(duì)于于全全體體正正整整數(shù)數(shù)都都成成立立明明某某命命題題如如果果要要用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證思思考考0n數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法命題的重要方法. .主要有兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論主要有兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論: : 【歸納奠基歸納奠基】（1）證明當(dāng)）證明當(dāng)n取第一個(gè)

17、值取第一個(gè)值n0（如（如 n0=1或或2等）時(shí)等）時(shí)結(jié)論正確結(jié)論正確（2）假設(shè)）假設(shè)n=k(kn0,nN*)時(shí)結(jié)論正確，證明時(shí)結(jié)論正確，證明n=k+1時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確（3）由（）由（1）、（）、（2）得出結(jié)論）得出結(jié)論【歸納遞推歸納遞推】注注 意：意：例例1、1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*)證明證明:(1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊=1,右邊右邊=1,等式是等式是成立的。成立的。 (2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是時(shí)等式成立，就是 1+2+22+2k-1=2k-1那么，那么， 1+2+22+2k-1+2k=2k-1+ 2k =22k-1 =2k+1-1這就是說，當(dāng)這就是

18、說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。時(shí)，等式也成立。 因此因此,根據(jù)根據(jù)(1)和和(2)可斷定可斷定,等式對(duì)于任等式對(duì)于任何何nN*都成立。都成立。課本課本50頁練習(xí)頁練習(xí)1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+(2n 1)=n2 證明：證明：1.當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí)左左1，右，右121n=1時(shí)，命題成立時(shí)，命題成立2.假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即時(shí)，命題成立，即1+3+5+(2k 1)=k2 那么，當(dāng)那么，當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)左左1+3+5+(2k 1)(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1時(shí)命題成立時(shí)命題成立由由1、2知原命題對(duì)知原命題對(duì)n N*都成立都成立遞推基礎(chǔ)遞

19、推基礎(chǔ)遞推依據(jù)遞推依據(jù)課本課本50頁頁2.用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：證明：1、當(dāng)、當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左左=12=1，右，右=n=1時(shí)，等式成立時(shí)，等式成立2、假設(shè)、假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即時(shí)，等式成立，即那么，當(dāng)那么，當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)左左=12+22+k2+(k+1)2= =右右n=k+1時(shí)，原不等式成立時(shí)，原不等式成立由由1、2知當(dāng)知當(dāng)n N*時(shí)，原不等式都成立時(shí)，原不等式都成立6)12)(1(3212222 nnnn16)12)(11(1 2)1(6)12)(1( kkkk611211)1(6)1(6)12)(1(2kkkkkkk6)12)(1(3212222 kkkk例例2.用

20、數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化湊假設(shè)湊假設(shè)湊結(jié)論湊結(jié)論證明證明:2)假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)命題成立時(shí)命題成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)，時(shí)， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1時(shí)命題正確。時(shí)命題正確。 由由(1)和和(2)知，當(dāng)知，當(dāng) ，命題正確，命題正確。Nn = 2111)1(31 kkk1)當(dāng)當(dāng)n=1

21、時(shí)，左邊時(shí)，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立1 111223 33 3nn)21(121212121232，求證：練習(xí)證明：當(dāng)證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊21右邊右邊212111 n=1時(shí)等式成立。時(shí)等式成立。假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即時(shí)，命題成立，即kk)21(12121212132 那么，當(dāng)那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有時(shí)，有11322112121212121kkk？即即n=k+1時(shí)，命題成立。時(shí)，命題成立。根據(jù)問可知，對(duì)根據(jù)問可知，對(duì)nN，等式成立，等式成立。1、三個(gè)步驟缺一不可、三個(gè)步驟缺一不可:第一步第一步:奠基步驟奠基步驟，是命題論證的基礎(chǔ)，稱之為，是命題論證的

22、基礎(chǔ)，稱之為歸納歸納基礎(chǔ)基礎(chǔ)；第二步第二步:歸納步驟歸納步驟，是推理的依據(jù)，是判斷命題的正，是推理的依據(jù)，是判斷命題的正確性能否由特殊推廣到確性能否由特殊推廣到 一般，它反映了無限一般，它反映了無限遞推遞推關(guān)關(guān)系，其中系，其中 “假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)成立時(shí)成立” 稱為稱為歸納假設(shè)歸納假設(shè) (注意注意是是“假設(shè)假設(shè)”，而不是確認(rèn)命題成立，而不是確認(rèn)命題成立);第三步第三步:總體結(jié)論總體結(jié)論，也不可少。，也不可少。2、在第二步的證明中、在第二步的證明中必須用到歸納假設(shè)必須用到歸納假設(shè)，否則就不，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法了。是數(shù)學(xué)歸納法了。3、數(shù)學(xué)歸納法只適用于、數(shù)學(xué)歸納法只適用于和正整數(shù)有關(guān)和正整數(shù)有關(guān)的命題。的命題。用數(shù)學(xué)歸納法需用數(shù)學(xué)歸納法需注意注意 ：