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課時訓練(十四) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用
(限時:70分鐘)
1.[xx玉林] 如圖K14-1,一段拋物線y=-x2+4(-2≤x≤2)為C1,與x軸交于A0,A1兩點,頂點為D1;將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180得到C2,頂點為D2;C1與C2組成一個新的圖像,垂直于y軸的直線l與新圖像交于點P1(x1,y1),P2(x2,y2),與線段D1D2交于點P3(x3,y3),x1,x2,x3均為正數(shù),設(shè)t=x1+x2+x3,則t的取值范圍是 ( )
圖K14-1
A.6
k;③8a+4b>k;④a+2b>4k.其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ( )
圖K14-3
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
4.如圖K14-4,平面直角坐標系中,拋物線y=14x2-2x+3交x軸于點B,C,交y軸于點A,點P(x,y)是拋物線上的一個動點,連接PA,AC,PC,記△ACP的面積為S.當y≤3時,S隨x變化的圖像大致是 ( )
圖K14-4
圖K14-5
5.如圖K14-6,我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”.已知點A,B,C,D分別是“果圓”與坐標軸的交點,拋物線的解析式為y=x2-2x-3,AB為半圓的直徑,則這個“果圓”被y軸截得的弦CD的長為 .
圖K14-6
6.如圖K14-7,在平面直角坐標系xOy中,A(-3,0),B(0,1),形狀相同的拋物線Cn(n=1,2,3,4,…)的頂點在直線AB上,其對稱軸與x軸的交點的橫坐標依次為2,3,5,8,13,…,那么這些拋物線稱為“美麗拋物線”,根據(jù)上述規(guī)律,拋物線C2的頂點坐標為 ;若這些“美麗拋物線”與拋物線y=-x2+1形狀相同,試寫出拋物線C10的解析式 .
圖K14-7
7.如圖K14-8,曲線BC是反比例函數(shù)y=kx(4≤x≤6)的一部分,其中B(4,1-m),C(6,-m),拋物線y=-x2+2bx的頂點記作A.
圖K14-8
(1)求k的值;
(2)判斷點A是否可與點B重合;
(3)若拋物線與曲線BC有交點,求b的取值范圍.
8.在平面直角坐標系中,直線y=x+4與x,y軸分別交于A,B兩點,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點,并與x軸交于另一點C(點C在點A的右側(cè)),點P是拋物線上的一個動點.
(1)求拋物線的解析式及點C的坐標.
(2)若點P在第二象限內(nèi),過點P作PD⊥x軸于點D,交AB于點E,當點P運動到什么位置時,PE最長?最長是多少?
圖K14-9
9.[xx金華、麗水] 如圖K14-10,拋物線y=ax2+bx(a≠0)過點E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左邊),點C,D在拋物線上.設(shè)A(t,0),當t=2時,AD=4.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式.
(2)當t為何值時,矩形ABCD的周長有最大值?最大值是多少?
(3)保持t=2時的矩形ABCD不動,向右平移拋物線.當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G,H,且直線GH平分矩形的面積時,求拋物線平移的距離.
圖K14-10
參考答案
1.D [解析] 旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為y=(x-4)2-4=x2-8x+12,
∵x1,x2,x3均為正數(shù),
∴點P1(x1,y1),P2(x2,y2)在第四象限,
根據(jù)對稱性可知:x1+x2=8,
∵2≤x3≤4,
∴10≤x1+x2+x3≤120,
即10≤t≤12.
2.B [解析] 如圖,作BE⊥x軸于點E,連接OB,
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2,
由題意可知∠AOE=75,
∵∠AOB=45,
∴∠BOE=30,
∵OA=2,
∴OB=2,
∴BE=12OB=1,
∴OE=OB2-BE2=3,
∴點B的坐標為(3,-1),代入y=ax2得a=-13,
∴y=-13x2.
3.B [解析] ①對稱軸為直線x=-b2a=2,
∴b=-4a,故結(jié)論正確;
②∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點A,
∴x=1時,a+b=k,故結(jié)論錯誤;
③由圖像可知,x=2時,4a+2b>k2,
∴8a+4b>k,故結(jié)論正確;
④a+2b=-b4+2b=74b,4k=4(a+b)=4-b4+b=3b,∵二次函數(shù)圖像開口向下,∴a<0,∴b=-4a>0,∴74b<3b,∴a+2b<4k,故結(jié)論錯誤.
4.B [解析] 當y=0時,14x2-2x+3=0,解得x1=2,x2=6,∴點B的坐標為(2,0),點C的坐標為(6,0);當x=0時,y=14x2-2x+3=3,則點A的坐標為(0,3).拋物線的對稱軸為直線x=4,點A關(guān)于直線x=4的對稱點為(8,3),
利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式為y=-12x+3.
過點P作PD∥y軸交AC于點D,如圖,
設(shè)點P的坐標為x,14x2-2x+3,
則點D的坐標為x,-12x+3,當0≤x≤6時,
DP=-12x+3-14x2-2x+3=-14x2+32x,
∴S=12OCDP=-34x2+92x,
當6
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