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2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 周期問題 專題簡(jiǎn)析： 在日常生活中，有一些按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)的現(xiàn)象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四個(gè)季節(jié)，一個(gè)星期七天等等。像這樣日常生活中常碰到的有一定周期的問題，我們稱為簡(jiǎn)單周期問題。這類問題一般要利用余數(shù)的知識(shí)來(lái)解答。 在研究這些簡(jiǎn)單周期問題時(shí)，我們首先要仔細(xì)審題，判斷其不斷重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律，也就是找出循環(huán)的固定數(shù)，然后利用除法算式求出余數(shù)，最后根據(jù)余數(shù)得出正確的結(jié)果。 例題1 小丁把同樣大小的紅、白、黑珠子按先2個(gè)紅的、后1個(gè)白的、再3個(gè)黑的的規(guī)律排列（如下圖），請(qǐng)你算一算，第32個(gè)珠子是什么顏色？ 從上圖可以看出，珠子是按“兩紅一白三黑”的規(guī)律重復(fù)排列，即6個(gè)珠子為一周期。326=5（組）……2（個(gè)），32個(gè)珠子中含有5個(gè)周期多2個(gè)，所以第32個(gè)珠子就是重復(fù)5個(gè)周期后的第2個(gè)珠子，應(yīng)為紅色。 練 習(xí) 一 1．如圖，算出第20個(gè)圖形是什么？ ○△△□□□○△△□□□○△△…… 2．“數(shù)學(xué)趣味題數(shù)學(xué)趣味題……”依次重復(fù)排列，第xx個(gè)字是什么？ 3．把38面小三角旗按下圖排列，其中有多少面白旗？ 例題2 2001年10月1日是星期一，問：10月25日是星期幾？ 思路導(dǎo)航：我們知道，每星期有7天，也就是說(shuō)以7天為一個(gè)周期不斷地重復(fù)。從10月1日到10月25日經(jīng)過25－1=24天，247=3（星期）……3（天），說(shuō)明24天中包括3個(gè)星期還多3天。所以從10月1日開始過3個(gè)星期，最后一天還是星期一，從這最后一天起再過3天就應(yīng)是星期四。 練 習(xí) 二 1．2001年5月3日是星期四，5月20日是星期幾？ 2．2001年8月1日是星期三，8月28日是星期幾？ 3．2001年6月1日是星期五，9月1日是星期幾？ 例題3 100個(gè)3相乘，積的個(gè)位數(shù)字是幾？ 思路導(dǎo)航：這道題我們只考慮積的個(gè)位數(shù)字的排列規(guī)律。1個(gè)3，積的個(gè)位是3；2個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是9；3個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是7；4個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是1；5個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是3……可以發(fā)現(xiàn)，積的個(gè)位數(shù)字分別以3、9、7、1不斷重復(fù)出現(xiàn)，即每4個(gè)3積的個(gè)位數(shù)字為一周期。1004=25（個(gè)），因此100個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是第25個(gè)周期中的最后一個(gè)，即是1。 練 習(xí) 三 1．23個(gè)3相乘，積的個(gè)位數(shù)字是幾？ 2．100個(gè)2相乘，積的個(gè)位數(shù)字是幾？ 3．50個(gè)7相乘，積的個(gè)位數(shù)字是幾？ 例題4 有一列數(shù)按“432791864327918643279186……”排列，那么前54個(gè)數(shù)字之和是多少？ 思路導(dǎo)航：上面一列數(shù)中，從第1個(gè)數(shù)字開始重復(fù)出現(xiàn)的部分是“43279186”，周期數(shù)是8。要求出這列數(shù)字的和，就要先求出這列數(shù)里共有多少組“43279186”。 548=6（組）……6（個(gè)） 因此，前6組數(shù)字和是（4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6）6=240，余下6個(gè)數(shù)字之和是4＋3＋2＋7＋9＋1=26。所以，這列數(shù)中前54個(gè)數(shù)字之和是240＋26=266。 練 習(xí) 四 1．一列數(shù)按“294736294736294……”排列，那么前40個(gè)數(shù)字之和是多少？ 2．有一列數(shù)按“9453672945367294……”排列，那么前50個(gè)數(shù)字之和是多少？ 3．有一列數(shù)“7231652316523165……”，請(qǐng)問從左起第2個(gè)數(shù)字到第25個(gè)數(shù)字之間（含第2個(gè)與第25個(gè)數(shù)字）所有數(shù)字的和是多少？ 例題5 小紅買了一本童話書，每?jī)身?yè)文字之間有3頁(yè)插圖，也就是說(shuō)3頁(yè)插圖前后各有1頁(yè)文字。如果這本書有128頁(yè)，而第1頁(yè)是文字，這本童話書共有插圖多少頁(yè)？ 思路導(dǎo)航：已知這本童話書3頁(yè)插圖前后各有1頁(yè)文字，也就是說(shuō)這本書是按“1頁(yè)文字3頁(yè)插圖“的規(guī)律重復(fù)排列的，把“1頁(yè)文字3頁(yè)插圖”看作一周期，128頁(yè)中含有128（1＋3）=32個(gè)周期，所以這本童話書共有插圖332=96頁(yè)。 練 習(xí) 五 1．校門口擺了一排花，每?jī)膳杈栈ㄖg擺3盆月季，共擺了112盆花。如果第一盆花是菊花，那么共擺了多少盆月季花？ 2．同學(xué)們做早操，36個(gè)同學(xué)排成一列，每?jī)蓚€(gè)女生中間是兩個(gè)男生，第一個(gè)是女生，這列隊(duì)伍中男生有多少人？ 3．一個(gè)圓形花輔周圍長(zhǎng)30米，沿周圍每隔3米插一面紅旗，每?jī)擅婕t旗中間插兩面黃旗。花輔周圍共插了多少面黃旗？ 附送： 2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 和倍應(yīng)用題 　　小學(xué)數(shù)學(xué)中有各種各樣的應(yīng)用題。根據(jù)它們的結(jié)構(gòu)形式和數(shù)量關(guān)系，形成了一些用特定方法解答的典型應(yīng)用題。比如，和倍應(yīng)用題、差倍應(yīng)用題、和差應(yīng)用題等等。 　　和倍應(yīng)用題的基本“數(shù)學(xué)格式”是： 　　已知大、小二數(shù)的“和”，又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍，求大、小二數(shù)各是多少。 　　上面的問題中有“和”，有“倍數(shù)”，所以叫做和倍應(yīng)用題。為了清楚地表示和倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系，畫出線段圖如下： 　　從線段圖知，“和”是小數(shù)的(倍數(shù)+1)倍，所以， 　　小數(shù)=和(倍數(shù)+1)。 　　上式稱為和倍公式。由此得到 　　大數(shù)=和-小數(shù)， 　　或 大數(shù)=小數(shù)倍數(shù)。 　　例如，大、小二數(shù)的和是265，大數(shù)是小數(shù)的4倍，則 　　小數(shù)=265(4＋1)=53， 　　大數(shù)=265-53=212或534=212。 例1 甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)共存糧264噸，甲倉(cāng)庫(kù)存糧是乙倉(cāng)庫(kù)存糧的10倍。甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)各存糧多少噸？ 　　分析：把甲倉(cāng)庫(kù)存糧數(shù)看成“大數(shù)”，乙倉(cāng)庫(kù)存糧數(shù)看成“小數(shù)”，此例則是典型的和倍應(yīng)用題。根據(jù)和倍公式即可求解。 解：乙倉(cāng)庫(kù)存糧 264(10＋1)＝24(噸)，甲倉(cāng)庫(kù)存糧 　　264-24=240(噸)， 　　或 　　2410＝240(噸)。 　　答：乙倉(cāng)庫(kù)存糧24噸，甲倉(cāng)庫(kù)存糧240噸。 例2 甲、乙兩輛汽車在相距360千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，2時(shí)后兩車相遇。已知甲車的速度是乙車速度的2倍。甲、乙兩輛汽車每小時(shí)各行多少千米？ 　　分析：已知甲車速度是乙車速度的2倍，所以“1倍”數(shù)是乙車的速度。現(xiàn)只需知道甲、乙汽車的速度和，就可用“和倍公式”了。由題意知兩輛車 2時(shí)共行 360千米，故1時(shí)共行 3602＝180(千米)，這就是兩輛車的速度和。 解：乙車的速度為 　　(3602)(2＋1)= 60(千米/時(shí))， 　　甲車的速度為 　　602=20(千米/時(shí))，或180-60=120(千米/時(shí))。 　　答：甲車每時(shí)行120千米，乙車每時(shí)行60千米。 　　從上面兩道例題看出，用“和倍公式”的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)(即小數(shù))是誰(shuí)，“和”是誰(shuí)。例1、例2的“1倍”數(shù)與“和”極為明顯，其中例2中雖未直接給出“和”，但也很容易求出。下面我們講幾個(gè)“1倍”數(shù)不太明顯的例子。 例3 甲隊(duì)有45人，乙隊(duì)有75人。甲隊(duì)要調(diào)入乙隊(duì)多少人，乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍？ 　　分析：容易求得“二數(shù)之和”為 45＋75=120(人)。如果從“乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍”推出“1倍”數(shù)(即小數(shù))是“甲隊(duì)人數(shù)”那就錯(cuò)了，從75不是45的3倍也知是錯(cuò)的。這個(gè)“1倍”數(shù)是誰(shuí)？根據(jù)題意，應(yīng)是調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)的剩余人數(shù)。倍數(shù)關(guān)系也是調(diào)動(dòng)后的人數(shù)關(guān)系，即“調(diào)入人后的乙隊(duì)人數(shù)”是“調(diào)走人后甲隊(duì)剩余的人數(shù)”的3倍。由此畫出線段圖如下： 　　從圖中看出，把甲隊(duì)中“？”人調(diào)入乙隊(duì)后，(45＋75)就是甲隊(duì)剩下人數(shù)的 3＋1＝4(倍)。從而，甲隊(duì)調(diào)走人后剩下的人數(shù)就是“1倍”數(shù)。由和倍公式可以求解。 解：甲隊(duì)調(diào)動(dòng)后剩下的人數(shù)為 　　(45＋75)(3＋1)＝ 30(人)，故甲隊(duì)調(diào)入乙隊(duì)的人數(shù)為45-30＝15(人)。 　　答：甲隊(duì)要調(diào)15人到乙隊(duì)。 例4 妹妹有書24本，哥哥有書53本。要使哥哥的書是妹妹的書的6倍，妹妹應(yīng)給哥哥多少本書？ 　　仿照例3的分析可得如下解法。 解：兄妹圖書總數(shù)是妹妹給哥哥一些書后剩下圖書的(6＋1)倍，根據(jù)和倍公式，妹妹剩下 　　(53＋24)(6＋1)＝11(本)。故妹妹給哥哥書24-11＝13(本)。 　　答：妹妹給哥哥書13本。 例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160個(gè)。后來(lái)大白兔把它的蘑菇給了其它白兔20個(gè)，而小灰兔自己又采了10個(gè)。這時(shí)，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。問：原來(lái)大白兔和小灰兔各采了多少個(gè)蘑菇？ 分析與解：這道題仍是和倍應(yīng)用題，因?yàn)橛小昂汀?、有“倍?shù)”。但這里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”數(shù)卻是“小灰兔又自己采了10個(gè)后的蘑菇數(shù)”。線段圖如下： 　 　　根據(jù)和倍公式，小灰兔現(xiàn)有蘑菇(即“1倍”數(shù)) 　　(160-20＋10)(5＋1)＝25(個(gè))， 　　故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(個(gè))，大白兔原有蘑菇 　　160-15＝145(個(gè))。 　　答：原來(lái)大白兔采蘑菇145個(gè)，小灰兔采15個(gè)。