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單元檢測四　幾何初步知識與三角形 (時間:90分鐘　總分:120分) 一、選擇題(每小題4分,共40分) 1. 如圖,將三角尺的直角頂點放在直線a上,a∥b,∠1=50,∠2=60,則∠3的度數(shù)為 (　　) A.50 B.60 C.70 D.80 答案C 2.如果將長為6 cm,寬為5 cm的長方形紙片折疊一次,那么這條折痕的長不可能是(　　) A.8 cm B.52 cm C.5.5 cm D.1 cm 答案A 3.若有一條公共邊的兩個三角形稱為一對“共邊三角形”,則圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有(　　) A.2對 B.3對 C.4對 D.6對 答案B 4.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,過AC上一點作DE⊥AC,EF⊥BC,若∠BDE=140,則∠DEF=(　　) A.55 B.60 C.65 D.70 答案C 5.如圖,一艘海輪位于燈塔P的南偏東70方向的M處,它以40海里/時的速度向正北方向航行,2小時后到達位于燈塔P的北偏東40的N處,則N處與燈塔P的距離為 (　　) A.40海里 B.60海里 C.70海里 D.80海里 答案D 6.如圖,等腰三角形ABC的周長為21,底邊BC=5,AB的垂直平分線DE交AB于點D,交AC于點E,則△BEC的周長為(　　) A.13 B.14 C.15 D.16 答案A 7.如圖,有一底角為35的等腰三角形紙片,現(xiàn)過底邊上一點,沿與底邊垂直的方向?qū)⑵浼糸_,分成三角形和四邊形兩部分,則四邊形中,最大角的度數(shù)是(　　) A.110 B.120 C.125 D.130 答案C 8.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,CD⊥AB于點D,AB=13,CD=6,則AC+BC等于(　　) A.5 B.513 C.1313 D.95 答案B 9.如圖,在等邊三角形ABC中,AC=9,點O在AC上,且AO=3,點P是AB上一動點,連接OP,將線段OP繞點O逆時針旋轉60得到線段OD.要使點D恰好落在BC上,則AP的長是(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 答案C 10.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠ABC=60,BC=2 cm,D為BC的中點,若動點E以1 cm/s的速度從A點出發(fā),沿著A→B→A的方向運動,設E點的運動時間為t秒(0≤t<6),連接DE,當△BDE是直角三角形時,t的值為(　　) A.2 B.2.5或3.5 C.3.5或4.5 D.2或3.5或4.5 答案D 二、填空題(每小題4分,共24分) 11.如圖,AB∥CD,CE平分∠ACD,若∠1=25,則∠2的度數(shù)是　　　　　. 答案130 12.如圖,已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,要使△ABC≌△ADE,可補充的條件是　　　　　　　　　　　.(寫出一個即可) 答案AC=AE或∠C=∠E或∠B=∠D 13.從一個等腰三角形紙片的底角頂點出發(fā),能將其剪成兩個等腰三角形紙片,則原等腰三角形紙片的底角等于　　　　　　　　　　. 答案72或5407 14.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高,點E,F是AD的三等分點,若△ABC的面積為12 cm2,則圖中陰影部分的面積是　　　　cm2. 答案6 15.如圖是由四個直角邊分別是3和4的全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”,小亮隨機地往大正方形區(qū)域內(nèi)投針一次,則針孔在陰影部分的概率是　　　　　. 答案125 16.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠B=30,BC=3.點D是BC邊上的一動點(不與點B,C重合),過點D作DE⊥BC交AB于點E,將∠B沿直線DE翻折,點B落在射線BC上的點F處.當△AEF為直角三角形時,BD的長為　　　　　. 答案1或2 三、解答題(56分) 17.(6分)如圖,點B,E,C,F在一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求證:∠A=∠D. 證明∵BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,BC=EF, ∴△ABC≌△DEF(SSS).∴∠A=∠D. 18. (8分)如圖,在△ABC中,點E在AB上,點D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD與CE相交于點F,試判斷△AFC的形狀,并說明理由. 解△AFC是等腰三角形. 理由如下:在△BAD與△BCE中, ∵∠B=∠B,∠BAD=∠BCE,BD=BE, ∴△BAD≌△BCE.∴BA=BC. ∴∠BAC=∠BCA. ∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE, 即∠FAC=∠FCA. ∴△AFC是等腰三角形. 19.(10分)如圖,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90,BC與DE相交于點F,連接CD,EB. (1)圖中還有幾對全等三角形,請你一一列舉; (2)求證:CF=EF. (1)解△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF. (2)證明如圖,連接CE. ∵Rt△ABC≌Rt△ADE,∴AC=AE, ∴∠ACE=∠AEC. 又Rt△ABC≌Rt△ADE,∴∠ACB=∠AED. ∴∠ACE-∠ACB=∠AEC-∠AED, 即∠BCE=∠DEC.∴CF=EF. 20.(10分)某貨站傳送貨物的平面示意圖如圖.為了提高傳送過程的安全性,工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角,使其由45改為30.已知原傳送帶AB長為4 m. (1)求新傳送帶AC的長度; (2)如果需要在貨物著地點C的左側留出2 m的通道,試判斷距離點B處 4 m的貨物MNQP是否需要挪走,并說明理由.(說明:(1),(2)的計算結果精確到0.1 m,參考數(shù)據(jù):2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24,6≈2.45) 解(1)如圖,過點A作AD⊥BC,交CB的延長線于點D. 在Rt△ABD中,AD=ABsin45=422=22(m). 在Rt△ACD中,∵∠ACD=30, ∴AC=2AD=42≈5.6(m), 即新傳送帶AC的長度約為5.6m. (2)貨物MNQP需要挪走. 理由:在Rt△ABD中,BD=ABcos45=422=22(m),在Rt△ACD中,CD=ACcos30=4232=26(m), ∴CB=CD-BD=26-22=2(6-2)≈2.1(m). ∵PC=PB-CB≈4-2.1=1.9(m),1.9<2, ∴貨物MNQP需要挪走. 21.(10分)問題情境:將一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按圖①所示的方式擺放,其中∠ACB=90,CA=CB,∠FDE=90,∠E=30,O是AB的中點,點D與點O重合,DF⊥AC于點M,DE⊥BC于點N. (1)試判斷線段OM與ON的數(shù)量關系,并說明理由; (2)將圖①中的Rt△DEF沿著射線BA的方向平移至如圖②的位置,使點D落在BA的延長線上,FD的延長線與CA的延長線垂直相交于點M,BC的延長線與DE垂直相交于點N,連接OM,ON.試判斷線段OM,ON的數(shù)量關系與位置關系,并寫出證明過程. 圖① 圖② 證明(1)OM=ON,理由如下: ∵CA=CB,∴∠A=∠B. ∵O是AB的中點,∴OA=OB. ∵DF⊥AC,DE⊥BC, ∴∠AMO=∠BNO=90. 在△OMA和△ONB中,∠A=∠B,∠AMO=∠BNO,AO=BO, ∴△OMA≌△ONB(AAS). ∴OM=ON. (2)OM=ON,OM⊥ON. 理由如下:如圖,連接OC. ∵BN⊥DE,FM⊥CM,CM⊥BN, ∴四邊形DMCN是矩形, ∴CN=DM. ∵∠DAM=∠CAB=45,∠DMA=90. ∴DM=MA,∴CN=MA. ∵∠ACB=90,O為AB中點, ∴CO=12AB=AO,∠BCO=45,CO⊥AB, ∴∠NCO=∠MAO=135. 在△NOC和△MOA中,NC=MA,∠NCO=∠MAO,OC=OA, ∴△NOC≌△MOA(SAS), ∴OM=ON,∠AOM=∠NOC. ∵∠NOC+∠AON=90, ∴∠AOM+∠AON=90, ∴∠MON=90,即OM⊥ON. 22.(12分)如圖,在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC=6,D為BC中點. (1)若E,F分別是AB,AC上的點,且AE=CF,求證:△AED≌△CFD; (2)當點F,E分別從C,A兩點同時出發(fā),以1個單位長度/秒的速度沿CA,AB運動到點A,B時停止,設△DEF的面積為y,點F的運動時間為x,求y與x之間的函數(shù)關系式. (1)證明∵∠BAC=90,AB=AC=6,D為BC中點, ∴AD=DC,∠DAE=∠C=45. 又AE=CF,∴△AED≌△CFD. (2)解由題知AE=x,AF=6-x, ∴EF2=AE2+AF2=x2+(6-x)2=2x2-12x+36, 由(1)知:△AED≌△CFD, ∴DE=DF,∠ADE=∠CDF, ∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90, ∴△DEF是等腰直角三角形, ∴DE2=DF2=12EF2, ∴S△DEF=12DEDF=12DE2=14EF2, 即y=14(2x2-12x+36)=12x2-3x+9.