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1、專題35 不等式與線性規(guī)劃不等式與線性規(guī)劃主 干 知 識 梳 理熱 點 分 類 突 破真 題 與 押 題不等式與線性規(guī)劃1.在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進行兩數(shù)在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進行兩數(shù)的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問題等式及線性規(guī)劃問題.基本不等式主要考查求最基本不等式主要考查求最值問題，線性規(guī)劃主要考查直接求最優(yōu)解和已值問題，線性規(guī)劃主要考查直接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問題知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問題.2.多與集合、函數(shù)等知識交匯命題，以選擇、填多與集合、函數(shù)等知識交匯命題，以選擇、填空題

2、的形式呈現(xiàn)，屬中檔題空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題.考情解讀3主干知識梳理1.四類不等式的解法四類不等式的解法(1)一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法先化為一般形式先化為一般形式ax2bxc0(a0)，再求相應(yīng)一，再求相應(yīng)一元二次方程元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集不等式的解集.(2)簡單分式不等式的解法簡單分式不等式的解法變形變形 0(0(1時，時，af(x)ag(x)f(x)g(x)；當當0aag(x)f(x)1時，時，logaf(x)logag(x)f(x)g

3、(x)且且f(x)0，g(x)0；當當0alogag(x)f(x)0，g(x)0.2.五個重要不等式五個重要不等式(1)|a|0，a20(aR).(2)a2b22ab(a、bR).3.二元一次不等式二元一次不等式(組組)和簡單的線性規(guī)劃和簡單的線性規(guī)劃(1)線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等性目標函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等.(2)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：畫出可行域；畫出可行域；根據(jù)線性目標函數(shù)的幾何意義確根據(jù)線性目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；定最優(yōu)解；求出目標函數(shù)的最大

4、值或者最小值求出目標函數(shù)的最大值或者最小值.4.兩個常用結(jié)論兩個常用結(jié)論(1)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是恒成立的條件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是恒成立的條件是 熱點一 一元二次不等式的解法 熱點二 基本不等式的應(yīng)用 熱點三 簡單的線性規(guī)劃問題熱點分類突破熱點一 一元二次不等式的解法例1(1)(2013安徽安徽)已知一元二次不等式已知一元二次不等式f(x)0的解集為的解集為()A.x|xlg 2B.x|1xlg 2D.x|x0.D(2)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)(x2)(axb)為偶函數(shù)，且在為偶函數(shù)，且在(0，)單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增，則f(2x)0的解集為的解集為()A

5、.x|x2或或x2B.x|2x2C.x|x4D.x|0 x0.解析由題意可知由題意可知f(x)f(x).即即(x2)(axb)(x2)(axb)，(2ab)x0恒恒成立，成立，故故2ab0，即，即b2a，則，則f(x)a(x2)(x2).又函數(shù)在又函數(shù)在(0，)單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，所以a0.f(2x)0即即ax(x4)0，解得，解得x4.故選故選C.答案C二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是高考的熱點，也是高考的熱點，“三個二次三個二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.思維升華解析原不等式

6、等價于原不等式等價于(x1)(2x1)0或或x10，即即 x0.若若pq為真命題為真命題，則實數(shù)則實數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是()A.(，2) B.2,0)C.(2,0) D.0,2解析pq為真命題，等價于為真命題，等價于p，q均為真命題均為真命題.命題命題p為真時，為真時，m0；命題命題q為真時，為真時，m240，解得，解得2m2.故故pq為真時，為真時，2m0.C熱點二 基本不等式的應(yīng)用例2(1)(2014湖北湖北)某項研究表明：在考慮行車安某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛點的車輛數(shù)，單

7、位：輛/時時)與車流速度與車流速度v(假設(shè)車輛假設(shè)車輛以相同速度以相同速度v行駛，單位：米行駛，單位：米/秒秒)、平均車長、平均車長l(單位：單位：米米)的值有關(guān)，其公式為的值有關(guān)，其公式為F如果不限定車型，如果不限定車型，l6.05，則最大車流量為，則最大車流量為_輛輛/時；時；如果限定車型，如果限定車型，l5，則最大車流量比，則最大車流量比中的最中的最大車流量增加大車流量增加_輛輛/時時.思維啟迪 把所給把所給l值代入，分子分母同除以值代入，分子分母同除以v，構(gòu)造基本不等式的，構(gòu)造基本不等式的形式求最值；形式求最值；當且僅當當且僅當v11 米米/秒時等號成立，此時車流量最秒時等號成立，此時

8、車流量最大為大為1 900輛輛/時時.當且僅當當且僅當v10 米米/秒時等號成立，此時車流量最大秒時等號成立，此時車流量最大為為2 000 輛輛/時時.比比中的最大車流量增加中的最大車流量增加100 輛輛/時時.答案1 900100思維啟迪 關(guān)鍵是尋找關(guān)鍵是尋找 取得最取得最大值時的條件大值時的條件.解析由已知得由已知得zx23xy4y2， (*)當且僅當當且僅當x2y時取等號，把時取等號，把x2y代入代入(*)式，得式，得z2y2，答案B在利用基本不等式求最值時在利用基本不等式求最值時,要特別注意要特別注意“拆、拆、拼、湊拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中等技巧，使其滿足基本不等式中“正正

9、”(即條件要求中字母為正數(shù)即條件要求中字母為正數(shù))、“定定”(不不等式的另一邊必須為定值等式的另一邊必須為定值)、“等等”(等號取得的等號取得的條件條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.思維升華變式訓(xùn)練2(1)若點若點A(m，n)在第一象限，且在直線在第一象限，且在直線 1上，上，則則mn的最大值為的最大值為_.解析因為點因為點A(m，n)在第一象限，且在直線在第一象限，且在直線1上，上，所以所以mn的最大值為的最大值為3.答案3答案B熱點三 簡單的線性規(guī)劃問題例3(2013湖北湖北)某旅行社租用某旅行社租用A、B兩種型號的客車安兩種型號的客車安排排900名客人旅

10、行，名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為兩種車輛的載客量分別為36人人和和60人，租金分別為人，租金分別為1 600元元/輛和輛和2 400元元/輛，旅行輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過社要求租車總數(shù)不超過21輛，且輛，且B型車不多于型車不多于A型車型車7輛輛.則租金最少為則租金最少為()A.31 200元元 B.36 000元元C.36 800元元 D.38 400元元思維啟迪 通過設(shè)變量將實際問通過設(shè)變量將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.解析設(shè)租設(shè)租A型車型車x輛，輛，B型車型車y輛時租金為輛時租金為z元，元，畫出可行域如圖畫出可行域如圖所以所以zmin51 6002 40

11、01236 800，故租金最少為故租金最少為36 800元元.答案C(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的是求區(qū)域面積；三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍取值范圍.(2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標標函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標函數(shù)的最優(yōu)解函數(shù)的最優(yōu)解.(3)對于應(yīng)用問題，要準確地設(shè)出變量，確定可行域?qū)τ趹?yīng)用問題，要準確地設(shè)出變量，確定可行域和目標函數(shù)和目標函數(shù).思維升華變式訓(xùn)練 3

12、 解析畫出可行域，如圖所示畫出可行域，如圖所示.w 表示可行域內(nèi)的點表示可行域內(nèi)的點(x，y)與定點與定點P(0，1)連線的斜率，連線的斜率，觀察圖形可知觀察圖形可知PA的斜率最小為的斜率最小為 1，故選故選D.答案D解析當當m0時，若平面區(qū)域存在，時，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點在點P(x0，y0)滿足滿足x02y02，因此，因此m0.如圖所示的陰影部分為不等式組表示如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域的平面區(qū)域.答案C1.幾類不等式的解法幾類不等式的解法一元二次不等式解集的端點值是相應(yīng)一元二次方程一元

13、二次不等式解集的端點值是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐軸交點的橫坐標，即二次函數(shù)的零點；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式標，即二次函數(shù)的零點；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式不等式(組組)來解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函來解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化.本講規(guī)律總結(jié)2.基本不等式的作用基本不等式的作用二元基本不等式具有將二元基本不等式具有將“積式積式”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“和式和式”或?qū)⒒驅(qū)ⅰ昂褪胶褪健鞭D(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“積式積式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式式)的大小或證的大小或證明不等式或求

14、函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題.解決問題的解決問題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點，選關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點，并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景，擇好利用基本不等式的切入點，并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景，如通過如通過“代換代換”、“拆項拆項”、“湊項湊項”等技巧，改變原式的結(jié)等技巧，改變原式的結(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件.利用基本不等式求最值時要利用基本不等式求最值時要注意注意“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”的條件，三個條件缺一不可的條件，

15、三個條件缺一不可.3.線性規(guī)劃問題的基本步驟線性規(guī)劃問題的基本步驟(1)定域定域畫出不等式畫出不等式(組組)所表示的平面區(qū)域，注意平面所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應(yīng)；區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應(yīng)；(2)平移平移畫出目標函數(shù)等于畫出目標函數(shù)等于0時所表示的直線時所表示的直線l，平行移，平行移動直線，讓其與平面區(qū)域有公共點，根據(jù)目標函數(shù)的幾何動直線，讓其與平面區(qū)域有公共點，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見的幾類目標函數(shù)意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見的幾類目標函數(shù)的幾何意義；的幾何意義；(3)求值求值利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標，利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)，求出最值代入目標函數(shù)，求出最值. 真題感悟 押題精練真題與押題12真題感悟12真題感悟解析因為因為0a1，axy.采用賦值法判斷，采用賦值法判斷，A中，當中，當x1，y0時，時， 1，A不成立不成立.B中，當中，當x0，y1時，時，ln 10，真題感悟21押題精練12押題精練12押題精練12所以促銷費用投入所以促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大，萬元時，廠家的利潤最大，故選故選A.答案A押題精練12押題精練12如圖畫出不等式組所表示的可行域，如圖畫出不等式組所表示的可行域，押題精練12答案6