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2019-2020年五年級數(shù)學上冊 雞兔同籠 2教案 北師大版 教學目標： 1.知識目標：培養(yǎng)學生的合作意識，在現(xiàn)實情景中，使學生感受到數(shù)學思想的運用與解決實際問題的聯(lián)系，提高學生解決問題的能力和自信心，進而讓學生體會數(shù)學的價值。 2.能力目標：應(yīng)用假設(shè)的數(shù)學思想，在解題中數(shù)形結(jié)合，提高學生分析問題和解決問題的能力； 3.情感目標：在解決“雞兔同籠”的活動中，通過列表的方法解決雞兔的數(shù)量問題，并從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，優(yōu)化列表。 教學重點： 經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過程，從中體會出解決問題的一般策略——列表。 教學難點： 以雞兔同籠問題為載體，以列表舉例為依托，培養(yǎng)學生多角度、有序思考數(shù)學問題的思維方式。 教學設(shè)計： 課前游戲：出示小禮物。 師：看誰能最先猜對它的價格。 生1：那送給我們嗎？ 師：可以，來個現(xiàn)場拍賣。 生2：應(yīng)該叫“猜賣”。 生3：我覺得叫“猜送”比較合適，猜對了就送給我們。 師：還是你說的有道理，開始吧。 生4：4元。 生5：20元。 生6：老師您得告訴我們是便宜了還是貴了。 師：可以，貴了。 生：15 10 8 9 8.5 師：恭喜你答對了，送給你。 (一)感知活動情境，展現(xiàn)學生風采。 師：喜歡數(shù)學嗎？ 生：喜歡。 師：他不但可以增長你的知識，開闊你的視野，同時還可以鍛煉你的思維，在我國古代就有許多非常有趣的數(shù)學名題，你們了解嗎？ 生1：“韓信點兵”。 生2：“鬼谷算”。 師：鬼谷算就是韓信點兵，了不起，你的知識還挺豐富。 生3：“雞兔同籠”。 師：從哪兒了解到的？ 生3：奧數(shù)中學的。 師：那你的數(shù)學一定不錯吧！能給我們介紹一下嗎？ 生3：就是把雞和兔子放到一個籠子里，知道頭和腳，求只數(shù)。 師：奧，是這個意思嗎？（出示題目）點名讀 師：誰還見過類似的問題，有這么多人沒見過，只要你們相信自己就一定能找到答案。 那就嘗試著做作？ 學生獨立思考，匯報。 師：誰愿意把你的想法和大家交流？ 生1：我假設(shè)全是兔，就有28條腿，比條件多28-20=8條腿，用8條腿除以兔比雞多的2條腿，得4，就是雞的只數(shù)，再用7-3=4就是兔的只數(shù)。 師：我要表揚你，知道為什么嗎？ 你在不經(jīng)意中用到了我們數(shù)學中一個非常重要的思想--“假設(shè)”。 生2：我是畫圖求的。 師：可以給我們展示一下嗎？ 生2：我先畫7個圈表示7個頭，然后在每個頭上畫兩條腿，一共14條腿，比總數(shù)少了6條腿，再給每個頭上補兩條腿，因為兔子有4條腿，需要畫3次，就是有3只兔，4只雞。 師：你嘗試著把假設(shè)與畫圖結(jié)合在一起了，使解題過程變得簡單了，獨特的方法，使你給大家留下了深刻的印象。 生3：我是一個個寫的。 師：好呀，給我們展示一下。 生3：我先假設(shè)有1只兔，6只雞，共有4條腿+12條腿=16條腿，不對；再假設(shè)有2只兔，5只雞，共有8條腿+10條腿=18條腿，還是不對；繼續(xù)假設(shè)有3只兔，4只雞，共有12條腿+8條腿=20條腿，對了，所以有3只兔，4只雞。 師：他先嘗試著從簡單的開始一個一個的試，最終找到了答案，多么簡單的方法呀！我們把他寫在黑板上吧，你覺得怎么寫更簡單？ 生4：列表。 師：怎么列？ 生4：上邊寫總頭數(shù)、雞/只、兔/只、總腿數(shù)，下邊寫數(shù)字。 師：好，我們就按照你的想法把它寫在黑板上，生說師寫。 師：如果我們在橫豎加上幾條線，就變成了美觀的表格，看來列表還確實簡單，不管多難的題，只要我們一直這樣嘗試著列下去，就一定可以找到答案，如果現(xiàn)在試著把雞和兔的只數(shù)增加一些，還能解決嗎？ (二)：滲透嘗試猜測，體會總結(jié)方法。 出示例題： 師：看明白了嗎？那還不趕快行動，把你們的想法寫在表格上。學生獨立試做。 師：把你的想法和過程與同桌互相說說。 師：通過你們的聲音告訴我，大家已經(jīng)想好了，誰愿意把自己的過程給大家展示一下。 生實投，師提問：看誰在聽的過程中能提出最有價值的問題。 方法1：生1：我先假設(shè)有1只雞，19只兔，共有78條腿，比條件多，然后把雞的只數(shù)增加1只，兔的只數(shù)減少1只，這樣一直試下去，直到腿數(shù)符合要求。 師：這么快你就學會了，看來還真挺簡單，大家有問題嗎？ 方法2：生1：老師！我的方法比他簡單！ 師：是嗎？讓我們看看。 生1：我先假設(shè)有10只雞，10只兔，共有60條腿，比條件多，然后把雞的只數(shù)增加5只，兔的只數(shù)減少5只，腿少了，說明雞多，再往回減少雞的只數(shù)去試，這樣一直試下去，直到腿數(shù)符合要求。 師：說完了，老師還沉浸在你精彩的講述過程中，為你巧妙的方法而感到驕傲，真的要感謝你使我們列表速度加快了。如果剛才的方法稱為逐步列表法，那現(xiàn)在可以叫做……？ 生2：跳躍式列表法！ 生3：我覺得叫中間列表法比較合適。 師：可以，我們把他稱為取中列表法，誰還有問題？ 生4：如果找不到中間的數(shù)怎么辦？如15。 師：（問生1）你可以解答嗎？ 生1：你只要找到相近的兩個數(shù)就可以了，比如7和8。 生5：你怎么知道要把雞的只數(shù)增加，兔子的只數(shù)減少？ 生1：因為現(xiàn)在腿的只數(shù)多，兔子有4條腿，說明兔子多，所以要減少兔，如果要減少雞，腿還會增多。 生5：那你為什么增加5只雞，而不是增加4只？ 生1：因為我第一次是找的中間數(shù)，不合適，再找10和20的中間數(shù)，所以是15。 師：這樣解答你滿意嗎？ 生5：滿意。 生6：老師我發(fā)現(xiàn)規(guī)律了，您看只要增加1只雞減少1只兔子，總腿數(shù)就減少2條，這樣就不用每次都算了，直接減2就可以。 師：還真是這樣，細心的你值得我們學習。 方法3：生1：我的方法和他們不一樣，我還是先假設(shè)有1只雞，19只兔，共有78條腿，一看腿差的太多，就增加2只雞，這樣也可以找到答案。 生2：你為什么不一次增加4只雞，這樣不是更快嗎？ 生1：沒想到。 生3：我給你提個意見，每只兔子4條腿，這樣我們就可以先求出兔子最多不會超過14只，就沒有必要先假設(shè)有19只兔子了，列表的速度還可以快。 生1：謝謝你的建議。 師：你們的想法真有創(chuàng)意，每次都是跳著增加，這樣稱為跳躍式列表法比較合適吧。 師小結(jié)：列表雖然簡單，但也不是隨隨便便就列的，要想又快又正確地找到答案還真是要動動腦筋?？磥碜鍪裁词虑槎疾荒苎?guī)守矩，一定要認真觀察，仔細思考，只有這樣才能找到自己獨特的見解和想法，做到技高一籌，處處領(lǐng)先別人。聽了他們介紹的這些方法，你有什么啟發(fā)嗎？ (三)：鞏固提高練習，感悟列表本質(zhì)。 師：我們通過“雞兔同籠”研究了嘗試與猜想，你們知它最早記錄在那本書上嗎？（課件介紹）記載在我國的古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》上，（簡介孫子算經(jīng)。《孫子算經(jīng)》作者是誰？至今也無法判定。其中下卷第31題，可謂后世“雞兔同籠”題的始祖。） 師：聰明的古人早在1500年前就對此題有所研究了，想知道古人是怎么做的嗎？ 古人也向你們一樣，有一套自己獨特的想法。（師出示課件演示古人解題方法，并把算式列在黑板上） 師：先讓雞和兔都抬起一半的腿，還有202=10（只），現(xiàn)在動物的頭與腿的只數(shù)有什么關(guān)系？ 生：雞的頭與腿一一對應(yīng)，而兔子的頭對應(yīng)兩條腿。 師：現(xiàn)在再讓每個動物抬起一條腿，還剩下10-7=3（只），這個3就是3只兔，7-3=4（只）雞。 師：同學們，你們覺得古人的方法怎么樣？ 生1：我怎么沒有想到古人的方法！ 生2：古人真的很聰明！ 師：其實你們比古人更聰明，有想法就立刻嘗試，在列表過程中還不斷的猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律。 師：“雞兔同籠”的問題從中國傳到日本，就變成了“龜鶴問題”，看來這類問題我們不能僅僅局限在“雞兔”問題上，題目要是變化一下有信心解答嗎？ 出示練習： 1.有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共104條，龜、鶴各有幾只？ 2.自行車和三輪車共有26輛，共有60個輪子。自行車和三輪車各有多少輛？ 師：試著做作，可以選一道也可以選兩道。 先獨立思考，后匯報。 生1：我選的是龜鶴問題，先假設(shè)龜和鶴各20只，共有120只腿，用120-104=16只腿，每增加1只鶴減少1只龜就少2只腿，現(xiàn)在多出16只，162=8，所以就要增加8只鶴，得28只鶴，12只龜，這樣我只需要列2行就可以找到答案。 師：真了不起，你把列表與計算結(jié)合在一起，只用兩行就可 以找到答案，聰明。（學生情不自禁的為她巧妙的方法鼓掌） 生2：我求的是自行車和三輪車，假設(shè)都有13輛，共有65個輪子，說明三輪車多，減少3輛，就是有16輛自行車，10輛三輪車，共有62個輪子，還多，再減少3輛三輪車，得59個輪子，少了，還要加回去一輛三輪車，所以自行車有8輛，三輪車有18輛。 師：通過練習，可以看出同學們的收獲還真不少。 附送： 2019-2020年五年級數(shù)學上冊 雞兔同籠 3教案 北師大版 教學目標： 1．使學生了解“雞兔同籠”問題，掌握用嘗試法、假設(shè)法和代數(shù)法解決問題，初步形成解決此類問題一般性策略。 2．通過自主探索、合作交流，讓學生經(jīng)歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問題的過程，使學生體會代數(shù)方法的一般性。 3．使學生感受古代數(shù)學問題的趣味性，體會到“雞兔同籠”問題在生活中的廣泛應(yīng)用，提高學習數(shù)學的興趣。 教學重點： 嘗試用不同的方法解決雞兔同籠問題，對嘗試法有所了解和體驗，并使學生體會假設(shè)方法解決此類問題的優(yōu)越性。 教學難點： 在解決問題的過程中培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。 教具準備： 《雞兔同籠》演示文稿 教材分析： （一）設(shè)計意圖： 本教材向?qū)W生提供了現(xiàn)實、有趣、富有挑戰(zhàn)的學習素材，借助我國古代趣題“雞兔同籠”問題，使學生展開討論，應(yīng)用假設(shè)的數(shù)學思想，從多角度思考，運用多種方法解題，學生可以應(yīng)用列表法（逐一列表法、跳躍式列表法、取中列表法）。學生根據(jù)自己的經(jīng)驗，逐步探索不同的方法，找到解決問題的策略，在合作交流學習的過程中，積累解決問題的經(jīng)驗，掌握解決問題的方法。 （二）設(shè)計思路： 遵照《新課程標準》的精神，在課程設(shè)置中強調(diào)學生是學習的主人，在學習過程中盡可能多的為學生提供探索和交流的空間，鼓勵學生自主探索與合作交流。通過教師創(chuàng)設(shè)的現(xiàn)實情景，讓學生投入解決問題的實踐活動中去，自己去研究、探索、經(jīng)歷數(shù)學學習的全過程，從而體會到假設(shè)的數(shù)學思想的應(yīng)用與解決數(shù)學問題的關(guān)系。通過學習使學生認識到數(shù)形結(jié)合的重要性，提高學生分析問題和解決問題的能力。在學習中應(yīng)注意鼓勵每個學生參與學習過程，注重學生之間交流，使學生共同學習，共同進步，共同提高，把所學的數(shù)學知識應(yīng)用到生活中去，用數(shù)學的眼光看待身邊的事物，體會數(shù)學的價值。 學生狀況分析： 五年級學生在三年級時已初步學習了簡單的“雞兔同籠”問題。他們已經(jīng)初步嘗試了應(yīng)用逐一列表法解決問題，還有一些學生在奧數(shù)的學習中已經(jīng)學過，學生的程度參差不齊。學生的思維活躍，敢想，敢說，有一定的小組合組經(jīng)驗。 教學過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境、揭示課題： 1．同學們，你們知道嗎？ 從前，有一位老獵人，進山打了幾只山雞和野兔，高高興興地往家走。在村口，幾個小孩圍了過來，“老爺爺，老爺爺，您送給我們幾根漂亮的羽毛吧！”老爺爺捋了捋胡子，笑瞇瞇地說：“孩子們，要羽毛可以，可我有一道題要考考你們，若答對了，羽毛就送給你們了?！薄昂醚?，好呀！您出題吧！”老爺爺說：“雞兔同籠8頭，26腿地下走，問你雞兔各幾許？” 師：這道題目是說，現(xiàn)在老獵人打到一些野雞和兔子，關(guān)在同一只籠子里，從上面看，共有8個頭；從下面看，共有26只腳。問有多少只野雞、多少只兔子。 師：古代人對這樣的題目有著自己獨到的見解，我們把類似于這樣的問題，統(tǒng)統(tǒng)稱為：“雞兔同籠”。今天，我們就來研究中國歷史上著名的數(shù)學趣題 “雞兔同籠”問題。板書課題。 2．我們先從簡單的問題入手，來探討解決這類問題的方法，好嗎？大家請看屏幕。出示題目： 雞兔同籠一共有20個頭，一共有54條腿。 雞和兔各有幾只？ 二、主動探究、合作交流、學習新知： 1．師：請大家自由讀題，你們都知道了什么信息？ 生：雞和兔一共有20個頭。雞兔一共有54條腿。求分別有幾只？ 師：還有補充嗎？有兩個隱藏條件看誰細心發(fā)現(xiàn)了？。 生：雞有2條腿，兔子有4條腿。雞和兔一共有20個頭。雞兔一共有54條腿。求分別有幾只？ 師評：他還發(fā)現(xiàn)了隱藏條件，審題真細心。 2．先猜一猜，雞兔可能有幾只？可能只有一種動物嗎，為什么？ 學生猜測，匯報。不可能都是雞，因為如果都是雞就會有16條腿，而題目中是26條腿。也不可能都是兔，因為如果都是兔就會有32條腿。 3．獨立思考： （1）你想怎樣解決這個問題？生舉手，師：不著急說，先自己想一想！學生靜想10秒。 （2）師：你們愿意自己獨立解決這個問題，還是我教給你們方法你們做？好，那就請你們小組合作交流， 在小組長的帶領(lǐng)下，用自己喜歡的方法來解決這個問題。比一比，看看那個組想出的辦法多，方法巧。 學生合作，教師巡視指導(dǎo)。 4．匯報：（匯報時，師生、生生質(zhì)疑，評價） A、師：誰愿意展示你的方法？ （1）列表法： 頭/個 雞/只 兔/只 腿/條 20 19 1 66 20 18 2 64 20 17 3 62 20 16 4 60 20 15 5 58 20 14 6 56 20 13 7 54 小組1：我們采用列表法得出的答案。（實物投影展示小組的成果） 先假設(shè)有20只雞，0只兔子，腿就有40條。腿太少，然后又假設(shè)有19只雞，1只兔子，腿還是太少了。這樣試下去就得到了有13只雞，7只兔子。 師：學生說出“19只雞，1只兔子”，問“怎樣計算出的腿數(shù)？”192+14=38+4=42 問“結(jié)果就是13只雞，7只兔子嗎？怎樣可以知道這個結(jié)果是正確的？” 是的，可以用算式來驗證：132+74=26+28=26（條） 師：誰和他的方法一樣？能再講講嗎？ 師：追問“有些同學在填表時寫出的腿數(shù)特別快，讓我們采訪一下有什么秘訣？” （因為雞和兔的只數(shù)是固定的，每增加一只兔子減少一只雞，腿的總只數(shù)就增加2。反之依然，所以列表列得特別快。） 師：評價“像你們這樣，采用列表的方法，不重復(fù)、不遺漏的寫出所有可能的答案。這種逐一列舉的方法在數(shù)學中也稱為“枚舉法” 師：他們是先考慮雞，還可以怎樣列表呢？假設(shè)有8只兔，0只雞，又假設(shè)有7只兔，1只雞，……這樣做和剛才的道理一樣，也是可以的！ 師：除了像他們這樣逐一列舉，還有不同的列表方法嗎？ 小組3：從中間確定。如果沒有教師介紹。受到這些同學的啟發(fā)，我是這樣做的：假設(shè)雞兔各有10只， 104+102=60，多了。就增加雞的只數(shù)，減少兔子的只數(shù)。7只兔子，13只雞。74+132=54 問：你們覺得這種方法怎么樣？簡便、快捷。 師：用列表法解決問題，要想做到又快又準確，你們認為應(yīng)該要注意些什么問題？ B、師：剛才我們同學介紹了用列表法來解決這個問題，還有別的方法嗎？誰愿意來給大家講一講？、 （2）畫圖法：先畫好8個圓圈代表8個頭，給每只動物先安上2條腿（也就是都看成雞），這樣一共用16條腿，還剩下10條腿。一次增加2條腿，一只雞就變成了一只兔，要把10條安完，要把5只雞變成兔。 問：誰聽懂他的方法了？能再說說嗎？你覺得這樣做怎么樣？ C、師：畫圖的方法非常便于觀察、非常容易理解。還有什么方法嗎？ （3）假設(shè)法。 小組1：假設(shè)全都是雞：28=16（條）26-16=10（條） 102=5（只）……兔子 8-5=3（只）……雞 誰有不懂得問題要問他？你們看看是不是這樣：看屏幕演示 板書“假設(shè)法?！? 師：除了可以假設(shè)都是雞，還可以怎樣假設(shè)呢？ 小組2：引導(dǎo)學生說出都是兔，課件演示 （4）拓展延伸：解答這個問題，還有不同的方法嗎？ 啟發(fā)學生思考；展示學生的個性解法并以學生的名字來命名?！? （5）初步小結(jié)：同學們，剛才我們用很多方法解決了同一個問題，你覺得這些方法的核心思想是什么？（假設(shè)。所以雞兔同籠問題又叫假設(shè)問題。） 5、了解雞兔同籠的歷史：（進行愛國主義教育，激勵學生。） 同學們，你們知道古人是如何解答雞兔同籠問題的嗎？剛才的題目（出示）：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉、兔各幾何？ 書中給出了一種巧妙的解法，今譯為： 942-35=12（頭） …… 兔的頭數(shù) 35-12=23（頭） …… 雞的頭數(shù) 這就是最早的雞兔同籠問題。 看了這段資料，你有什么想法，你有什么想說的嗎？ （為我們的祖先感到驕傲，其實老師也為你們感到驕傲，你們在這么短的時間內(nèi)就想出了這么多解決問題的辦法，你們很了不起！ 6．小結(jié)方法：剛才我們用這么多的方法解決了雞兔同籠問題，你最喜歡那一種方法，說說你的理由。 7．下面我們用學到的好方法來解決書本中的數(shù)學問題，好嗎？ 出示：雞兔同籠，有20個頭，54條腿，雞兔個有幾只？（學生獨立完成，教師巡視指導(dǎo)）指名板演。 講評訂正時，選一個做的最快的同學來說出自己的想法。提問動作慢的：你為什么沒做完呢？ 8．再次小結(jié)：現(xiàn)在你能從新總結(jié)一下這些方法的優(yōu)勢和適用范圍嗎？數(shù)目比較小時，用畫圖和列表的方法比較快，數(shù)目比較大時，用假設(shè)法比較好。 三、解決實際問題、課堂延伸。 1．雞兔同籠問題從我國傳到日本，就變成了“龜鶴問題”，看來這類問題我們不能僅僅局限在雞兔問題上。（如果時間不夠，就給學生介紹一下） 龜：我們和鶴一共有6個頭。 鶴：我們和龜一共有16條腿。 學生匯報，交流。 像這樣的問題，在現(xiàn)代生活中隨處可見。體育比賽中也有這樣的“雞兔同籠”題目呢！ 2．學生乒乓球比賽，有8個球案在進行單打、雙打比賽，一共有22人正在比賽。單打的球案有幾張？雙打的球案有幾張？ 在我們購物的時候也有雞兔同籠問題呢？ 3．小明買了6角和8角的郵票共花5元，分別買了多少張？ 四、課堂總結(jié)： 師：通過今天的學習，你有哪些收獲？ 師：是呀，我們學會了這么多的好方法，說明大家都是好樣的，繼續(xù)努力吧！