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2019-2020年數(shù)學(xué)八上人教版第15章《整式的運(yùn)算》綜合測試卷 一、 填空題（每空2分，共26分）： 1. ______ , _____ _ ． 2. 合并同類項(xiàng)：____ __ ． 3. , 則______ ． 4. , ． 則______ ． 5. ____ __ ． 6. 如果是一個(gè)完全平方式, 則的值為____ __ ． 7. ______ , ______ ． 8. ___ ___． 9. __ ____ ． 10. =___ ___ ． 11. 邊長分別為和的兩個(gè)正方形按如圖(I)的樣式擺放， 則圖中陰影部分的面積為 ． 二、選擇題（每題2分，共18分）： 12．下列計(jì)算結(jié)果正確的是（ ） A B C D 13．下列運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（ ） A B C D 14． 給出下列各式①，②，③， ④，⑤，⑥． 其中運(yùn)算正確有（ ） A 3個(gè) B 4個(gè) C 5 個(gè) D 6個(gè) 班級(jí)_______ 姓名___ ____ 成績_______ 15．下列各式中，計(jì)算結(jié)果是的是（ ） A B C D 16．下列各式計(jì)算中，結(jié)果正確的是（ ） A B C D 17．在下列各式中，運(yùn)算結(jié)果為的是（ ） A B C D 18．下列計(jì)算中，正確的是（ ） A B C D 19． 的運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ） A B C D 20． 若，則有（ ） E B C D 二、 計(jì)算題（每小題5分，共35分）： 21． ． 22． ． 23． ． 24． ． 25． ． 26． ． 27． 應(yīng)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算：． 四、解答題（每小題5分，共10分）; 28． 先化簡，再求值：，其中． 1. 29． 解方程： 五、（30小題5分，31小題6分，共11分） 30． 已知：為不等于0的數(shù)，且，求代數(shù)式的值． 31．已知：，，求－的值． 參考答案 一、 填空題 1. 2． 3． 4． 15 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 二、選擇題： 12． C 13． B 14． A 15． D 16． D 17． A 18． D 19． B 20． B 三、 算題題： 21. 22． 23． 24． 25． 26． 27． —1 四、 解答題： 28． 原式 = ，其值為 —8． 29． 五、30． 原式 = 1． 31． 原式 = 30． 附送： 數(shù)學(xué)必修（二）知識(shí)梳理與解題方法分析 第一章 《空間幾何體》 一、本章總知識(shí)結(jié)構(gòu) 二、各節(jié)內(nèi)容分析 1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu) 1.本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu) 2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：讓學(xué)生感受大量空間實(shí)物及模型，概括出柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征。 難點(diǎn)：柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征的概括。 1.2空間幾何體三視圖和直觀圖 1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu) 2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：畫出簡單幾何體的三視圖，用斜二測法畫空間幾何體的直觀圖。 難點(diǎn)：識(shí)別三視圖所表示的空間幾何體。 1.3 空間幾何體的表面積與體積 1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu) 2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：了解球、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式。 難點(diǎn)：球體積和的表面積的推導(dǎo)。 三、高考考點(diǎn)解析 本部分內(nèi)容在高考中主要考查以下兩個(gè)方面的內(nèi)容： 1.多面體的體積（表面積）問題； 2.點(diǎn)到平面的距離（多面體的一個(gè)頂點(diǎn)到多面體一個(gè)面的距離）問題—“等體積代換法”。 （一）多面體的體積（表面積）問題 1．【06上海理】 在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60． （1）求四棱錐P－ABCD的體積； 【解】（1）在四棱錐P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得 ∠PBO是PB與平面ABCD所成的角,∠PBO=60. 在Rt△AOB中BO=ABsin30=1,由PO⊥BO, 于是，PO=BOtg60=, 而底面菱形的面積為2. ∴四棱錐P-ABCD的體積V=2=2. 2．【06上海文】 在直三棱柱中，. （2）若與平面所成角為，求三棱錐的體積。 【解】 （2）∵AA1⊥平面ABC, ∠ACA1是A1C與平面ABC所成的角，∠ACA1=45. ∵∠ABC=90，AB=BC=1，AC= ∴AA1=。 ∴三棱錐A1-ABC的體積V=S△ABCAA1=。 3．【06四川理】 如圖,長方體ABCD-中，E、P分別是BC、的中點(diǎn),M、N分別是AE、的中點(diǎn)， （Ⅲ）求三棱錐P－DEN的體積。 【解】 （Ⅲ） 作，交于，由面得 ∴面 ∴在中， ∴。 （二）點(diǎn)到平面的距離問題—“等體積代換法”。 1．【06福建理】 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)， （III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。 【解】 （III） 設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為 ， ∴ 在中， 而 點(diǎn)E到平面ACD的距離為 2．【06湖北文】 如圖，已知正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長為1，是底面邊上的中點(diǎn)，是側(cè)棱上的點(diǎn)，且。 （Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離。 【解】（Ⅱ）過在面內(nèi)作直線 ，為垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即為到平面AMN的距離。在中，＝。故點(diǎn)到平面AMN的距離為1。 3．【06湖南理】 如圖4, 已知兩個(gè)正四棱錐 的高分別為1和2, 。 （III）求點(diǎn)到平面的距離。 【解】（Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM 。 過點(diǎn)P作PH⊥QM于H，則PH⊥QAD，所以PH的長為點(diǎn)P到平面QAD的距離。 連結(jié)OM。因?yàn)镺M=AB=2=OQ，所以∠MQP=45。 又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45=。 即點(diǎn)P到平面QAD的距離是。 4．【06江西文】 如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)。 （1）求O點(diǎn)到面ABC的距離； 【解】（1）取BC的中點(diǎn)D，連AD、OD。 ，則 ∴BC⊥面OAD。過O點(diǎn)作OH⊥AD于H， 則OH⊥面ABC，OH的長就是所要求的距離。 ，。 ∴面OBC，則。 ，在直角三角形OAD中，有 （另解：由知：） A B C A1 V B1 C1 5．【06山東理】 如圖，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊△所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90，設(shè) （Ⅱ）求點(diǎn)A到平面VBC的距離； 【解】（Ⅱ）解法1：過A作于D， ∵△為正三角形， ∴D為的中點(diǎn). ∵BC⊥平面 ∴， 又， ∴AD⊥平面， ∴線段AD的長即為點(diǎn)A到平面的距離. 在正△中，. ∴點(diǎn)A到平面的距離為. 解法2：取AC中點(diǎn)O連結(jié)，則⊥平面，且=. 由（Ⅰ）知，設(shè)A到平面的距離為x， ， 即，解得. 即A到平面的距離為. 所以，到平面的距離為. 第二章 《點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》 一、本章的知識(shí)結(jié)構(gòu) 二、各節(jié)內(nèi)容分析 2.1空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu) 2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：空間直線、平面的位置關(guān)系。 難點(diǎn)：三種語言（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）的轉(zhuǎn)換。 3.內(nèi)容歸納總結(jié) （1）四個(gè)公理 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。 符號(hào)語言：。 公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 三個(gè)推論：① ② ③ 它給出了確定一個(gè)平面的依據(jù)。 公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線（兩個(gè)平面的交線）。 符號(hào)語言：。 公理4：（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。 符號(hào)語言：。 （2）空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 1.概念 異面直線及夾角：把不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。 已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線，我們把與所成的角（或直角）叫異面直線所成的夾角。（易知：夾角范圍） 定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。（注意：會(huì)畫兩個(gè)角互補(bǔ)的圖形） 2.位置關(guān)系： （3）空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 直線與平面的位置關(guān)系有三種： （4）空間中平面與平面之間的位置關(guān)系 平面與平面之間的位置關(guān)系有兩種： 2.2 直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu) 2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出判斷定理和性質(zhì) 。 難點(diǎn)：性質(zhì)定理的證明。 3.內(nèi)容歸納總結(jié) （1）四個(gè)定理 1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu) （一）基本概念 1.直線與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面垂直，記作。直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。直線與平面的公共點(diǎn)叫做垂足。 2. 直線與平面所成的角： 角的取值范圍：。 3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 兩平面垂直問題常轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直，而直線與平面垂直又可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直，所以在解題時(shí)應(yīng)注意從“高維”到“低維” 的轉(zhuǎn)化，即“空間問題”到“平面問題”的轉(zhuǎn)化。 1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu) （一）基本概念 1.直線與 平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂 直，我們就說直線與平面垂直，記作。直線叫做平面 的垂線，平面叫做直線的垂面。直線與平面的公共 點(diǎn)叫做垂足。 2. 直線與平面所成的角： 角 的取值范圍：。 2019-2020年數(shù)學(xué)必修2空間幾何體點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系復(fù)習(xí)提綱 定理 定理內(nèi)容 符號(hào)表示 分析解決問題的常用方法 直線與平面 平行的判定 平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 在已知平面內(nèi)“找出”一條直線與已知直線平行就可以判定直線與平面平行。即將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題” 平面與平面 平行的判定 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。 判定的關(guān)鍵：在一個(gè)已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問題” 直線與平面 平行的性質(zhì) 一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 平面與平面 平行的性質(zhì) 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。 （2）定理之間的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化 兩平面平行問題常轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以在解題時(shí)應(yīng)注意“轉(zhuǎn)化思想”的運(yùn)用。這種轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)上就是：將“高維問題”轉(zhuǎn)化為“低維問題”，將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”。 2.3 直線、平面平垂直的判定及其性質(zhì) 1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu) （一）基本概念 1.直線與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面垂直，記作。直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。直線與平面的公共點(diǎn)叫做垂足。 2. 直線與平面所成的角： 角的取值范圍：。 3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 定理 定理內(nèi)容 符號(hào)表示 分析解決問題的常用方法 直線與平面 垂直的判定 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。 在已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與已知直線垂直就可以判定直線與平面垂直。即將“線面垂直”轉(zhuǎn)化為“線線垂直” 平面與平面 垂直的判定 一個(gè)平面過另一平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。 （滿足條件與垂直的平面有無數(shù)個(gè)） 判定的關(guān)鍵：在一個(gè)已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問題” 直線與平面 垂直的性質(zhì) 同垂直與一個(gè)平面的兩條直線平行。 平面與平面 垂直的性質(zhì) 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直與交線的直線與另一個(gè)平面垂直。 解決問題時(shí)，常添加的輔助線是在一個(gè)平面內(nèi)作兩平面交線的垂線 兩平面垂直問題常轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直，而直線與平面垂直又可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直，所以在解題時(shí)應(yīng)注意從“高維”到“低維” 的轉(zhuǎn)化，即“空間問題”到“平面問題”的轉(zhuǎn)化。 三、高考考點(diǎn)解析 第一部分、三類角（異面直線所成的夾角、直線與平面所成的角、二面角）的求解問題 （一）異面直線所成的夾角與異面直線的公垂線 1．異面直線所成的夾角是本部分的重點(diǎn)和難點(diǎn)更是高考的考點(diǎn)。 異面直線所成的角的大小是刻劃空間兩條異面直線的相關(guān)位置的一個(gè)量，掌握好概念是解題的關(guān)鍵，其思維方法是把兩條異面直線所成的角通過“平移法”轉(zhuǎn)化為“平面角”，然后證明這個(gè)角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角（簡言之：①“轉(zhuǎn)化角”、②“證明”、③“求角”）。以上三個(gè)步驟“轉(zhuǎn)化角”是求解的關(guān)鍵，因?yàn)檗D(zhuǎn)化的過程往往就是求解的過程——其目的就是將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題（角問題）”。 1．【06廣東】 如圖所示，、分別是、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑， ,。 （II）求直線與所成的角。 【解】（II）第一步：將“問題”轉(zhuǎn)化為求“平面角”問題 根據(jù)定義和題設(shè)，我們只能從兩條異面直線的四個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作其中一條直線的平行線，此題我們只能從點(diǎn)D作符合條件的直線。 連結(jié)DO，則∠ODB即為所求的角。 第二步：證明∠ODB就是所求的角 在平面ADEF中，DE//AF，且DE=AF，所以四邊形ODEF為平行四邊形 所以DO//EF 所以根據(jù)定義，∠ODB就是所求的角。 第三步：求角 由題設(shè)可知：底面ABCD為正方形 ∵ DA⊥平面ABCD 平面 ∴ DA⊥BC 又 ∵AF⊥BC ∴ BC⊥平面ADO ∴ DO⊥BC ∴ △DOB為直角三角形 ∴ 在Rt△ODB， ∴ （或用反三角函數(shù)表示為：） 2．【06山東文】 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形， 與相交于點(diǎn)，且頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，又. （Ⅰ）求異面直接與所成角的余弦值. 【解】平面， 又， 由平面幾何知識(shí)得： （Ⅰ）過做交于于，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角， 四邊形是等腰梯形， 又 四邊形是平行四邊形。 是的中點(diǎn)，且 又， 為直角三角形， 在中，由余弦定理得： 故異面直線PD與所成的角的余弦值為。 3．【06上海理】 在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60． （2）若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）． 【解】（2）取AB的中點(diǎn)F，連接EF、DF. 由E是PB的中點(diǎn),得EF∥PA, ∴∠FED是異面直線DE與PA所成角（或它的補(bǔ)角）。 在Rt△AOB中AO=ABcos30==OP, 于是,在等腰Rt△POA中,PA=,則EF=. 在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=. cos∠FED== ∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos. 4．【06重慶文】 如圖（上右圖），在正四棱柱中， ，為上使的點(diǎn)。平面交于，交的延長線于，求： （Ⅰ）異面直線與所成角的大?。? 【解】解法一：由為異面直線所成的角。連接.因?yàn)锳E和分別是平行平面與平面的交線，所以,由此可得,再由∽得 在。 解法二：由為異面直線 所成的角。因?yàn)楹头謩e是平行平面與平面的交線，所以，由此可得 從而，于是 在 5．【06福建理】 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)， （II）求異面直線AB與CD所成角的大?。? 【解】 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。 方法一：（II） 取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知 直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角 在中， 是直角斜邊AC上的中線， 異面直線AB與CD所成角的大小為 6．【06湖南理】 如圖4, 已知兩個(gè)正四棱錐的高分別為1和2, 。 （II）求異面直線所成的角； 【解】（Ⅱ）連接AC、BD，設(shè)ACBD＝O，由PQ平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P，A，Q，C四點(diǎn)共面。 取OC的中點(diǎn)N，連接PN。 因?yàn)?，所? ， （或其補(bǔ)角）是異面直線AQ與PB所成的角。 連接BN。 因?yàn)椋? 所以。 從而異面直線AQ與PB所成的角是。 7．【06江西文】 如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)。 （2）求異面直線BE與AC所成的角； 【解】（2）取OA的中點(diǎn)M，連EM、BM，則EM∥AC，∠BEM是異面直線BE與AC所成的角。 求得：， ， ∴。 2. 異面直線的公垂線問題 異面直線的公垂線問題也是高考的考點(diǎn)之一。 與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.任何兩條確定的異面直線都存在唯一的公垂線段. 1．【06全國Ⅱ理】如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)。 （I）證明：ED為異面直線與的公垂線； 【解】 （Ⅰ）設(shè)O為AC中點(diǎn)，連接EO，BO，則EOC1C， 又C1CB1B，所以EODB，EOBD為平行四邊形，ED∥OB． A B C D E A1 B1 C1 O F ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1， BO面ABC， 故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1， ED⊥AC1， ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線． A B C A1 V B1 C1 2．【06山東理】 如圖，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊△所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90，設(shè) （Ⅰ）求證直線是異面直線與的公垂線； 【解】解法1：（Ⅰ）證明： ∵平面∥平面， 又∵平面⊥平面，平面∩平面， ∴⊥平面， ， 又，. 為與的公垂線. （二） 直線與平面所成夾角 11．【06浙江理】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，， ， 底面，且，分別為、的中點(diǎn)。 （Ⅱ）求與平面所成的角。 【解】 （II）取的中點(diǎn)，連結(jié)、， 則， 所以與平面所成的角和與平面所成的角相等. 因?yàn)槠矫妫? 所以是與平面所成的角. 在中，。 故與平面所成的角是。 圖1 圖2 18．【06江蘇】 在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如圖1）。將△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2） （Ⅱ）求直線A1E與平面A1BP所成角的大??； 【解】不妨設(shè)正三角形的邊長為3，則 （II）在圖2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜線，又A1E⊥面BEP， ∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在面A1BP內(nèi)的射影（三垂線定理的逆定理） 設(shè)A1E在面A1BP內(nèi)的射影為A1Q，且A1Q交BP于Q， 則∠EA1Q就是A1E與面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。 在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP為正三角形，∴BE=EP。 又A1E⊥面BEP，∴A1B=A1P，∴Q為BP的中點(diǎn)，且EQ=，而A1E=1， ∴在Rt△A1EQ中，，即直線A1E與面A1BP所成角為60o。 22．【06全國Ⅰ理】 如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點(diǎn)A、B在上，C在上，AM=MB=MN。 （Ⅱ）若,求NB與平面ABC所成角的余弦值. 【解】（Ⅱ） 又已知，因此為正三角形. ，因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心，連結(jié)BH，為NB與平面ABC所成的角. 在中， （三） 二面角與二面角的平面角問題 1．【06廣東】 如圖所示，、分別是、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑， ,。 （I）求二面角的大??； 【解】（I）∵AD與兩圓所在的平面均垂直， ∴AD⊥AB，AD⊥AF， 故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角， 依題意可知，ABFC是正方形，所以∠BAF＝450. 即二面角B—AD—F的大小為450； 2．【06安徽理】如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O。 （Ⅱ）求面與面所成二面角的大小。 【解】連結(jié)AD，則易知AD與BF的交點(diǎn)為O。 （II）設(shè)M為PB的中點(diǎn)，連結(jié)AM，MD。 斜線PB在平面ABC內(nèi)的射影為OB，。 又 因此，為所求二面角的平面角。 在正六邊形ABCDEF中， 在Rt 在Rt，則 在中，由余弦定理得 因此，所求二面角的大小為 3．【06北京理】 如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn). （Ⅲ）求二面角的大小. 【解】（Ⅲ）如圖，取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，則EF是△PAD的中位線， \EFPA又平面， \EF^平面 同理FO是△ADC的中位線，\FOAB\FO^AC由三垂線定理可知\EOF是二面角E－AC－D的平面角. 又FO＝AB＝PA＝EF。 \EOF＝45而二面角與二面角E－AC－D互補(bǔ)， 故所求二面角的大小為135. 4．【06山東文】 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形， 與相交于點(diǎn)，且頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，又. （Ⅱ）求二面角的大??； 【解】 平面， 又， 由平面幾何知識(shí)得： （Ⅱ）連結(jié)，由（Ⅰ）及三垂線定理知，為二面角的平面角 ， 二面角的大小為 5．【06陜西理】 如圖,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,點(diǎn)A在直線l 上的射影為A1, 點(diǎn)B在l的射影為B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求: （II）二面角A1－AB－B1的大小。 【解】 （Ⅱ）∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α。 在平面α內(nèi)過A1作A1E⊥AB1交AB1于E，則A1E⊥平面AB1B。過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A1F⊥AB， ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角. 在Rt△ABB1中,∠BAB1=45， ∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中， A1B== = 。 由AA1A1B=A1FAB得 A1F== = , ∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE = = ， ∴二面角A1－AB－B1的大小為arcsin. 6．【06四川理】 如圖,長方體ABCD-中，E、P分別是BC、的中點(diǎn),M、N分別是AE、的中點(diǎn)， （Ⅱ）求二面角的大小； 【解】（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn) ∵為的中點(diǎn) ∴ ∴面 作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得 從而為二面角的平面角。 在中，， 從而 在中， 故：二面角的大小為。 第二部分 《空間直線、平面的平行問題》 現(xiàn)利用高考題舉例說明將“高維問題”轉(zhuǎn)化為“低維問題”，將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”的“轉(zhuǎn)化思想”的運(yùn)用。 （一）“線線平行”與“線面平行”的轉(zhuǎn)化問題 1．【06北京理】 如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn). （Ⅱ）求證：平面； 【解】 證明本題的關(guān)鍵：在平面EAC中“找”一條與PB平行的直線，由于點(diǎn)E在平面PBD中，所以可以在平面PBD中過點(diǎn)E“找”（顯然，要“找”的直線就是平面PBD與平面EAC的交線）。最終將“線面平行”問題轉(zhuǎn)化為“線線平行”問題。 （Ⅱ）連接BD，與AC相交與O，連接EO， ABCD是平行四邊形 O是BD的中點(diǎn) 又E是PD的中點(diǎn)， EO//PB. 又PB平面AEC，EO平面AEC， PB平面AEC。 10．【06天津理】 如圖，在五面體中，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，面是等邊三角形，棱． （1）證明//平面； （2）設(shè)，證明平面． 【解】分析通上題。 （Ⅰ）證明：取CD中點(diǎn)M，連結(jié)OM. 在矩形ABCD中。 ，又， 則，連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形. 又平面CDE，且EM平面CDE，∵FO∥平面CDE 21．【06遼寧理】 已知正方形。、分別是、的中點(diǎn),將沿折起，如圖所示。記二面角的大小為。 （I） 證明平面； 【解】 分析同上 （I） 證明：EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點(diǎn), EB//FD，且EB=FD， 四邊形EBFD為平行四邊形。 BF//ED 平面. （二） “線面平行”與“面面平行”的轉(zhuǎn)化問題 2．【06四川理】 如圖,長方體ABCD-中，E、P分別是BC、的中點(diǎn),M、N分別是AE、的中點(diǎn)， （Ⅰ）求證：； 【證明】本題如果利用“線線平行”找“線”比較復(fù)雜（不是不可以），所以我們可以考慮利用“面面平行”來將問題轉(zhuǎn)化。關(guān)鍵是：考慮到點(diǎn)M、N都是中點(diǎn)，于是我們就輕松的可以找到另一個(gè)比較特殊的中點(diǎn)K（OC的中點(diǎn)），將“線面平行”問題轉(zhuǎn)化為“面面平行”問題。 （Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié) ∵分別為的中點(diǎn) ∵ ∴面，面 ∴面面 ∴面 第三部分 《 空間直線、平面的垂直問題》 現(xiàn)利用高考題舉例詳細(xì)說明空間直線、平面的垂直問題中將“高維問題”轉(zhuǎn)化為“低維問題”，將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。 （一）“線線垂直”到“線面垂直” 1．【06北京文】如圖，是正四棱柱。 （I）求證：BD⊥平面； 【解】 根據(jù)直線與平面平行的判定定理很容易找到兩條相交的直線AC、A1A與BD垂直。 （Ⅰ）∵ 是正四棱柱， ∴ CC1⊥平面ABCD， ∴ BD⊥CC1， ∵ ABCD是正方形， ∴ BD⊥AC 又 ∵AC，CC1平面，且AC∩CC1=C， ∴ BD⊥平面。 5．【06山東文】 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形， 與相交于點(diǎn)，且頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，又. （Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M在棱上，且為何值時(shí)，平面。 【解】（Ⅲ）連結(jié)， 平面平面， 又在中，，， 故時(shí)，平面 6．【06重慶理】 如圖，在四棱錐中，底面ABCD，為直角，,E、F分別為、中點(diǎn)。 （I）試證：平面； 【解】 （I）證：由已知且為直角。故ABFD是矩形。從而。又底面ABCD，，故由三垂線定理知。在Rt中，E、F分別為PC、CD的中點(diǎn)，故EF//PD,從而，由此得面BEF。 7．【06福建理】 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)， （I）求證：平面BCD； 【解】（I）證明：連結(jié)OC 在中，由已知可得 而 即 平面 8．【06湖南理】 如圖4, 已知兩個(gè)正四棱錐的高分別為1和2, 。 （I）證明: ； 【解】（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)M，連接PM、QM。 因?yàn)镻－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以ADPM，ADQM。 從而AD平面PQM。 又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD。 同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。 9．【06江蘇】 圖1 圖2 在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如圖1）。將△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2） （Ⅰ）求證：A1E⊥平面BEP； 【解】[考點(diǎn)分析：本題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間線面位置關(guān)系的證明、角和距離的計(jì)算等，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力] 不妨設(shè)正三角形的邊長為3，則 （I）在圖1中，取BE的中點(diǎn)D，連結(jié)DF， ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF為正三角形。 又AE=DE=1，∴EF⊥AD。 在圖2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB為二面角A1－EF－B的一個(gè)平面角， 由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，∴A1E⊥BE。 又BEEF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。 （二） “線面垂直” 到“線線垂直” 1．【06安徽理】如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O。 （Ⅰ）證明⊥； （Ⅱ）求面與面所成二面角的大小。 【解】連結(jié)AD，則易知AD與BF的交點(diǎn)為O。 （I）證法1： 又 證法2: 2．【06浙江理】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，， ， 底面，且，分別為、的中點(diǎn)。 （Ⅰ）求證：； 【解】 （I）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以. 因?yàn)槠矫?，所以? 從而平面.因?yàn)槠矫妫? 所以. 3．【06江西理】如圖，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形 （1）求證：AD^BC； 【解】 （1）方法一：作AH^面BCD于H，連DH。 AB^BDHB^BD，又AD＝，BD＝1 \AB＝＝BC＝AC \BD^DC 又BD＝CD，則BHCD是正方形，則DH^ BC \AD^BC 方法二：取BC的中點(diǎn)O，連AO、DO 則有AO^BC，DO^BC， \BC^面AOD \BC^AD 22．【06全國Ⅰ理】 如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點(diǎn)A、B在上，C在上，AM=MB=MN。 （Ⅰ）證明ACNB 【解】 （Ⅰ） 又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影