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傅里葉光學 Fourier Optics 薛常喜 光電工程學院,1）光學是一門古老的學科，主要研究光波的本性、光波的傳播以及光與物質的相互作用。 2）光學的發(fā)展歷史可以追溯到公元前5世紀，到目前已經有2000多年的歷史，并逐漸在物理學中形成了一門獨立 的基礎學科。 3）光學的發(fā)展歷史可以看成是人們對光本性認識的歷史，以及人們利用光學技術推動社會不斷進步的歷史。 4）在整個發(fā)展歷史中，光學也從經典光學發(fā)展到現代光學，人們對光學的認識不斷深入，而光學在整個社會中的應用也越來越廣泛。,1、傅里葉光學的發(fā)展歷史,光學的發(fā)展歷程,第一階段：17世紀中葉之前 經典光學的早期發(fā)展階段 【幾何光學】,觸覺論、發(fā)射論,直線傳播、小孔成像、光的反射和凹凸面鏡反射成像,公元前5世紀,公元前4世紀,Snell折射定律、費馬原理,公元前3世紀到公元17世紀中葉,第二階段：17世紀中葉至19世紀 經典光學的快速發(fā)展階段【波動光學】,波動學說和粒子學說之爭,17世紀初至19世紀末,Maxwell電磁波理論 邁克爾遜-莫雷以太實驗,19世紀60年代,第三階段：20世紀 現代光學的誕生及發(fā)展階段,量子力學、相對論、波粒二像性、物質波理論,20世紀上半葉,全息術、光學傳遞函數及激光器的誕生,20世紀40年代至60年代,量子光學、傅里葉光學、薄膜光學、集成光學、非線性光學、光纖光學等現代光學分支的誕生,20世紀60年代以來,,,,,19世紀80年代,,5）現代光學發(fā)展的三件大事1948年，全息術的誕生，物理學家第一次精確地拍攝下一張立體的物體像，它幾乎記錄了光波所攜帶的全部信息 (這正是“全息”名稱的來歷)！1955年，科學家第一次提出“光學傳遞函數”的新概念，并用它來評價光學鏡頭的質量。1960年，一種全新的光源-激光器誕生了，它的出現極大地推動了相關學科的發(fā)展。,6）20世紀50年代 數學、電子技術、通信理論與光學相結合，給光學引入了頻譜、空間濾波、載波、線性變換及相關運算等概念，從而形成了一門新的光學學科—傅里葉光學！ 傅里葉變換和通信中的線性系統理論使光學與通信在信息學領域統一起來，從“空域” 走向“頻域”。 光學不再僅限于用光強、振幅和透過率的空間分布描述光學圖像，也用空間頻率的分布變化描述光學圖像。,1、傅里葉光學的發(fā)展歷史,,6）20世紀60年代以來由于激光器的應用，全息術獲得了新的生命；全息術和光學傳遞函數的概念結合，光學研究的內容和方法發(fā)生了改變,7）隨著計算機技術的發(fā)展，信息光學也獲得了巨大發(fā)展，信息光學逐漸發(fā)展成為集光學、計算機和信息科學相結合的一門技術，成為信息科學的一個重要組成部分和現代光學的核心之一。,傳統上，用光強、振幅的空間分布來描述光學圖像,現在，則把圖像看作是由緩慢變化的背景、粗 的輪廓等比較低的“空間頻率”成分和急劇 變化的細節(jié)等比較高的“空間頻率”成分構成 的，用頻率的分布和變化來描述光學圖像。,,“空域” “頻域”,,傅里葉光學（又稱信息光學）最終形成一個重要的學科分支。,1、傅里葉光學的發(fā)展歷史,,1）課程將從三個方面介紹傅里葉光學的基本內容 一、信息光學的基礎理論，包括傅里葉變換、線性系統理論、標量衍射理論、傳遞函數理論等； 二、信息光學的主要應用，包括光學全息、計算全息、空間濾波、光學相干和非相干處理等； 三、信息光學的最新發(fā)展動態(tài)，如激光散斑、分數傅里葉變換等。 2）具體安排見下頁,3、本課程的主要內容,,1）傅里葉光學基于傅里葉變換的方法研究光學信息在線性系統中的傳遞、處理、變換與存儲等。 2）傅里葉光學主要的研究內容包括： 光在空間的傳播（衍射和干涉問題） 光學成像（相干與非相干成像系統） 全息術（包括計算全息） 光學信息處理（相干濾波、相關識別等） 光學變換、光計算、光學傳感等 3）傅里葉光學主要的研究方法：傅里葉變換+線性系統理論,2、傅里葉光學的研究內容和研究方法,,課程內容安排 第一章 傅里葉變換 第二章 二維線性系統 第三章 標量衍射理論 第四章 透鏡的位相調制和傅里葉變換性質 第五章 光學成像系統的頻率特性 第六章 部分相干理論 第七章 光學全息 第八章 光學信息處理 第九章 激光散斑及其應用,3、本課程的主要內容,主要內容 1.引言——信息 2.光學信息光信息處理的優(yōu)勢 3.光信息處理發(fā)現的歷史 4.光信息處理作為一個新的技術科學分支還遠遠沒有達到成熟和廣泛實用階段。 5.具體體現： 6.課程學習要求達到目的,從信息光學角度進一步闡述傅里葉光學,一．引言——信息科學技術是組成社會生產力的一個重要因素，社會生產水平最終決定人類改造自然的能力和范圍，也就決定了科學技術工作的任務，性質和規(guī)模。 信息分為兩種類型： 1.能量傳遞和轉換為特征18世紀60年代的工業(yè)革命，以紡紗機和蒸汽機的發(fā)明為先導。 2.信息科學的形成20世紀中葉以來，隨著自動控制，通訊，電子計算機的迅猛發(fā)展。從而認識到信息運動是物質運動總體的一個方面，它與能量運動存在于統一的物質運動中。,信息的表現形式多種多樣 例如：①人的語言是社會信息②遺傳密碼是生物信息③計算機程序是技術信息信息借助一定的物質作為載體才能存在、傳遞或變換，同時必須伴有一定的能量。信息的變換過程包括信息的接受，存取和處理。,二．光學信息光學是研究光的本性、光的產生、傳輸、接收及光與物質相互作用規(guī)律和特性的一門科學。人們主要是從光的能量和信息兩個側面加以研究。隨著電子技術、半導體技術、計算機技術、信息論等新興科學的發(fā)展，與應用光學相互滲透，相互交叉，產生了一系列光學學科中新的生長點?，F代應用光學與光學工程就其范圍來說，分為： ①光能量技術 ②光信息技術 1.光能量技術主要包括：照明工程；激光武器；激光加工；太陽能利用等,2.光信息技術主要包括： A.光學量測試技術它以光強、位相、波長、頻率、旋光度等光信息的空間分布和隨時間的變化作為測試對象，或者將非光量信息轉換為光信息加以測量，如光譜分析、光度測量干涉計量、莫爾條紋測量等等 B.光信息處理它以信息光學為基礎，用付里葉分析的方法研究光學成像和光學變換的理論和技術；實現圖像的改善和增強，圖像識別，圖像的幾何畸變與光度的規(guī)整和糾正，光信息的編碼、存儲和成圖技術，三維圖象顯示和記錄，仿生視覺系統，以及電、聲等非光信號的光信息處理等等。 C.光纖通信用纖維光纜代替金屬電纜，實現傳輸量大、防干擾性好、保密性強，耗電少的新型通信線路，將是近年迅猛發(fā)展的一個新領域。,三．光學既古老又年輕由于信息光學、統計光學、波導光學、集成光學、空間光學、海洋光學、仿生光學等新光學的產生，又因激光的出現，付里葉光學促進了圖像科學與工程（Image Science and Engineering）的發(fā)展。新型的電光、光電材料的不斷發(fā)明，形成了嶄新的光電子學(Optoelectronics)，所以應用光學與光學工程(Applied Optics and Optics Engineering)與電子學的關系更加密切。總之“信息光學”作為光信息處理的理論基礎，它是物理光學、信息科學和光電子學相交叉的一個學科分支。,本課程將經典物理光學的基礎上，闡明傅立葉光學的分析方法，對光學成像過程、光信息處理系統、全息照相以及光信息處理用元器件的有關光學知識作一系統敘述，從技術科學的角度為工程應用提供理論基礎。此外，既然把光作為信息的載體，還應該研究光信息傳輸和變換的有效性、可靠性以及系統抗干擾的能力。這就是說，有必要對光編碼、光噪聲、光存儲以及信息傳輸過程中光量子效應等問題做全面的探討。但由于學時有限，有待進一步總結。,四．光信息處理的優(yōu)勢 1. 電子學的缺點由于現代科學技術的發(fā)展提高計算機的運算速度和通信容量。從這個意義來說，電子計算機正面臨光計算機的挑戰(zhàn)，換句話說，光信息處理與光通信急速發(fā)展的原因是由于光波本身物理本質的優(yōu)越性。電子計算機高速化有以下三個方面限制 1)量子力學限制 2)熱力學限制 3)電子線路技術的限制 4)電子通信容量的限制,2.光信息處理具有以下特點1)易于實現二維和三維光信息的并列處理，特別有利于快速圖像處理。2)運算速度快，基本上按光速進行。 目前，全息片的存儲速度已達 畢/秒。3)光信息容易模擬其他物理量信息，如微波天線電磁場的模擬和超聲波的模擬等。由于光波波長短，模擬裝置的幾何尺寸大小縮小。4)由于光學裝置受到光學材料及記錄介質質量等的限制，產生光噪音的因素較多，運算精度還不高，一般只能達到百分之幾。5)目前光信息處理還處于模擬運算階段，線性變換中以付里葉最易實現。非線性變換及空間變換處理系統正在深入研究。所以與數學計算機相比，運算的靈活性較弱。,,五．光信息處理發(fā)現的歷史原始的光信息處理處理方法可以追溯到著名的佛科刀口檢驗與輝紋法，他都是以弱衍射效應為基礎，從可見的光場中提取必要的信息。 1）1873年E.Abbe對顯微鏡成像的探討，闡明了光學系統分辨率與物面空間頻譜的聯系。 2）1906年Porter實現了空間濾波的實驗。 1）-2）公認為相干光處理系統的先驅3）1927年Michelson說明了再現記錄的衍射圖樣疊加重要的位相信息后成像的過程。,4)最早最有效的光學處理系統是1935年F.Zernike的相襯顯微鏡，成功運用了濾波。 5）1948年蓋伯（D.Gabor）在研究電子顯微鏡分辨率的同時，提出了以菲涅耳衍射成像構成的全息術（更大突破，激光出現驗證成功）。 1970年獲得諾貝爾獎 1）-5）光信息處理的萌芽時期。 衍射成像理論是以付里葉變換為數學工具的。 6）1946年P.Duffieux開始應用光學系統成像理論，對像質評價方法，光學系統設計和性能測試有了很大的促進。20世紀50年代，美國成功實現模擬雷達信號處理及相控陣列雷達信號處理系統。 7）1963年迂內順平采用真空鍍膜制作逆濾波器來處理模糊圖象。,8）A.marechel用空間濾波的方法來消除圖片的網點，抽出輪廓，改變圖象的對比。 60年代激光問世 9)1962年利思（E.Leith）和烏帕特尼克斯（J.Upatniks）利用空間載波的概念，拍攝和重現了高質量的全息圖。 10）1964年范德拉格特（A.Vandor-Lugt）用復數空間濾波的概念，全息空間濾波器作了字符識別實驗，使光學信息處理進入一個廣泛的應用階段。,光波傳播規(guī)律的科學 （天文，顯微，視光學，自然奇觀）光波與物質的相互作用（光合，照片膠卷，輻射與生物，光電子）,中國 墨子 小孔成像古希臘 歐幾里德 《反射光學》,1608， 望遠鏡， 荷蘭，李普塞 1612， 顯微鏡， 荷蘭，姜森 1860，光譜分析儀， 德國，基爾霍夫,光學儀器,哈勃望遠鏡,相對論 量子力學 麥克斯韋方程組 門捷列夫的元素周期表,19世紀末期世界科學幾大發(fā)現,1948，全息術誕生 （英，蓋伯） 1955，光學傳遞函數 （評價鏡頭） 1960，激光的誕生 （紅寶石激光） 1961，中國的第一臺激光器（長春光機所）,現代光學的發(fā)展,1961年，我國第一臺激光器,I （振幅，光強），1792， 黑白照相 λ（波長，頻率），1908， 彩色照片 Φ（位相），1935，相襯顯微鏡 I，λ，Φ， 全息照相 CT 計算機技術，1979諾貝爾醫(yī)學獎,光學照相的發(fā)展,90%的信息通過視覺 古代 烽火臺 光波，承載，傳播，記錄，萃取，顯示信息 光纖通信技術 光驅外設，光盤存儲技術 空間光學與航空技術,近代光學與信息科學,傅里葉光學（傅里葉級數） 線性系統理論引入現代光學 光的傳播，衍射，成像 從空域到頻域 光學信息處理 應用，高密度存儲 光學測量技術,信息光學的研究,光盤存儲,人民日報全文數據庫（1993）,激光體全息高密度存儲實驗系統,激光全息防偽人民幣（建國50周年紀念幣）,,奧迪轎車車身在線三維測量系統,激光測距與激光雷達（1）,激光測距與激光雷達（2）,長度測量,空間濾波的應用,相干光學信息處理實驗,圖像相減的實驗結果微分濾波（邊緣增強）的實驗結果,? 調制實驗的彩照,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在以下各個方面得到了初步應用和發(fā)展 1.合成孔徑雷達信息處理 2.聲納信號處理 3.地震法物理勘探波形分析 4.圖象加強和復原 5.圖樣識別 6.航空攝影測量圖光學處理 7.非破壞檢查 8.晶體結構分析 9.光學計量 10.生物醫(yī)學等,六．光信息處理作為一個新的技術科學分支還遠遠沒有達到成熟和廣泛實用階段。具體體現： 1.在基礎理論和系統方面：光學一般變換，非線性變換系統，空間變相干光處理系統部分相干性理論，相干與非相干光的轉換機制等等尚待深入研究。由于相干系統的光噪聲問題不易克服，近年來對非相干光和白光處理系統的研究又有加強趨勢。 2.在材料器件方面實時調制器，可逆光學存貯器，光電子電光轉換陳列器件還是十分薄弱環(huán)節(jié)，嚴重阻滯光信息處理的發(fā)展和應用。目前認為，發(fā)揮光學與電子光學的優(yōu)勢，彌補兩者的不是從長遠的意義來說，發(fā)展光-電子式混合式計算機是值得研究的重要方向。,對光學信息處理的理解性定義：從光衍射的惠更斯-菲涅耳原理可知，光學系統的成像過程就是二次付里葉變換的過程，它是光電信息處理的基本著眼點。用付里葉分折的觀點，可以把任何二維圖象看成各種空間頻率的正弦光柵迭加的結果。同時，又可把光學系統成像特性歸結為對不同空間頻率正弦光柵的成像特性，即光學系統的空間頻率響應。因為圖象和他的付里葉變換頻譜有著對應的關系，我們研究一下圖象既可以在像面上進行，也可以在它的譜面上進行，只要搞清楚其中的一個，就等于搞清楚了另一個。所以處理與分析一個圖象，可以在像面進行，也可以在譜面進行。,七．課程學習要求達到目的 1. 學習要求，掌握物理光學，應用光學，光學測量知識，同時要掌握一定的數學知識。 2. 理解透鏡的位相調制作用和付里葉變換性質。 ① 掌握付里葉分析和線性系統的基本理論，常用函數，δ函數及其付里葉變換，卷積和相關的基本概念。 ② 理解透鏡的位相調制作用和付里葉變換性質。 ③ 掌握相干傳遞函數和光學傳遞函數的基本概念，用其對光學成像系統進行頻譜分析。 ④ 掌握光學信息處理和空間濾波的概念及其基本原理，能對相干光、非相干光及白光的信息處理進行分析和應用。,采用脈沖響應與線性系統理論進行分析，主要有以下兩個主要理由： 1.它簡化了分析方法，使得能夠實際計算問題的解； 2.電氣工程師對脈沖響應與線性系統理論較為熟悉。,,,,Phone:13504428642 Email: xcx272479@sina.comxuechangxi@cust.edu.cn,第一章 基本數學知識,主要內容 1.幾個常用函數 2. δ函數 3.傅立葉變換 4.卷積和相關,1.1幾個常用函數 1.矩形函數（Rectangle function）光學上常常用矩形函數表示狹縫、矩孔的透過率。它與某函數相乘時，可限制函數自變量的范圍，起到截取的作用，故又常稱為“門函數”。,,函數 定義 Sinc函數常用來描述狹縫或矩孔的夫瑯和費衍射圖樣。,,3.三角函數（triangle function）三角函數可用來表示光瞳為矩形的非相干成像系統的光學傳遞函數。,,,4.階躍函數 定義： 常用它表示直邊（或刀口）的透過率。 5.符號函數（sign function）它與階躍函數的聯系則表示間斷點移到的符號函數。當它與某函數相乘，可使部分函數的極性（正負號）改變。例如某孔徑的一半嵌有的位相板，可利用符號函數來描述它的復振幅透過率。,,,6.圓柱函數（circle function） 在直角坐標系中圓柱函數定義為極坐標內定義為常用來表示圓孔的透過率。,,,7.高斯函數 定義式： 性質：常用作描述激光器發(fā)出的高斯光束。,,,,,8.梳狀函數通?？傇谥苯亲鴺讼祪瓤疾於S梳狀函數，并記為comb(x,y)定義為,,,1.2 δ函數在物理學和工程技術中，人們常?？疾熨|量或能量在空間或時間上高度集中的各種現象，為此，人們設想了諸如質點，點電荷，點光源，以及瞬時脈沖等物理模型。δ函數就是用來描述這類物理模型的數學工具。δ函數不是普通函數，它不像普通函數那樣完全由數值對應關系確定。它是廣義函數，其屬性完全由它在積分中的作用表現出來。,1.定義光學成像系統中常把“光點”作為成像的物單元。數學上的點是沒有大小的，它僅僅代表一個空間位置，但光學中往往一個點又包含了一定的物理量。為了表示這種關系，引入一個δ函數的概念。δ函數又稱脈沖函數。若有一點光源在空間占了某一位置，它發(fā)出一定的光能量，除了這一點的位置以外空間其它位置都不發(fā)光。顯然，這一點的面積趨向于零的，因此這點的面發(fā)光強度成了無窮大。但是這個無窮大又不能是任意的，它對于任意無限小區(qū)間（-ε，ε）的積分值，也就是點光源發(fā)出的總光能量，又必須是一個定值。,（1）脈沖函數的定義以上是在一維情況下，在光學中這相當于一個線光源，即一個無限長的狹縫。這樣的一個線光源的數學模型就是一維δ函數：,,,,（2）矩形函數極限因為上一種方法定義，運算時比較困難，因此常用矩形函數極限定義：設有一個矩形函數，它的底寬為 ，高度為N，面積等于1，假定這個矩形函數的底寬逐漸變窄，也就是N逐漸變大，那么高度就全隨之增高，但矩形的面積始終等于1，則 ，而面積=1，則函數旋Nrect（Nx）的極限就是δ函數的定義,,,,,,也可以這樣,,（3）函數序列的極限,,,,（4）廣義函數定義下的δ函數因此δ函數可以用不同的矩形函數的極限來定義，所以δ是一個廣義函數。為了判別不同的函數族所定義的是不是，同一個廣義函數，就需要用一個檢驗函數 檢驗函數 需滿足兩個條件： 1）函數連續(xù)可微任意次 2）當 時， 及其各階段導數值都趨于零 3）當 時， 下降很快，比 收斂很快，N為整數 利用檢驗函數 ，可得 得一個定義任意函數族的極限，只要滿足上式，都可以用來定義δ函數，上式是 函數的嚴格定義。由于 地函數值不一定有直接的定義，因此在討論δ函數時通常是指它的積分值。,,,,,,,,,2.δ函數的性質 （1）篩選性光學δ函數能 從中取出（2） 偶函數（3） 卷積（4）,,,,,,（5） 與普通函數的乘積（6） （7） 的導數性質a） b）c）,,,,,,,,（8）這個式相當于常數1的付利葉變換。,,1.3 付里葉變換 一．付里葉級數 1．周期函數檢驗光學系統成像質量用的鑒別率板，當只考慮一維情況時，它的圖形和光強度分布如圖光強度寫成 ，則在 方向伸展的光強度變化（1） （1）式稱為周期，周期為X，周期的倒數即單位自變量內周期函數重復的次數稱為頻率,,,2.付里葉級數的系數3 付里葉級數的收斂定理（狄里赫利條件）,,,,,,4 付里葉級數的物理變量周期函數可以展開為付里葉級數，這為處理某些物理過程提供了一個極為有用的數學方法。函數中以 為周期的函數 可以展開為付里葉級數，而級數的每一項是以 為周期的三角函數，式中的變量x所表示的是角變量，常取弧度為單位。物理過程中的周期現象常是由一些有物理意義的變量來描述的，周期也不一定是 。所以在用付里葉級數來討論某一物理問題時，需要賦予付里葉級數一些相應的物理變量。為了使周期現象能化成以三角函數式來表示的付里葉級數，我們用 作為變量。 即： 引入圓頻率 的概念： 意義：單位時間內變化的角度，單位取,,,,,,,,,,,,,,,則積分域由,變?yōu)?,對于光學成象中的周期現象，我們常用空間周期函數 來表示。變量x所代表的是以mm為單位的空間位置。不是函數式中角度變量x。函數 的空間周期為P，空間頻率為 ，它的物理意義是單位長度內光的周期變化次數，單位為 。把這些關系式代入以上函數式，便可得到空間頻率展開的付里葉級數表達式積分域為 f: 基頻 基波 2f……nf 諧波,,,,,,,,,,,上面已經提到過，函數式中的傅里葉級數的各項是以為周期 的三角函數。對于頻率為f（周期為P）的空間周期函數，展開成傅里葉技術后，它的各項也是各種頻率的三角函數。這些不同頻率的三角函數可以理解為各種頻率的波，而第n項波相應的頻率是原來函數f的n倍。如n=1，則第一項頻率f；n=2，頻率為2f；………。我們稱原來周期函數的頻率f為基頻，具有頻率為f的波為基波，而其它各項的頻率是基頻f的整數倍。這些倍頻的波統稱為諧波。這樣，一個頻率為f的空間周期函數，可以用傅里葉級數的運算法則，把它分解為具有基波和各次諧波的三角函數之和（常數項可以理解為n=0）。類似的討論同樣適用于其它物理過程的周期現象。在光學傳遞函數的討論中，我們所關心的空間周期函數，涉及的頻率也是指空間頻率。例：它的光強度空間分布是一個一定空間頻率的矩形波。利用傅里葉級數的展開法則，可以把它分解為一些列不同空間頻率的正弦（或余弦）波。這個矩形物的象就是各個正弦物的象的總和，而討論各個不同空間頻率的正弦物的成像就可以直接運用光學傳遞函數的概念。,,5.周期函數展開成付里葉級數 一維鑒別率板的矩形波函數 ，它的周期為P，頻率 ，振幅為例1,,,,,利用前面公式式，解得因為 奇函數，所以則根據傅立葉級數收斂定理，在間斷點上下圖表示了這個矩形波的展開以及基波與各次諧波相加的情形?？梢钥闯?，高次諧波的項數取得越多，則相加后的結果越接近與原來的波形，為了不使這個矩形波函數出現負值，可把坐標做適當推移。,,,,,,,,,,,6 付里葉級數的指數形式令所以式中,,,,,因為當n=0時，,三個式子合并起來寫為：,綜合以上兩式，就得,表示了空間頻率為nf的各次諧波,表示了各次諧波的振幅大小和相位關系,,代數式的項數（n數）為,指數式的項數為,代數形式：,,指數形式,6 付里葉級數的指數形式 7.頻譜分析與頻譜圖 8.非周期函數的付里葉展開 9.付里葉展開和付里葉變換的定義和物理意義,四．付里葉變換的性質,卷積和相關 一 卷積和相關的定義符號表示相關，*符號表示卷積，我們用圖解析卷積和相關的運算過程，并說明相關不可變換及可變換性。,,,,展寬 平滑化：被積函數經過卷積運算，其微細結構在一定程度上被消除，函數本身的起伏變得平緩圓滑。,卷積過程的兩個效應,卷積運算定理 1、交換律2、分配律3、結合律這幾個定律不難證明。,包含δ函數的卷積----函數的移位 任意函數和脈沖函數的卷積：原點處的篩選性質有任意函數和位于 處的脈沖函數的卷積得到這個性質有助于對于重復的物理結構的描述，如光柵、雙縫等,,卷積的物理意義----透鏡的非相干成象理想的物象關系是點點對應，物象共軛。實際成象時產生一個彌散斑。由物點和附近的無數個點共同產生如果每個點的貢獻只與該點與物點的距離有關，與具體象（高斯物點所成的）的位置無關像點的總光能表示為,,相關運算 兩個函數的互相關定義為：與卷積的差別在于相關運算中后一個函數取復共軛，且不需要折疊，不滿足交換律。互相關運算是兩個函數間相似性的度量。函數本身的自相關定義為自相關有一個重要性質：它的模在原點處最大，即這個性質常常用來作為圖象（信號）識別的判據,互相關在兩函數有相似性時出現峰值，自相關則會在位移到重疊時出現極大值,互相關與自相關比較,二．卷積和相關的性質 （一）線性 (二) 付里葉變換性質 若1 卷積性質,,,,,5巴塞伐定理若則有如下性質：,,線性系統與線性空不變系統,常用函數及其傅里葉變換（1）常數c（2） 函數（3）余弦函數（4）正弦函數,,,,,,,（5）階躍函數 用于表示開關（6）符號函數 用于改變極性（正負號）,（7）矩形函數 表示狹縫（8）三角形函數 表示矩形光瞳OTF,,,（9）梳狀函數 用來表示光柵，抽樣（10）高斯函數 用于表示激光光束光強分布,線性系統的疊加性質,一個二維脈沖函數在輸入平面上位移時，線性系統的響應函數形式始終與在原點處輸入的二維脈沖函數的響應函數形式相同，僅造成響應函數相應的位移，即這樣的系統稱為二維不變線性系統。其脈沖響應函數可表示為脈沖響應函數僅僅依賴于觀察點與脈沖輸入點坐標的相對間距二維線性不變系統還常常叫做空間不變（線性）系統,,,,,二維不變線性系統的定義,空間不變線性系統的輸入輸出關系示意圖,,不變線性系統的“卷積積分”,物理的空間不變線性系統，輸入平面和輸出平面常常是不同的兩個平面，需要建立兩個坐標 從研究輸入和輸出之間關系的角度來看，輸入和輸出兩種信號放在同一坐標系中是方便的，因此對輸入平面和輸出平面的坐標做歸一化（不管兩者是否表示同一種物理量），使得從數值上有 和 脈沖響應函數變?yōu)?疊加積分變?yōu)椤熬矸e積分” 光學成象系統可以把物平面劃分為若干個等暈區(qū)，把每個等暈區(qū)當作空間不變線性系統處理,,,,,,,,,二維不變線性系統的傳遞函數,如果不變線性系統的輸入是空域函數，其傅里葉變換為同時輸出函數和脈沖響應函數的傅里葉變換分別為根據卷積定理有 即稱做不變線性系統的的傳遞函數,,,,,,,,,,,,,傳遞函數的意義,空間頻譜是基元函數的線性組合中對應的權重因子輸入和輸出空間頻譜之比表達了系統對于輸入函數中不同頻率的基元函數的作用，也就是系統在把輸入“傳遞”為輸出過程中的作用，因而稱為傳遞函數傳遞函數一般是復函數，其模的作用是改變輸入函數各種頻率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改變這些基元成分的初位相傳遞函數的模稱作振幅傳遞函數，傳遞函數的幅角稱作位相傳遞函數,,,,,,,,空間頻率的兩種意義,空間頻率類似于時域函數的時間頻率，時間倒數稱作頻率，長度倒數稱作空間頻率，即在單位長度內周期函數變化的周數（單位為：周/mm，線對/mm，L/mm，等 ）信息光學中有兩種空間頻率，一種是對二維圖象進行頻譜分析得到的圖象頻譜對應的空間頻率，這是一種空間強度分布，單位為：周/mm，線對/mm，L/mm，等，其大小是沒有限制的，可以是無窮大另一種是對電磁波場進行頻譜分析得到的平面波對應的空間頻率，因為電磁波在均勻介質中波長是常數，在其傳播方向上空間頻率是不變的。因而其對應在三維空間坐標上的每個方向的空間頻率（單位為：光波數/mm ）表示出的意義實際上是電磁波的傳播方向，或其傳播方向與坐標軸的夾角，而且大小受到光波長的限制，最大是波長的倒數。下章再詳細講這兩者區(qū)別,,,,,,,,,不變線性系統的本征函數,如果函數 滿足以下條件（式中 為一復常數）則稱為算符所表征的系統的本征函數。這就是說，系統的本征函數是一個特定的輸入函數，它相應的輸出函數與它之間的差別僅僅是一個復常系數。 前面講的基元函數——復指數函數就是不變線性系統的本征函數 即 《工程光學》中已經說明光波可以用復指數函數表示，光學系統傳播光波的數學模型，就是這樣一個用復指數函數表示的光輸入變?yōu)閺椭笖岛瘮当硎镜墓廨敵龅牟蛔兙€性系統,,,,,,,,,,,非相干成像系統的本征函數（1）,下面再討論其脈沖響應是實函數的一類特殊的空間不變線性系統， 它把一個實值輸入變換為一個實值輸出。 這種系統也是一種常見的線性系統，如一般的非相干成像系統。 實函數的傅里葉變換是厄米型函數，即其傳遞函數有由于 因而 由此可見，這種系統振幅傳遞函數是偶函數，位相傳遞函數是奇函數,,,,,,,,,,,,,,非相干成像系統的本征函數（2）,余弦函數或正弦函數是這類系統的本征函數 ，輸入函數為余弦函數 對應的頻譜為該不變線性系統輸出函數頻譜則為 系統輸出函數相應為,,,,,,,,,,,,,非相干成像系統的本征函數（3）,因而有： 這表明，對于脈沖響應是實函數的空間不變線性系統，余弦輸入將產生同頻率的余弦輸出。同時產生與頻率有關的振幅衰減和相位移動，其大小決定于傳遞函數的模和幅角。非相干光學成象系統的脈沖響應是實函數，對這一類空間不變線性系統的分析是建立光學傳遞函數理論的基礎。,,,,,,,,,不變線性系統圖解法（1）,給定一個不變線性系統，輸入函數是有限延伸的三角波對下列傳遞函數用圖解法確定系統的輸出。 （1）（2）計算計算方法，首先求出輸入函數的頻譜，再用圖解找出輸出函數的頻譜，最后用反變換計算出系統的輸出。,,,,,,,,不變線性系統圖解法（2）,輸入函數的頻譜為,,,,,,,,不變線性系統圖解法（3）,輸入函數 的頻譜分以下幾個步驟來完成： 1、畫出 、 和2、畫出卷積3、得到乘積 畫出傳遞函數 畫出輸出函數版的頻譜（近似）通過簡單計算把剩下來的幾個SINC函數的反變換化簡，最后畫出輸出函數圖象,,,,,,,,級聯系統,下圖表示的是兩個級聯在一起的空間不變線性系統，前一系統的輸出恰是后一系統的輸入,,,,,,,,兩個系統級聯的傳遞函數,對于總的系統 和 分別是其輸入和輸出，因為 前式代入后式，并利用卷積的結合律，有總的脈沖響應為總的傳遞函數為,,,,,,,,,,,,,n個空間不變線性系統的級聯,n個空間不變線性系統級聯的情況，總的等效系統的脈沖響應和傳遞函數分別為 用模和幅角表示傳遞函數時還可以進一步得到振幅傳遞函數和位相傳遞函數的如下關系級聯系統總的傳遞函數滿足相乘律，簡單地是各子系統傳遞函數的乘積，這為我們分析復雜系統提供了很大的方便。復雜光學系統或者說光學鏈就是這種情況。,,,,,,,,,,,,抽樣定理,抽樣定理的由來和意義,實際的宏觀物理過程都是連續(xù)變化的，物理量的空間分布也是連續(xù)變化的。 在今天的數字時代，連續(xù)變化的物理量要用它的一些離散分布的采樣值來表示，而且這些采樣值的表達方式也是離散的 這些離散的數字表示的物理量的含義或者說包含的信息量與原先的連續(xù)變化的物理量是否相同？ 是否可以由這些抽樣值準確恢復一個連續(xù)的原函數？ 本書用的是惠特克—香農（Whittaker-Shannon）抽樣定理的二維形式,,,,,,函數的抽樣,最簡單的抽樣方法是用二維梳狀函數與被抽樣的函數相乘 如果被抽樣的函數為 ，抽樣函數可表示為梳狀函數是 函數的集合，它與任何函數的乘積就是無數分布在平面 上在 ， 兩方向上間距為 和 的 函數 與該函數的乘積任何函數與 函數相乘的結果仍然是 函數，只是 函數的“大小”要被該函數在 函數位置上的函數值所調制。換句話說，每個 函數下的體積正比于該點函數的數值,,,,,,,,,,,,抽樣函數,抽樣函數的頻譜,利用卷積定理和梳狀函數的傅里葉變換，可計算抽樣函數的頻譜,,抽樣函數的原函數的復原圖,,,奈奎斯特（Nyquist）抽樣間隔,假如函數 是限帶函數，即它的頻譜僅在頻率平面上一個有限區(qū)域內不為零 若包圍該區(qū)域的最小矩形在 和 方向上的寬度分別為 和 欲使圖中周期性復現的函數頻譜不會相互混疊，必須使 或者說抽樣間隔必須滿足 式中表示的兩方向上的最大抽樣間距和通常稱作奈奎斯特（Nyquist）抽樣間隔,,,,,,,,,,,,,,,,原函數頻譜的復原,要原函數的復原首先要恢復其頻譜 在滿足奈奎斯特抽樣間隔的情況下，只要用寬度 和 ,位于原點的矩形函數去乘抽樣函數的頻譜就可得到原來函數的頻譜。在頻率域進行的這種操作去掉了部分頻譜成份，常常稱作“濾波” 用頻域中寬度 和 的位于原點的矩形函數為 濾波過程可寫作,,,,,,,,,,原函數的復原(1),做反變換就可直接得到原函數 根據卷積定理，在空間域得到對上式左邊兩個因子分別進行化簡有結果得到無數 函數與SINC函數的卷積和,,,,,,,最后卷積的結果,愿函數為若取最大允許的抽樣間隔，即 ，并且 ，則可見用SINC函數做為插值函數可以準確恢復原函數(當然要滿足必要的條件),,,,,,,,,抽樣定理的意義,抽樣定理公式就是由抽樣點函數值計算在抽樣點之間所不知道的非抽樣點函數值，在數學上就是插值公式抽樣定理的重要意義在于它表明，準確的插值是存在的。也就是說，由插值準確恢復原函數可以在一定條件下實現一個連續(xù)的限帶函數可以由其離散的抽樣序列代替，而不丟失任何信息——因此抽樣定理是數字化社會的基礎，其重要意義怎么講也不過分,抽樣定理證明圖解（1）,,,,,,,抽樣定理證明圖解（2）,,,,,,,,,,空間帶寬積,若限帶函數 在頻域中 , 以外恒為零，根據抽樣定理，函數在空域中的范圍內抽樣數至少為式中 表示函數在空域覆蓋的面積, 表示函數在頻域中覆蓋的面積。在該區(qū)域的函數可由數目為 的抽樣值來近似表示。問題：為什么是近似？抽樣定理不是準確的嗎？空間帶寬積 就定義為函數在空域和頻域中所占有的面積之積：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,空間帶寬積的意義,空間帶寬積描述空間信號（如圖象，場分布）的信息量，也可用來描述成象系統、光信息處理系統的信息容量，即傳遞與處理信息的能力。 空間帶寬積決定了圖象最低必須分辨的象素數，如數碼相機的技術指標 空間帶寬積表達圖象的自由度或自由參數數 圖象是實函數，每一個抽樣值為一個實數，自由度為當圖象是復函數，每一個抽樣值為一個復數，要由兩個實數表示。自由度增大一倍，,,,,,,,,,,抽樣定理例題（1）,若二維不變線性系統的輸入是“線脈沖” ，系統對線脈沖的輸出響應稱為線響應 。如果系統的傳遞函數為 ，求證：線響應的一維傅里葉變換等于系統傳遞函數沿 軸的截面分布 。,,,,,,,,,抽樣定理例題（1）解,證明： 線脈沖實質上也是二維的函數，只是沿 方向函數值不變，是常數1。系統對線脈沖的輸出響應，即線響應也是二維的函數，可表示為線響應的一維傅里葉變換則為這就是系統傳遞函數沿 軸的截面分布 證畢。,,,,,抽樣定理例題（1）解續(xù),這里要注意的一點是這是二維傅里葉變換的特點，另一個變量是隱含著的。從這一題中我們還要引伸出一個重要的概念，即二維傳遞函數測量可以通過一維線響應，即線擴散函數來測量和計算。因為兩維的測量在過去沒有圖像傳感器時是相當困難的，而轉換成一維信號就可以用全部光能積分隨時間變化的線響應來實現了。,,,,,線響應函數和傳遞函數的關系,,習題11. 已知線性不變系統的輸入為 ,系統的傳遞函數為 ,若b取下列數值，求系統的輸出。并畫出輸出函數及其頻譜的圖形。(1)b=1 (2)b=3,,,解：當b=1時，當b=3時,,,2.一個二維的物函數f(x,y)，在空域中尺寸為10*10mm2，最高空間頻率為5線/mm，若要制作一張傅里葉變換計算全息圖，物面上最少的抽樣點數為多少？,,解：由于物函數的最高空間頻率為5線/mm，即其最大帶寬。根據抽樣定理，若限帶函數在頻域中 以外恒為0，函數在空域中 范圍內抽樣數至少為由題意可知，X＝Y＝5mm， 線/mm,