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1、12一、兩個同方向同頻率簡諧運動的合成一、兩個同方向同頻率簡諧運動的合成)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAx某質(zhì)點同時參與兩個某質(zhì)點同時參與兩個同頻率同頻率且且在在同一條直線上同一條直線上的簡諧運動。的簡諧運動。合振動：合振動：21xxx )cos()cos(2211 tAtA利用利用三角公式三角公式或或旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量可求得合振動：可求得合振動：兩個兩個同同方向方向同同頻率簡諧運動合成后仍為頻率簡諧運動合成后仍為簡諧簡諧運動運動，且且其方向和頻率與原來相同。其方向和頻率與原來相同。312112211221122coscos coscoscossinsinsinxxxA

2、tAtAAtAAt令：令：1122sinsinsinAAA 1122coscoscosAAA 則：則：coscossinsincosxAtAtAt 解解析析法法4)cos(212212221 AAAAA 從圖中三角形的邊角關系，從圖中三角形的邊角關系， 可得：可得： 旋轉(zhuǎn)矢量法：旋轉(zhuǎn)矢量法：22112211coscossinsintan AAAA 合振動的振幅合振動的振幅A不僅與不僅與兩個分振動的振幅有關，兩個分振動的振幅有關，還取決于兩分振動的還取決于兩分振動的初相初相位差位差。5xxtoo212k)cos()(21tAAx21AAAT1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k)cos

3、(212212221AAAAA 討論討論 合振動振幅最大。合振動振幅最大。1A2AA6xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx合振動振幅最小。合振動振幅最小。71）相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加強相互加強相互削弱相互削弱21AAA2）相位差相位差) 12(12k)10( ， k3）一般情況一般情況，2121AAAAA當相位差為其它值時，當相位差為其它值時，)cos(212212221 AAAAA8解：解：1）用用合成后合成后

4、 不變，不變，)2cos( tAx)cos(212212221 AAAAAm1 22112211coscossinsin AAAAtg 33 例：例：求合振動方程求合振動方程。已知。已知兩同方向、同頻率諧振動兩同方向、同頻率諧振動：,)62cos(41mtx ,)652cos(32mtx 6 1254cos3cos()066xx 合振動方程：合振動方程：mtx)6/2cos(1 因為當因為當t = 0時時9652 61 )4(1cmA)3(2cmA6 )1( cmA合振動方程：合振動方程：mtx)6/2cos(1 ,)62cos(41mtx ,)652cos(32mtx 例：例：求合振動方程。

5、已知求合振動方程。已知兩同方向、同頻率諧振動兩同方向、同頻率諧振動：10例：例：已知兩諧振動的曲線，它們是同頻率的諧振動。已知兩諧振動的曲線，它們是同頻率的諧振動。求：求：合振動方程合振動方程。解：解：由圖知由圖知cm521 AAs1 . 021 TTT 2 20 ,010 x010 v21 2cm)220cos(51 txcm)20cos(52 tx1振動在振動在 t = 0時：時：2振動在振動在t = 0時：時：,520cmx 020 v55/cmx/st005. 01 . 012xO1M2M11由旋轉(zhuǎn)矢量法：由旋轉(zhuǎn)矢量法：222100MMA cm25 45 cm)4520cos(25 t

6、xxO1M452MAcm)220cos(51 txcm)20cos(52 tx1211Axo* 多個同方向同頻率簡諧運動多個同方向同頻率簡諧運動的的合成合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多個個同同方向方向同同頻率簡諧運動頻率簡諧運動合成合成仍為仍為簡諧簡諧運動運動 假設它們的振幅相等，初相位依次差一個恒量。假設它們的振幅相等，初相位依次差一個恒量。131A2A3A4Axo5A0NAAAiiAtAxcos01)cos(02tAx) 1(cos0NtAxN)2cos(03tAx1A2A3A4AxO5A6A0A),2,

7、 1,(kkNk2） 2kN1）2 k),2, 1,0(k 個矢量依次相接構(gòu)個矢量依次相接構(gòu)成一個成一個閉合閉合的多邊形。的多邊形。N討討論論14*二二 兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個的兩個同方向同方向簡諧運動的合簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍拍。1516tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx 為了簡單起見，討論為了簡單起見，討論兩個兩個振幅相同振幅相同，初相位也初相位也相同相同，在，在同方向同方向上以

8、上以不同頻率不同頻率振動的合成。其振振動的合成。其振動表達式分別為：動表達式分別為：利用三角函數(shù)關系式：利用三角函數(shù)關系式：2cos2cos2coscos合成振動表達式合成振動表達式：ttAx22cos)22cos2(1212117tAtAxxx2211212cos2cos21AA 2112討論討論 ， 的情況的情況 ttAx22cos)22cos2(12121隨隨 t 變化緩慢變化緩慢隨隨 t 變化較快變化較快由于振幅是周期性變化的，所以合振由于振幅是周期性變化的，所以合振動不再是簡諧振動。動不再是簡諧振動。合振動是振幅按合振動是振幅按 | 2A0cos 2(2-1) t /2 | 緩慢變化

9、緩慢變化的，角頻率為的，角頻率為 (2+1 ) /2 的的“準周期運動準周期運動”。182212T121TtAA22cos21212)(211max2AA0minA合振動頻率合振動頻率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅振幅 振動頻率振動頻率由于余弦函數(shù)絕對值的周期為由于余弦函數(shù)絕對值的周期為 。19tAA22cos2121 2212 T 121 T12 拍頻拍頻（振幅（振幅絕對值絕對值變化的頻率）變化的頻率）所以，拍頻是振動所以，拍頻是振動 頻率的兩倍。頻率的兩倍。21cos(2)2t 拍在聲學和無線電技術中的應用：拍在聲學和無線電技術中的應用：用音叉的振動來校準

10、樂器；用音叉的振動來校準樂器；利用拍的規(guī)律測量超聲波的頻率；利用拍的規(guī)律測量超聲波的頻率；在無線電技術中，可用來測定無線電波頻率以及調(diào)制。在無線電技術中，可用來測定無線電波頻率以及調(diào)制。20 xocos2212221AAAAA)()(1212t2A2x2xA1A1x111t)()(1212t22t 方法二：旋轉(zhuǎn)矢量合成法方法二：旋轉(zhuǎn)矢量合成法12021t )( 212212A2x2xAxo1A1x112t1t )(12t2cos2212221AAAAAt )(12)2cos(2121tA（拍在聲學和無線電技術中的應用）（拍在聲學和無線電技術中的應用）Axxt21cos22112拍頻拍頻)cos

11、1 (21 AA振幅振幅 振動圓頻率振動圓頻率22*三三 相互垂直的簡諧振動的合成相互垂直的簡諧振動的合成)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx質(zhì)點運動軌跡方程：質(zhì)點運動軌跡方程：)cos(11tAx)cos(22tAy 在一般情況下，這是一個橢圓方程。在一般情況下，這是一個橢圓方程。*1、兩個同頻率相互垂直的簡諧振動的合成、兩個同頻率相互垂直的簡諧振動的合成231 1） 或或2012xAAy12 討論討論212()0 xyAA222212cos()SxyAAt 質(zhì)點離開平衡位置的位移：質(zhì)點離開平衡位置的位移：)(sin)cos(21221221222212AAxyA

12、yAx合振動的軌跡為通過合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三原點且在第一、第三象限內(nèi)的直線。象限內(nèi)的直線。yx合振動仍為諧振動。合振動仍為諧振動。240yx12345678x12345678y12345678利用旋轉(zhuǎn)矢量合成利用旋轉(zhuǎn)矢量合成xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAy252）12xAAy12)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx合振動的軌跡為通過原點且合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內(nèi)的直線在第二、第四象限內(nèi)的直線質(zhì)點離開平衡位置的位移：質(zhì)點離開平衡位置的位移：222212cos()SxyAAt 合振動仍為諧振動。合振動仍為諧振動。yx

13、263）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx質(zhì)點沿橢圓的運動方向是順時針的。質(zhì)點沿橢圓的運動方向是順時針的。當當,21AA 222Ayx為圓方程為圓方程為一為一橢圓橢圓合振動不再是諧振動。合振動不再是諧振動。1A2Aoyx272/xy13482567x12345687y12345678tAxcos1)2cos(2tAy1222212AyAx28用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量描描繪繪振振動動合合成成圖圖29簡簡諧諧運運動動的的合合成成圖圖兩兩相相互互垂垂直直同同頻頻率率不不同同相相位位差差30一般來說，一般來說，兩個

14、振動方向互相垂直、頻率相兩個振動方向互相垂直、頻率相同的諧振動，其合振動軌跡為一直線、圓或者橢同的諧振動，其合振動軌跡為一直線、圓或者橢圓。圓。軌跡的形狀、方位和運動方向由軌跡的形狀、方位和運動方向由分振動的振分振動的振幅和相位差幅和相位差決定。決定。在電子示波器中，若令互相垂直的余弦（或在電子示波器中，若令互相垂直的余弦（或正弦）變化的電學量頻率相同，即可在熒光屏上正弦）變化的電學量頻率相同，即可在熒光屏上觀察到合成振動的軌跡。觀察到合成振動的軌跡。以上討論也說明：以上討論也說明：任何一個直線諧振動、橢任何一個直線諧振動、橢圓運動或勻速圓周運動，都可以分解為兩個互相圓運動或勻速圓周運動，都可

15、以分解為兩個互相垂直的同頻率的諧振動。垂直的同頻率的諧振動。 311）兩分振動頻率相差很?。﹥煞终駝宇l率相差很小)()(1212 t04243452347 一般是復雜的運動，軌道不是封閉曲線，即合成運一般是復雜的運動，軌道不是封閉曲線，即合成運動不是周期性的運動。下面就兩種簡單情況討論：動不是周期性的運動。下面就兩種簡單情況討論：可看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而 2- 1 隨隨 t 緩慢變化。合緩慢變化。合運動軌跡將按下圖依次緩慢變化。運動軌跡將按下圖依次緩慢變化。*2、 兩相互垂直不同頻率的簡諧運動的合成兩相互垂直不同頻率的簡諧運動的合成32 x y= 2 32）兩振動的頻率成整數(shù)比）兩

16、振動的頻率成整數(shù)比 1 = 0 , 2 = / 4 如果兩個互相垂直的振如果兩個互相垂直的振動頻率成整數(shù)比，合成運動動頻率成整數(shù)比，合成運動的軌跡為一的軌跡為一封閉的穩(wěn)定曲線封閉的穩(wěn)定曲線，運動也具有周期，曲線的花運動也具有周期，曲線的花樣和分振動的頻率比有關。樣和分振動的頻率比有關。這種運動軌跡的圖形稱為這種運動軌跡的圖形稱為李李薩如圖形薩如圖形。33)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201軸軸分振動分別為：軸軸分振動分別為：兩振動的頻率比分別為：兩振動的頻率比分別為：兩振動的初相位分別為：兩振動的初相位分別為：李李 薩薩 如如 圖圖34李李 薩薩 如如

17、 圖圖35 利用李薩如圖形在無線電技術中可以測量頻利用李薩如圖形在無線電技術中可以測量頻率：率：在示波器上，垂直方向與水平方向同時輸入在示波器上，垂直方向與水平方向同時輸入兩個振動，已知其中一個頻率，則可根據(jù)所成圖兩個振動，已知其中一個頻率，則可根據(jù)所成圖形與已知標準的李薩如圖形去比較，就可得知另形與已知標準的李薩如圖形去比較，就可得知另一個未知的頻率。一個未知的頻率。在電子示波器中，若令互相垂直的余弦（或在電子示波器中，若令互相垂直的余弦（或正弦）變化的電學量頻率成不同的整數(shù)比，即可正弦）變化的電學量頻率成不同的整數(shù)比，即可在熒光屏上看到不同形狀的李薩如圖形。在熒光屏上看到不同形狀的李薩如圖形。