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最新考綱1 以立體幾何的有關(guān)定義 公理和定理為出發(fā)點 認識和理解空間中線面平行 面面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理 并能夠證明相關(guān)性質(zhì)定理 2 能運用線面平行 面面平行的判定及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題 第3講直線 平面平行的判定與性質(zhì) 1 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 知識梳理 a b a a a b b 2 面面平行的判定與性質(zhì) a b a b a b P a b 1 判斷正誤 在括號內(nèi)打 或 精彩PPT展示 1 若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線 則這條直線平行于這個平面 2 若一條直線平行于一個平面 則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線 3 如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面 那么這兩個平面平行 4 若 直線a 則a 診斷自測 2 若直線m 平面 則條件甲 直線l 是條件乙 l m 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件答案D 3 已知m n表示兩條不同直線 表示平面 下列說法正確的是 A 若m n 則m nB 若m n 則m nC 若m m n 則n D 若m m n 則n 解析若m n 則m與n可能平行 相交或異面 故A錯誤 B正確 若m m n 則n 或n 故C錯誤 若m m n 則n與 可能平行 相交或n 故D錯誤 因此選B 答案B 4 過三棱柱ABC A1B1C1任意兩條棱的中點作直線 其中與平面ABB1A1平行的直線共有 條 解析各中點連線如圖 只有面EFGH與面ABB1A1平行 在四邊形EFGH中有6條符合題意 答案6 5 人教A必修2P56練習2改編 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 E為DD1的中點 則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為 解析連接BD 設(shè)BD AC O 連接EO 在 BDD1中 O為BD的中點 所以EO為 BDD1的中位線 則BD1 EO 而BD1 平面ACE EO 平面ACE 所以BD1 平面ACE 答案平行 考點一有關(guān)線面 面面平行的命題真假判斷 例1 1 2013 廣東卷 設(shè)m n是兩條不同的直線 是兩個不同的平面 下列命題中正確的是 A 若 m n 則m nB 若 m n 則m nC 若m n m n 則 D 若m m n n 則 2 設(shè)m n表示不同直線 表示不同平面 則下列結(jié)論中正確的是 A 若m m n 則n B 若m n m n 則 C 若 m m n 則n D 若 m n m n 則n 解析 1 A中 m與n可垂直 可異面 可平行 B中m與n可平行 可異面 C中 若 仍然滿足m n m n 故C錯誤 故D正確 2 A錯誤 n有可能在平面 內(nèi) B錯誤 平面 有可能與平面 相交 C錯誤 n也有可能在平面 內(nèi) D正確 易知m 或m 若m 又n m n n 若m 過m作平面 交平面 于直線l 則m l 又n m n l 又n l n 答案 1 D 2 D規(guī)律方法線面平行 面面平行的命題真假判斷多以小題出現(xiàn) 處理方法是數(shù)形結(jié)合 畫圖或結(jié)合正方體等有關(guān)模型來解題 訓練1 1 2014 長沙模擬 若直線a b 且直線a 平面 則直線b與平面 的位置關(guān)系是 A b B b C b 或b D b與 相交或b 或b 2 給出下列關(guān)于互不相同的直線l m n和平面 的三個命題 若l與m為異面直線 l m 則 若 l m 則l m 若 l m n l 則m n 其中真命題的個數(shù)為 A 3B 2C 1D 0 解析 1 可以構(gòu)造一草圖來表示位置關(guān)系 經(jīng)驗證 當b與 相交或b 或b 時 均滿足直線a b 且直線a 平面 的情況 故選D 2 中 當 與 相交時 也能存在符合題意的l m 中 l與m也可能異面 中 l l m l m 同理l n 則m n 正確 答案 1 D 2 C 考點二直線與平面平行的判定與性質(zhì) 例2 如圖 幾何體E ABCD是四棱錐 ABD為正三角形 CB CD EC BD 1 求證 BE DE 2 若 BCD 120 M為線段AE的中點 求證 DM 平面BEC 證明 1 如圖 取BD的中點O 連接CO EO 由于CB CD 所以CO BD 又EC BD EC CO C CO EC 平面EOC 所以BD 平面EOC 又EO 平面EOC 因此BD EO 又O為BD的中點 所以BE DE 2 法一如圖 取AB的中點N 連接DM DN MN 因為M是AE的中點 所以MN BE 又MN 平面BEC BE 平面BEC 所以MN 平面BEC 又因為 ABD為正三角形 所以 BDN 30 又CB CD BCD 120 因此 CBD 30 所以DN BC 又DN 平面BEC BC 平面BEC 所以DN 平面BEC 又MN DN N 所以平面DMN 平面BEC 又DM 平面DMN 所以DM 平面BEC法二如圖 延長AD BC交于點F 連接EF 因為CB CD BCD 120 所以 CBD 30 因為 ABD為正三角形 所以 BAD ABD 60 ABC 90 又AB AD 所以D為線段AF的中點 連接DM 由于點M是線段AE的中點 因此DM EF 又DM 平面BEC EF 平面BEC 所以DM 平面BEC 規(guī)律方法判斷或證明線面平行的常用方法 1 利用線面平行的定義 一般用反證法 2 利用線面平行的判定定理 a b a b a 其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找 或作 一條直線與已知直線平行 證明時注意用符號語言的敘述 3 利用面面平行的性質(zhì)定理 a a 4 利用面面平行的性質(zhì) a a a 1 證明 MN 平面A ACC 2 求三棱錐A MNC的體積 1 證明法一連接AB AC 如圖 由已知 BAC 90 AB AC 三棱柱ABC A B C 為直三棱柱 所以M為AB 中點 又因為N為B C 的中點 所以MN AC 又MN 平面A ACC AC 平面A ACC 因此MN 平面A ACC 法二取A B 的中點P 連接MP NP AB 如圖 而M N分別為AB 與B C 的中點 所以MP AA PN A C 所以MP 平面A ACC PN 平面A ACC 又MP NP P 因此平面MPN 平面A ACC 而MN 平面MPN 因此MN 平面A ACC 2 解法一連接BN 如上圖 由題意A N B C 平面A B C 平面B BCC B C A N 平面A B C 考點三平面與平面平行的判定與性質(zhì) 1 證明 平面A1BD 平面CD1B1 2 求三棱柱ABD A1B1D1的體積 1 證明由題設(shè)知 BB1綉DD1 四邊形BB1D1D是平行四邊形 BD B1D1 又BD 平面CD1B1 B1D1 平面CD1B1 BD 平面CD1B1 A1D1綉B(tài)1C1綉B(tài)C 四邊形A1BCD1是平行四邊形 A1B D1C 又A1B 平面CD1B1 A1B 平面CD1B1 又 BD A1B B 平面A1BD 平面CD1B1 2 解 A1O 平面ABCD A1O是三棱柱ABD A1B1D1的高 規(guī)律方法證明兩個平面平行的方法有 1 用定義 此類題目常用反證法來完成證明 2 用判定定理 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面 那么這兩個平面平行 3 根據(jù) 垂直于同一條直線的兩個平面平行 這一性質(zhì)進行證明 4 借助 傳遞性 來完成 兩個平面同時平行于第三個平面 那么這兩個平面平行 5 利用 線線平行 線面平行 面面平行 的相互轉(zhuǎn)化 訓練3 如圖 在三棱柱ABC A1B1C1中 E F G H分別是AB AC A1B1 A1C1的中點 求證 1 B C H G四點共面 2 平面EFA1 平面BCHG 證明 1 GH是 A1B1C1的中位線 GH B1C1 又B1C1 BC GH BC B C H G四點共面 2 在 ABC中 E F分別為AB AC的中點 EF BC EF 平面BCHG BC 平面BCHG EF 平面BCHG 又 G E分別為A1B1 AB的中點 A1G綉EB 四邊形A1EBG是平行四邊形 A1E GB A1E 平面BCHG GB 平面BCHG A1E 平面BCHG 又 A1E EF E 平面EFA1 平面BCHG 考點四平行關(guān)系中的探索性問題 例4 2014 四川卷 在如圖所示的多面體中 四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形 1 若AC BC 證明 直線BC 平面ACC1A1 2 設(shè)D E分別是線段BC CC1的中點 在線段AB上是否存在一點M 使直線DE 平面A1MC 請證明你的結(jié)論 1 證明因為四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形 所以AA1 AB AA1 AC 因為AB AC為平面ABC內(nèi)兩條相交直線 所以AA1 平面ABC 因為直線BC 平面ABC 所以AA1 BC 又AC BC AA1 AC為平面ACC1A1內(nèi)兩條相交直線 所以BC 平面ACC1A1 2 解取線段AB的中點M 連接A1M MC A1C AC1 OM 設(shè)O為A1C AC1的交點 由已知可知O為AC1的中點 連接MD OE 則MD OE分別為 ABC ACC1的中位線 從而四邊形MDEO為平行四邊形 則DE MO 因為直線DE 平面A1MC MO 平面A1MC 所以直線DE 平面A1MC 即線段AB上存在一點M 線段AB的中點 使直線DE 平面A1MC 規(guī)律方法解決探究性問題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在 從這個結(jié)果出發(fā) 尋找使這個結(jié)論成立的充分條件 如果找到了使結(jié)論成立的充分條件 則存在 如果找不到使結(jié)論成立的充分條件 出現(xiàn)矛盾 則不存在 而對于探求點的問題 一般是先探求點的位置 多為線段的中點或某個三等分點 然后給出符合要求的證明 訓練4 如圖 在四棱錐P ABCD中 PD 平面ABCD 底面ABCD為矩形 PD DC 4 AD 2 E為PC的中點 1 求三棱錐A PDE的體積 2 AC邊上是否存在一點M 使得PA 平面EDM 若存在 求出AM的長 若不存在 請說明理由 解 1 因為PD 平面ABCD 所以PD AD 又因為ABCD是矩形 所以AD CD 因為PD CD D 所以AD 平面PCD 所以AD是三棱錐A PDE的高 因為E為PC的中點 且PD DC 4 2 取AC中點M 連接EM DM 因為E為PC的中點 M是AC的中點 所以EM PA 又因為EM 平面EDM PA 平面EDM 所以PA 平面EDM 思想方法 1 對線面平行 面面平行的認識一般按照 定義 判定定理 性質(zhì)定理 應(yīng)用 的順序 其中定義中的條件和結(jié)論是相互充要的 它既可以作為判定線面平行和面面平行的方法 又可以作為線面平行和面面平行的性質(zhì)來應(yīng)用 2 在解決線面 面面平行的判定時 一般遵循從 低維 到 高維 的轉(zhuǎn)化 其轉(zhuǎn)化關(guān)系為 在應(yīng)用性質(zhì)定理時 其順序恰好相反 但也要注意 轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定 決不可過于 模式化 易錯防范 1 在推證線面平行時 一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi) 否則 會出現(xiàn)錯誤 2 線面平行關(guān)系證明的難點在于輔助面和輔助線的添加 在添加輔助線 輔助面時一定要以某一性質(zhì)定理為依據(jù) 絕不能主觀臆斷 3 解題時注意符號語言的規(guī)范應(yīng)用