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4 1 1相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)4 1 2直線與圓的位置關(guān)系 選修4 1幾何證明選講 知識點 考綱下載 相似三角形 1 理解相似三角形的定義與性質(zhì) 了解平行截割定理 2 會證明和應(yīng)用直角三角形射影定理 直線與圓 會證明和應(yīng)用以下定理 1 圓周角定理 2 圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理 3 相交弦定理 4 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理 5 切割線定理 4 1 1相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 1 平行線等分線段定理定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段 那么在其他直線上截得的線段也 推論1經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必 推論2經(jīng)過梯形一腰的中點 且與底邊平行的直線 相等 相等 平分第三邊 平分另一腰 2 平行線分線段成比例定理定理三條平行線截兩條直線 所得的 成比例 推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 或兩邊的延長線 所得的 成比例 思考探究 使用平行截割定理時要注意什么 提示 要注意對應(yīng)線段 對應(yīng)邊對應(yīng)成比例 不要亂對應(yīng)順序 對應(yīng)線段 對應(yīng)線段 3 相似三角形的判定及性質(zhì) 1 相似三角形的判定定義 對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形 相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比 或相似系數(shù) 預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 或兩邊的延長線 相交 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 對應(yīng)角相等 判定定理1對于任意兩個三角形 如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的 對應(yīng)相等 那么這兩個三角形相似 簡述為 兩角對應(yīng)相等 兩三角形相似 判定定理2對于任意兩個三角形 如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng) 并且夾角相等 那么這兩個三角形相似 簡述為 兩邊對應(yīng) 且夾角相等 兩三角形相似 判定定理3對于任意兩個三角形 如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng) 那么這兩個三角形相似 簡述為 三邊對應(yīng) 兩三角形相似 兩個角 成比例 成比例 成比例 成比例 2 兩個直角三角形相似的判定定理 如果兩個直角三角形的一個銳角對應(yīng) 那么它們相似 如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng) 那么它們相似 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng) 那么這兩個直角三角形相似 相等 成比例 成比例 3 相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)定理 相似三角形對應(yīng)高的比 對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于 相似三角形周長的比等于 相似三角形面積的比等于 相似三角形外接圓 或內(nèi)切圓 的直徑比 周長比等于相似比 外接圓 或內(nèi)切圓 的面積比等于 相似比 相似比 相似比的平方 相似比的平方 比例中項 比例中項 1 如圖所示 在 ABC中 MN DE DC 若AE EC 7 3 則DB AB的值為 A 3 7B 7 3C 3 10D 7 10 解析 MN DE BC AD DB AE EC 7 3 AD DB DB 7 3 3 AB DB 10 3 DB AB 3 10 故選C 答案 C 2 2014 錦州模擬 如圖 銳角三角形ABC的高CD和高BE相交于O 則與 DOB相似的三角形個數(shù)是 A 1B 2C 3D 4 解析 因為CD和BE是高 可得 DCA EBA 所以 BOD與 COE CAD BAE相似 故選C 答案 C 3 2014 廣州模擬 如圖 已知在平行四邊形ABCD中 O1 O2 O3為對角線BD上三點 且BO1 O1O2 O2O3 O3D 連接AO1并延長交BC于點E 連接EO3并延長交AD于F 則AD FD A 9 2B 9 1C 8 1D 7 1 解析 在平行四邊形ABCD中 BE DF BO1 O1O2 O2O3 O3D BE DF O3B O3D 3 1 同理AD BE O1D O1B 3 1 AD FD 9 1 答案 B 4 2013 西安模擬 如圖 在 ABC中 M N分別是AB BC的中點 AN CM交于點O 那么 MON與 AOC面積的比是 平行線分線段成比例定理的應(yīng)用 1 充分利用已知條件的比例作出相應(yīng)的平行線段是關(guān)鍵 2 有關(guān)兩線段的比值的問題 除了應(yīng)用平行線分線段成比例定理外 也可利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解 3 注意觀察圖形特點 巧添輔助線 相似三角形的性質(zhì)與判定定理 1 相似三角形的判定主要是依據(jù)三個判定定理 結(jié)合定理創(chuàng)造條件建立對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的關(guān)系 2 相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用可用來考查與相似三角形相關(guān)的元素 如兩個三角形的高 周長 角平分線 中線 面積 外接圓的直徑 內(nèi)切圓的面積等 如圖 已知在 ABC中 點D是BC邊上的中點 且AD AC DE BC DE與AB相交于點E EC與AD相交于點F 1 求證 ABC FCD 2 若S FCD 5 BC 10 求DE的長 解析 1 證明 DE BC D是BC邊上的中點 EB EC B ECD 又AD AC ADC ACD ABC FCD 2 過點A作AM BC 垂足為點M DM 1 2DC 5 2 則BM BD DM 5 5 2 15 2 ABC FCD BC 2CD S ABC S FCD BC CD 2 4 又 S FCD 5 S ABC 20 又S ABC 1 2 BC AM 1 2 10 AM 20 解得AM 4 又DE AM DE AM BD BM DE 4 解得DE 變式訓練 2 如圖 在梯形ABCD中 AD BC AB CDDE CA 且交BA的延長線于E 求證 ED CD EA BD 證明 在梯形ABCD中 AB DC ABC DCB 又BC BC ABC DCB BAC BDC AC ED AD BC E BAC BDC EAD ABC DCB EAD DCB EADC EDDB 即ED CD EA BD 直角三角形射影定理的應(yīng)用 1 在使用直角三角形射影定理時 要學會將 乘積式 轉(zhuǎn)化為相似三角形中的 比例式 2 證題時 要注意作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時常用的方法 運用相似三角形的性質(zhì)解題關(guān)鍵在于求出相似比 在具體論證過程中 往往是判定定理和性質(zhì)定理結(jié)合運用 由判定三角形相似得到角相等或?qū)?yīng)線段成比例 本章內(nèi)容在高考中屬容易題 通常考查平行線分線段成比例定理 射影定理和相似三角形相關(guān)性質(zhì) 更多是與其他結(jié)合作為解決幾何問題的工具使用 2013 陜西卷 如圖 AB與CD相過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P 已知 A C PD 2DA 2 則PE 規(guī)范解答 PE BC C PED 又 C A 則有 A PED 又 P為公共角 所以 PDE PEA 則PDPE PEPA 即PE2 PD PA 2 3 6 故PE 答案 閱后報告 判定兩個三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選擇判定定理 特別要注意對應(yīng)角和對應(yīng)邊 證明線段乘積相等的問題一般轉(zhuǎn)化為有關(guān)線段成比例問題 1 2014 天津卷 BAC的平分線交圓于點D 交BC于點E 過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F 在上述條件下 給出下列四個結(jié)論 BD平分 CBF FB2 FD FA AE CE BE DE AF BD AB BF 則所有正確結(jié)論的序號是 A B C D 解析 如圖所示 1 3 2 4 且 1 2 4 3 1 BD平分 CBF ABF BDF AB BD AF BF AF BF BF DF AB BF AF BD BF2 AF DF 故 正確 答案 D 2 2014 廣東卷 如圖所示 在平行四邊形ABCD中 點E在AB上且EB 2AE AC與DE交于點F 則S CDF S AEF 解析 本題考查相似三角形的性質(zhì)定理 面積比等于相似比的平方 EB 2AE AE 1 3AB 1 3CD 又 四邊形ABCD是平行四邊形 AEF CDF S CDF S AEF CD AE 2 9 答案 9 3 2014 陜西卷 如圖 ABC中 BC 6 以BC為直徑的半圓分別交AB AC于點E F 若AC 2AE 則EF 解析 由題意 可知 AEF ACB 又 A A 所以 AEF ACB 所以AE AC EF BC 因為AC 2AE BC 6 所以EF 3 答案 3 課時作業(yè)4 1 1 4 1 2直線與圓的位置關(guān)系 1 圓周角定理 1 圓周角定理圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 2 圓心角定理圓心角的度數(shù)等于 推論1同弧或等弧所對的圓周角 同圓或等圓中 相等的圓周角所對的弧也 推論2半圓 或直徑 所對的圓周角是 90 的圓周角所對的弦是 一半 它所對弧 的度數(shù) 相等 相等 直角 直徑 2 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 1 性質(zhì)定理1圓的內(nèi)接四邊形的對角 定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的 2 判定判定定理如果一個四邊形的對角互補 那么這個四邊形的四個頂點 推論如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角 那么這個四邊形的四個頂點 互補 對角 共圓 共圓 3 圓的切線的性質(zhì)及判定定理 1 性質(zhì)性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的 推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過 推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過 2 判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的 4 弦切角的性質(zhì)定理弦切角等于它所夾的弧所對的 半徑 切點 圓心 切線 圓周角 5 與圓有關(guān)的比例線段 1 相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦 被交點分成的兩條線段長的 相等 2 割線定理從圓外一點引圓的兩條割線 這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的 相等 3 切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線 切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的 4 切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線 它們的切線長相等 圓心和這一點的連線平分兩條切線的 積 積 比例中項 夾角 2 2014 天津模擬 如圖 ACB 90 CD AB于點D 以BD為直徑的圓與BC交于點E 則 A CE CB AD DBB CE CB AD ABC AD AB CD2D CE EB CD2 解析 由切割線定理可知CE CB CD2 又由射影定理可知AD DB CD2 CE CB AD DB 故選A 答案 A 5 2014 湛江調(diào)研 如圖所示 AB是 O的直徑 直線CB切 O于點B 直線CD切 O于點D CD交BA的延長線于點E 若AB 3 ED 2 則BC的長為 解析 由切割線定理 得DE2 EA EB 即4 EA EA 3 解得EA 1 設(shè)BC x 則CD x 在 BCE中 根據(jù)勾股定理 得 2 x 2 x2 42 解得x 3 故BC的長為3 答案 3 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 證明多點共圓 當它們在一條線段同側(cè)時 可證它們對此線段張角相等 也可以證明它們與某一定點距離相等 如兩點在一條線段異側(cè) 則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補 弦切角和圓周角 1 圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系 從而證明三角形全等或相似 可求線段或角的大小 2 涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉(zhuǎn)化 關(guān)于圓周上的點 常作直徑 或半徑 或向弦 弧 兩端作圓周角或弦切角 圓的切線的性質(zhì)及判定定理 利用圓的切線的判定定理判定直線與圓的位置關(guān)系 經(jīng)過半徑的外端且與此半徑垂直的直線是圓的切線 從而可轉(zhuǎn)化為證明線線垂直 如圖 在Rt ABC中 C 90 BE平分 ABC交AC于點E 點D在AB上 DE EB 且AD AE 6 1 判斷直線AC與 BDE的外接圓的位置關(guān)系 2 求EC的長 解析 1 取BD的中點O 連接OE 則DO OB OE OBE BEO BE平分 ABC CBE OBE CBE BEO BC OE C 90 OE AC 直線AC是 BDE的外接圓的切線 即直線AC與 BDE的外接圓相切 2 設(shè) BDE的外接圓的半徑為r 在 AOE中 OA2 OE2 AE2 與圓有關(guān)的比例線段 1 應(yīng)用相交弦定理 切割線定理要抓住幾個關(guān)鍵內(nèi)容 如線段成比例與相似三角形 圓的切線及其性質(zhì) 與圓有關(guān)的相似三角形等 2 相交弦定理 切割線定理主要是用于與圓有關(guān)的比例線段的計算與證明 解決問題時要注意相似三角形知識及圓周角 弦切角 圓的切線等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用 變式訓練 4 如圖 O的半徑OB垂直于直徑AC M為AOBM的延長線交 O于N 過N點的切線交CA的延長線于P 1 求證 PM2 PA PC 2 若 O的半徑為求MN的長 解析 1 證明 連接ON 則ON PN 且 OBN為等腰三角形 則 OBN ONB PMN OMB 90 OBN PNM 90 ONB PMN PNM PM PN 根據(jù)切割線定理 有PN2 PA PC PM2 PA PC 1 在圓中 只要有弧就有弧所對的圓周角 同弧所對的圓周角相等 而相等的角為幾何命題的證明提供了條件 2 證明某條直線是圓的切線時 若已知直線過圓上的一點 則作出過該點的半徑 證明直線與這條半徑垂直 若直線與圓的公共點不確定 則過圓心作直線的垂線 再證明垂線段長等于半徑 3 四點共圓時 充分利用外角等于內(nèi)對角 對角互補 相交弦 切割線 割線定理等證明等積式 由直徑 切線構(gòu)造直角三角形 從近幾年選考4 1的試卷來看 本節(jié)是重點 通常以圓為載體考查四點共圓 相交弦定理 切割弦定理 與圓有關(guān)的比例線段以及相似三角形有關(guān)性質(zhì)等 題型為填空題和解答題 難度為容易題 2013 天津卷 如圖 ABC為圓的內(nèi)接三角形 BD為圓的弦 且BD AC 過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E AD與BC交于點F 若AB AC AE 6 BD 5 則線段CF的長為 規(guī)范解答 由切割線定理得AE2 EB ED 解得EB 4 因為AB AC 所以 ABC ACB ADB 由弦切角定理得 EAB EDA 所以 EAB ABC 則AE BC 因為AC BD 所以四邊形AEBC是平行四邊形 所以AE BC 6 AC EB 4 又由 CAF ADE ACB可得 CAF CBA 所以CA CB CF CA CF CA2 CB 答案 閱后報告 涉及與圓有關(guān)的等積線段或成比例的線段 常利用圓周角或弦切角證明三角形相似 在相似三角形中尋找比例線段 也可以利用相交弦定理 切割線定理證明線段成比例 在實際應(yīng)用中 一般涉及兩條相交弦應(yīng)首先考慮相交弦定理 涉及兩條割線就要想到割線定理 見到切線和割線時要注意應(yīng)用切割線定理 1 2014 重慶卷 過圓外一點P作圓的切線PA A為切點 再作割線PBC依次交圓于B C 若PA 6 AC 8 BC 9 則AB 解析 根據(jù)題意 作出圖形如圖所示 由切割線定理 得PA2 PB PC PB PB BC 即36 PB PB 9 PB 3 PC 12 由弦切角定理知 PAB PCA 又 APB CPA PAB PCA AB CA PB PA 即AB PB CA PA 4 答案 4 2 2014 湖北卷 如圖 P為 O外一點 過P點作 O的兩條切線 切點分別為A B 過PA的中點Q作割線交 O于C D兩點 若QC 1 CD 3 則PB 解析 由切線長定理得QA2 QC QD 1 1 3 4 解得QA 2 故PB PA 2QA 4 答案 4 證明 1 連接AB AC 由題設(shè)知PA PD 故 PAD PDA 因為 PDA DAC DCA PAD BAD PAB DCA PAB 所以 DAC BAD 所以BE EC 2 由切割線定理得PA2 PB PC 因為PA PD DC 所以DC 2PB BD PB 由相交弦定理得AD DE BD DC 所以AD DE 2PB2